Elektrischer Widerstand und spezifischer Widerstand
Schließt man eine Glühlampe an eine Batterie an, leuchtet sie. Schließt man stattdessen einen Heizdraht an, wird er heiß. Bei beiden fließt Strom — aber unterschiedlich stark, obwohl die Spannung gleich ist. Der Unterschied liegt im Widerstand, den das Bauteil dem Strom entgegensetzt.
Wie groß dieser Widerstand ist, hängt von drei Dingen ab: dem Material, der Geometrie und der Temperatur. Genau diesen drei Einflussgrößen geht dieser Beitrag nach.
Vorwissen
Lernziele
Nach diesem Beitrag kannst du:
- den elektrischen Widerstand definieren und seine Einheit korrekt einsetzen
- den spezifischen Widerstand als Materialeigenschaft einordnen und Werkstoffe vergleichen
- den Widerstand eines Leiters aus Material, Länge und Querschnitt berechnen
- die Temperaturabhängigkeit von Leiterwiderständen erklären und für Metalle berechnen
- Kaltleiter- und Heißleiterverhalten unterscheiden
1. Was ist elektrischer Widerstand?
In einem Metalldraht bewegen sich freie Elektronen, sobald eine Spannung anliegt. Sie wandern aber nicht ungehindert: Auf ihrem Weg stoßen sie ständig gegen die Atomrümpfe des Kristallgitters und werden dadurch gebremst. Genau diese Bremswirkung ist der elektrische Widerstand. Je stärker die Elektronen behindert werden, desto weniger Strom fließt bei gegebener Spannung.
Der Widerstand ist also das Verhältnis aus angelegter Spannung und sich einstellendem Strom:
Diese Beziehung heißt Ohmsches Gesetz. Wie sie konkret angewendet wird, behandelt der Beitrag Das Ohmsche Gesetz ausführlich. Hier reicht uns: Ein Bauteil hat den Widerstand 1 Ω, wenn bei 1 V Spannung ein Strom von 1 A fließt.
Das Formelzeichen für den Widerstand ist R (von engl. resistance). Die Einheit Ohm wird mit dem griechischen Großbuchstaben Ω abgekürzt. Üblich sind die Vorsätze:
| Vorsatz | Kürzel | Wert |
|---|---|---|
| Milliohm | mΩ | 0,001 Ω |
| Kiloohm | kΩ | 1 000 Ω |
| Megaohm | MΩ | 1 000 000 Ω |
Manchmal interessiert nicht der Widerstand, sondern wie gut etwas leitet. Dafür gibt es den Leitwert G — den Kehrwert des Widerstands:
Ein guter Leiter hat einen großen Leitwert und einen kleinen Widerstand, ein Isolator umgekehrt.
R = U / I
- R … Widerstand in Ohm (Ω)
- U … Spannung in Volt (V)
- I … Strom in Ampere (A)
G = 1 / R
- G … Leitwert in Siemens (S)
- R … Widerstand in Ohm (Ω)
Ein Heizregister zieht bei 230 V einen Strom von 10 A. Welcher Widerstand ergibt sich, und wie wäre das Bauteil grundsätzlich zu beurteilen?
- a) 23 Ω — passt zu einem Bauteil, das Strom in Wärme umsetzen soll
- b) 23 Ω — zu klein, das Heizregister wäre fast ein Kurzschluss
- c) 2 300 Ω — typisch für einen Heizwiderstand
- d) 0,043 Ω — typisch für ein Heizregister
Richtig: a)
R = U / I = 230 V / 10 A = 23 Ω. Solche Größenordnungen sind für Heizelemente üblich. Antwort b) verwechselt die Größenordnung; c) wäre eher ein Bauteil im Elektronikbereich; d) ist der Leitwert in Siemens, nicht der Widerstand.
Welche Aussage zum Leitwert G ist richtig?
- a) G wächst proportional mit dem Widerstand R.
- b) G hat dieselbe Einheit wie der Widerstand.
- c) Ein hoher Leitwert bedeutet einen kleinen Widerstand.
- d) G wird nur bei Wechselstrom verwendet.
Richtig: c)
Da G = 1/R, sinkt der Leitwert mit steigendem Widerstand — also keine Proportionalität wie in a). Die Einheit des Leitwerts ist Siemens, nicht Ohm. Bei Gleich- und Wechselstrom anwendbar.
Im Modell des Stromflusses werden die Elektronen durch das Atomgitter behindert. Welche Folgerung daraus stimmt?
- a) Bei mehr freien Elektronen steigt der Widerstand.
- b) Im perfekten Vakuum wäre der Widerstand eines Drahtes unendlich groß.
- c) Die Bremswirkung ist eine reine Modellvorstellung ohne messbare Folgen.
- d) Materialien mit dichtem, regelmäßigem Atomgitter und vielen freien Elektronen leiten gut.
Richtig: d)
Mehr freie Elektronen bedeuten mehr Ladungstransport und damit weniger Widerstand — a) falsch. Im Vakuum gibt es kein Gitter, das die Elektronen bremst — b) falsch. Die Bremswirkung ist tatsächlich messbar als Widerstand — c) falsch. Antwort d) beschreibt typische Metalle wie Kupfer und Silber zutreffend.
2. Der spezifische Widerstand
Zwei Drähte gleicher Form, einer aus Kupfer, einer aus Eisen — sie haben unterschiedliche Widerstände. Was Material zu Material unterscheidet, fasst man im spezifischen Widerstand zusammen. Er ist eine Materialkonstante und sagt aus, wie stark ein Werkstoff den Strom behindert, wenn man Geometrie ausklammert.
Das Formelzeichen ist der griechische Buchstabe ρ (Rho). In der Praxis ist diese Einheit üblich:
Diese krumme Schreibweise hat einen praktischen Grund: Sie ist genau so geschnitten, dass man den Querschnitt eines Drahtes bequem in mm² und die Länge in m einsetzen kann. Die SI-Einheit lautet Ω·m, dazwischen liegt der Faktor 10⁶ — beide Schreibweisen kommen in Tabellen vor.
Ein paar typische Werte zur Orientierung:
| Material | ρ in Ω·mm²/m | Typische Verwendung |
|---|---|---|
| Silber | 0,016 | beste Leitfähigkeit, Kontakte |
| Kupfer | 0,0178 | Standard für Leitungen |
| Aluminium | 0,028 | Freileitungen, leichte Kabel |
| Wolfram | 0,055 | Glühwendeln |
| Eisen | 0,1 | Konstruktionsteile, Schienen |
| Nickelin | 0,4 | Widerstandsdraht |
| Konstantan | 0,5 | präzise Messwiderstände |
| Chromnickel | 1,1 | Heizdrähte |
Man sieht den Aufbau dahinter: Reine Metalle wie Silber und Kupfer leiten am besten. Legierungen wie Konstantan oder Chromnickel leiten deutlich schlechter — genau das ist beabsichtigt, denn man baut daraus Heiz- oder Messelemente.
Über diese acht Materialien hinaus reicht die Spannweite enorm. Halbleiter (z. B. Silizium) liegen viele Größenordnungen darüber, Isolatoren (Kunststoffe, Keramik, Glas) wieder um viele Größenordnungen darüber. Dieses Gefälle und seine Bedeutung behandelt der Beitrag Leiter, Halbleiter und Isolatoren im Detail.
Analog zum Leitwert gibt es auch fürs Material den Kehrwert: die spezifische Leitfähigkeit κ (Kappa).
In der Werkstoffkunde wird Kupfer oft mit seiner Leitfähigkeit beschrieben: κ ≈ 56 m/(Ω·mm²). Das ist exakt derselbe Sachverhalt wie ρ = 0,0178 Ω·mm²/m, nur aus der anderen Richtung erzählt.
ρ in Ω · mm² / m
κ = 1 / ρ
- κ … Leitfähigkeit in m / (Ω · mm²)
- ρ … spezifischer Widerstand in Ω · mm² / m
Wie ist die in der Praxis übliche Einheit Ω·mm²/m zu lesen?
- a) Sie ist eine alte, abgelöste Einheit und sollte nicht mehr verwendet werden.
- b) Sie ist so geschnitten, dass Querschnitt in mm² und Länge in m direkt eingesetzt werden können.
- c) Sie unterscheidet sich physikalisch von Ω·m und beschreibt einen anderen Sachverhalt.
- d) Sie gilt nur für Aluminium.
Richtig: b)
Ω·mm²/m und Ω·m beschreiben denselben Sachverhalt; sie unterscheiden sich nur um den Faktor 10⁶, der aus der Umrechnung mm² ↔ m² stammt. Die Praxiseinheit erspart das Umrechnen im Kopf.
Welche Materialeigenschaft macht Konstantan zu einem typischen Messwiderstand?
- a) Ein im Vergleich zu Kupfer deutlich höherer spezifischer Widerstand.
- b) Eine besonders niedrige Dichte.
- c) Ein besonders niedriger spezifischer Widerstand.
- d) Eine besonders hohe Schmelztemperatur.
Richtig: a)
Konstantan hat mit ρ ≈ 0,5 Ω·mm²/m einen rund 28-fach höheren spezifischen Widerstand als Kupfer. Dadurch lassen sich kompakte Widerstandselemente herstellen. Dichte und Schmelztemperatur sind hier nebensächlich.
Für Kupfer gibt eine Tabelle κ = 56 m/(Ω·mm²) an, eine andere ρ = 0,0178 Ω·mm²/m. Wie passt das zusammen?
- a) Die Tabellen widersprechen sich, eine davon ist falsch.
- b) κ gilt nur bei Wechselstrom, ρ nur bei Gleichstrom.
- c) Beide Angaben beschreiben dasselbe Material, da 1/0,0178 ≈ 56.
- d) κ und ρ beschreiben unterschiedliche physikalische Größen.
Richtig: c)
Leitfähigkeit und spezifischer Widerstand sind Kehrwerte voneinander. 1 / 0,0178 ≈ 56,2 — beide Tabellen sind konsistent.
3. Widerstand aus Länge und Querschnitt
Material allein reicht nicht: Ein 1 m langes Stück Kupfer hat einen anderen Widerstand als ein 100 m langes Stück desselben Kupfers — und ein dünner Draht einen anderen als ein dicker.
Anschaulich ist das schnell klar:
- Ein längerer Leiter stellt den Elektronen einen längeren Weg in den Weg. Mehr Stöße im Atomgitter, mehr Widerstand. → Proportional zur Länge.
- Ein dickerer Leiter bietet pro Längenabschnitt mehr Platz, durch den die Elektronen parallel fließen können. → Umgekehrt proportional zum Querschnitt.
Daraus ergibt sich die zentrale Formel des Beitrags:
Querschnitt aus dem Durchmesser
Auf der Werkbank misst man mit Bügelmessschraube oder Messschieber den Durchmesser d eines Drahtes, nicht den Querschnitt A. Bei runden Leitern gilt:
Beispiel: Ein Kupferdraht mit d = 1,5 mm hat einen Querschnitt von A = π · 1,5² / 4 ≈ 1,767 mm². Dieser Wert geht dann in die R-Formel ein. Der Calculator weiter unten erledigt diese Umrechnung automatisch.
R = ρ · l / A
- R … Widerstand in Ohm (Ω)
- ρ … spezifischer Widerstand in Ω · mm² / m
- l … Leiterlänge in m
- A … Leiterquerschnitt in mm²
A = π · d² / 4
- A … Querschnitt in mm²
- d … Durchmesser in mm
Gelöstes Beispiel
Eine 100 m lange Kupferleitung hat einen Durchmesser von 2 mm. Wie groß ist ihr Widerstand?
Gegeben: ρ_Cu = 0,0178 Ω·mm²/m, l = 100 m, d = 2 mm
Gesucht: R in Ω
Lösungsweg:
- Schritt 1 — Querschnitt aus Durchmesser: A = π · d² / 4 = π · (2 mm)² / 4 = π · 1 mm² ≈ 3,142 mm²
- Schritt 2 — Widerstand: R = ρ · l / A = 0,0178 · 100 / 3,142 ≈ 0,566 Ω
Ergebnis: R ≈ 0,57 Ω
Übungen
Eine Kupferleitung ist 50 m lang und hat einen Querschnitt von 2,5 mm². Wie groß ist ihr Widerstand?
R = 0,0178 · 50 / 2,5 ≈ 0,356 Ω
Eine Aluminiumleitung ist 80 m lang und hat einen Querschnitt von 4 mm². Wie groß ist ihr Widerstand?
R = 0,028 · 80 / 4 = 0,56 Ω
Ein Kupferdraht mit Durchmesser 1 mm und Länge 30 m soll auf seinen Widerstand untersucht werden. Wie groß ist er?
A = π · 1² / 4 ≈ 0,785 mm²; R = 0,0178 · 30 / 0,785 ≈ 0,680 Ω
Eine 25 m lange Kupferleitung soll einen Widerstand von höchstens 0,2 Ω haben. Welcher Mindestquerschnitt ist nötig?
A = ρ · l / R = 0,0178 · 25 / 0,2 = 2,225 mm² → mindestens 2,5 mm² wählen
Für eine 100 m lange Aluminiumleitung soll der Widerstand 0,5 Ω nicht überschreiten. Welcher Mindestquerschnitt ist nötig, und welcher Durchmesser entspricht das bei rundem Draht?
A = 0,028 · 100 / 0,5 = 5,6 mm²; d = √(4 · A / π) = √(4 · 5,6 / π) ≈ 2,67 mm
Verdoppelt man bei sonst gleichem Material und gleicher Länge den Durchmesser eines runden Drahtes, wie verändert sich sein Widerstand?
- a) Er verdoppelt sich.
- b) Er halbiert sich.
- c) Er bleibt gleich.
- d) Er sinkt auf ein Viertel.
Richtig: d)
Der Querschnitt geht quadratisch in den Durchmesser ein (A = π·d²/4). Doppelter Durchmesser ergibt also vierfachen Querschnitt. Da R umgekehrt proportional zu A ist, sinkt der Widerstand auf ein Viertel. Die linearen Antworten a) und b) verwechseln Durchmesser mit Querschnitt.
Eine Kupferleitung hat den Widerstand R. Wie groß wäre der Widerstand einer Aluminiumleitung mit gleicher Länge und gleichem Querschnitt — bei ρ_Cu ≈ 0,0178 Ω·mm²/m und ρ_Al ≈ 0,028 Ω·mm²/m?
- a) Etwa 0,64 · R
- b) Etwa 1,57 · R
- c) Etwa 2 · R
- d) Etwa 1,0 · R, weil Geometrie und Länge gleich sind
Richtig: b)
Bei gleicher Geometrie skalieren die Widerstände wie ihre ρ-Werte: 0,028 / 0,0178 ≈ 1,57. Antwort a) dreht das Verhältnis um, c) überschätzt, d) übersieht den Materialeinfluss.
Eine Steuerleitung im Feld zeigt einen Spannungsfall von 4 % bei voller Last. Welche der folgenden Maßnahmen verringert den Spannungsfall am wirksamsten?
- a) Wechsel auf einen Leiter mit größerem Querschnitt
- b) Erhöhung der Spannung am Verbraucher
- c) Vergrößerung der Leitungslänge
- d) Wechsel von Kupfer auf Aluminium
Richtig: a)
Ein größerer Querschnitt senkt den Leitungswiderstand und damit den Spannungsfall direkt. Eine Verlängerung erhöht den Widerstand zusätzlich (Antwort c). Aluminium hat schlechtere Leitfähigkeit als Kupfer (d). Antwort b) liegt nicht in der Verfügungsmacht des Anwenders im Feld.
4. Temperaturabhängigkeit des Widerstands
Bisher haben wir den Widerstand so behandelt, als wäre er eine feste Eigenschaft. In der Realität ändert er sich mit der Temperatur. Bei den meisten Metallen wird ein Leiter mit steigender Temperatur schlechter leitend — sein Widerstand steigt.
Der Grund liegt im Atomgitter: Je wärmer das Material, desto stärker schwingen die Atomrümpfe um ihre Ruhelagen. Die Elektronen stoßen häufiger an — die Bremswirkung nimmt zu.
Wie stark sich der Widerstand pro Grad ändert, beschreibt der Temperaturbeiwert α (Alpha), bezogen auf die Ausgangstemperatur 20 °C:
Δϑ (Delta Theta) ist die Differenz zwischen aktueller Temperatur und 20 °C. Ein Bauteil bei 80 °C hat also Δϑ = 60 K.
Typische Werte für α bei Metallen (alle in 1/K):
| Material | α |
|---|---|
| Kupfer | 0,0039 |
| Aluminium | 0,0040 |
| Wolfram | 0,0046 |
| Eisen | 0,0050 |
| Konstantan | ≈ 0 |
| Kohle | negativ, ca. −0,0005 |
Zwei Beobachtungen daraus:
Konstantan ist nicht zufällig nahe Null. Die Legierung wurde so eingestellt, dass ihr Widerstand fast nicht von der Temperatur abhängt — ideal für Messwiderstände, deren Wert auch bei wechselnden Umgebungstemperaturen stabil bleiben soll.
Kohle leitet umgekehrt: Sie wird mit steigender Temperatur besser leitend (negatives α). Das gilt auch für viele Halbleiter. Werkstoffe mit positivem α heißen Kaltleiter (PTC), weil sie kalt am besten leiten. Werkstoffe mit negativem α heißen Heißleiter (NTC) — sie leiten erst bei höheren Temperaturen gut. Dieses Verhalten wird gezielt in Temperaturfühlern ausgenutzt, etwa in PT100-Sensoren oder NTC-Messwiderständen. Wie diese Bauteile aufgebaut sind und in Schaltungen eingesetzt werden, behandelt der Beitrag Temperatursensoren: PT100, NTC, Thermoelement.
R_w = R_20 · (1 + α · Δϑ)
- R_w … Widerstand bei Betriebstemperatur in Ω
- R_20 … Widerstand bei 20 °C in Ω
- α … Temperaturbeiwert in 1/K
- Δϑ … Temperaturdifferenz zu 20 °C in K
Gelöstes Beispiel
Eine Kupferwicklung in einem Motor hat im kalten Zustand bei 20 °C einen Widerstand von 50 Ω. Im Betrieb erwärmt sie sich auf 80 °C. Wie groß ist der Wicklungswiderstand bei Betriebstemperatur?
Gegeben: R_20 = 50 Ω, α_Cu = 0,0039 1/K, ϑ_w = 80 °C
Gesucht: R_w in Ω
Lösungsweg:
- Schritt 1 — Temperaturdifferenz: Δϑ = 80 °C − 20 °C = 60 K
- Schritt 2 — Warmwiderstand: R_w = R_20 · (1 + α · Δϑ) = 50 · (1 + 0,0039 · 60) = 50 · 1,234 = 61,7 Ω
Ergebnis: R_w ≈ 61,7 Ω
Übungen
Eine Kupferwicklung hat bei 20 °C einen Widerstand von 25 Ω. Bei welcher Temperatur ergibt sich ein Widerstand von 28 Ω? (α = 0,0039 1/K)
Δϑ = (28/25 − 1) / 0,0039 ≈ 30,8 K → ϑ ≈ 50,8 °C
Eine Aluminiumleitung hat bei 20 °C einen Widerstand von 1,2 Ω. Wie groß ist ihr Widerstand bei −10 °C? (α = 0,004 1/K)
Δϑ = −30 K; R_w = 1,2 · (1 + 0,004 · (−30)) = 1,2 · 0,88 = 1,056 Ω
Eine Eisenleitung hat bei 20 °C 0,8 Ω. Sie wird auf 120 °C erhitzt. Wie groß ist ihr Widerstand danach? (α = 0,005 1/K)
Δϑ = 100 K; R_w = 0,8 · (1 + 0,005 · 100) = 0,8 · 1,5 = 1,2 Ω
Ein Wolfram-Glühdraht hat bei 20 °C den Widerstand 40 Ω. Bei welcher Temperatur wäre sein Widerstand 530 Ω, wenn man die einfache lineare Beziehung verwendet? (α = 0,0046 1/K)
Δϑ = (530/40 − 1) / 0,0046 ≈ 2 663 K → ϑ ≈ 2 683 °C (in der Realität ist die Beziehung bei so hohen Temperaturen nicht mehr exakt linear, der Wert stimmt aber größenordnungsmäßig)
Ein Heißleiter (NTC) hat bei 20 °C den Widerstand 1 000 Ω und einen Temperaturbeiwert α = −0,04 1/K (näherungsweise konstant in einem kleinen Bereich). Wie groß ist sein Widerstand bei 40 °C?
Δϑ = 20 K; R_w = 1 000 · (1 + (−0,04) · 20) = 1 000 · 0,2 = 200 Ω (echte NTCs verhalten sich nicht linear; das Beispiel demonstriert nur das Vorzeichen)
Warum steigt der Widerstand eines Kupferleiters, wenn er sich erwärmt?
- a) Das Material dehnt sich aus, dadurch wird der Querschnitt kleiner.
- b) Die Anzahl der freien Elektronen sinkt mit der Temperatur.
- c) Die Atomrümpfe schwingen stärker und behindern die Elektronen häufiger.
- d) Die Spannungsquelle liefert bei höheren Temperaturen weniger Spannung.
Richtig: c)
Die thermische Schwingung des Atomgitters ist die zentrale Ursache. Längenausdehnung wirkt nur minimal mit. Bei Metallen ist die Zahl freier Elektronen praktisch temperaturunabhängig. Die Spannungsquelle spielt für die Materialeigenschaft keine Rolle.
Welche Aussage über Konstantan trifft zu?
- a) Es hat einen besonders hohen Temperaturbeiwert.
- b) Es leitet besser als reines Kupfer.
- c) Sein Widerstand ist über einen weiten Temperaturbereich nahezu konstant.
- d) Es ist ein Heißleiter.
Richtig: c)
Das α von Konstantan liegt nahe null — der Widerstand bleibt also weitgehend gleich, unabhängig von der Temperatur. Das ist genau die geforderte Eigenschaft für Messwiderstände. Es leitet schlechter als Kupfer und ist kein Heißleiter.
Eine kalte Glühlampe zeigt mit dem Multimeter 40 Ω. Im Betrieb errechnet sich aus U und I ein Widerstand von etwa 530 Ω. Was folgt daraus?
- a) Das Multimeter ist defekt.
- b) Wolfram hat einen stark ausgeprägten positiven Temperaturbeiwert; der Betriebswiderstand ist viel höher als der Kaltwiderstand.
- c) Die Glühlampe wechselt im Betrieb das Material.
- d) Bei Wechselstrom ist der Widerstand grundsätzlich höher als bei Gleichstrom.
Richtig: b)
Der Glühdraht erreicht im Betrieb Temperaturen weit über 2 000 °C. Bei α ≈ 0,0046 1/K führt das zu einem mehr als 13-fachen Widerstand. Das Material wechselt nicht; mit Wechselstrom hat das nichts zu tun.
Abschlusstest
Aufgabe 1: Eine 120 m lange Kupferleitung hat einen Querschnitt von 6 mm². Wie groß ist ihr Widerstand?
Gegeben: ρ_Cu = 0,0178 Ω·mm²/m, l = 120 m, A = 6 mm²
Gesucht: R in Ω
Lösungsweg: R = ρ · l / A = 0,0178 · 120 / 6 = 0,356 Ω
Ergebnis: R ≈ 0,36 Ω
Aufgabe 2: Welchen Mindestquerschnitt muss eine 60 m lange Aluminiumleitung haben, damit ihr Widerstand höchstens 0,3 Ω beträgt?
Gegeben: ρ_Al = 0,028 Ω·mm²/m, l = 60 m, R_max = 0,3 Ω
Gesucht: A_min in mm²
Lösungsweg: A = ρ · l / R = 0,028 · 60 / 0,3 = 5,6 mm²
Ergebnis: Mindestens 5,6 mm² — in der Praxis wird der nächstgrößere genormte Querschnitt gewählt.
Aufgabe 3: Ein Kupferdraht mit dem Durchmesser 0,8 mm soll auf seinen Widerstand untersucht werden. Er ist 40 m lang.
Gegeben: ρ_Cu = 0,0178 Ω·mm²/m, l = 40 m, d = 0,8 mm
Gesucht: R in Ω
Lösungsweg:
- A = π · d² / 4 = π · 0,64 / 4 ≈ 0,503 mm²
- R = ρ · l / A = 0,0178 · 40 / 0,503 ≈ 1,416 Ω
Ergebnis: R ≈ 1,42 Ω
Aufgabe 4: Eine Eisenleitung hat bei 20 °C einen Widerstand von 2 Ω. Wie groß ist ihr Widerstand bei 70 °C?
Gegeben: R_20 = 2 Ω, α = 0,005 1/K, ϑ_w = 70 °C
Gesucht: R_w in Ω
Lösungsweg:
- Δϑ = 70 − 20 = 50 K
- R_w = 2 · (1 + 0,005 · 50) = 2 · 1,25 = 2,5 Ω
Ergebnis: R_w = 2,5 Ω
Aufgabe 5: Eine Motorwicklung aus Kupfer wird im kalten Zustand mit 18 Ω gemessen. Nach dem Betrieb beträgt der Widerstand 22 Ω. Welche Temperatur hat die Wicklung erreicht?
Gegeben: R_20 = 18 Ω, R_w = 22 Ω, α = 0,0039 1/K
Gesucht: ϑ_w in °C
Lösungsweg:
- Δϑ = (R_w / R_20 − 1) / α = (22 / 18 − 1) / 0,0039 = 0,2222 / 0,0039 ≈ 57 K
- ϑ_w = 20 + 57 = 77 °C
Ergebnis: ϑ_w ≈ 77 °C
Aufgabe 6: Eine 200 m lange Kupferleitung mit 10 mm² Querschnitt wird im Sommer auf 50 °C aufgeheizt. Wie groß ist ihr Widerstand bei dieser Temperatur?
Gegeben: ρ_Cu = 0,0178 Ω·mm²/m, l = 200 m, A = 10 mm², α = 0,0039 1/K, ϑ_w = 50 °C
Gesucht: R_w in Ω
Lösungsweg:
- R_20 = 0,0178 · 200 / 10 = 0,356 Ω
- Δϑ = 50 − 20 = 30 K
- R_w = 0,356 · (1 + 0,0039 · 30) = 0,356 · 1,117 ≈ 0,398 Ω
Ergebnis: R_w ≈ 0,40 Ω
Ein Bauteil zeigt bei 12 V einen Strom von 0,5 A. Welche Aussage zum Widerstand ist korrekt?
- a) Der Widerstand beträgt 24 Ω; sein Leitwert ist etwa 0,042 S.
- b) Der Widerstand beträgt 6 Ω; der Leitwert ist 0,17 S.
- c) Der Widerstand beträgt 24 Ω; sein Leitwert ist 24 S.
- d) Aus U und I lässt sich kein Widerstand bestimmen.
Richtig: a)
R = 12 / 0,5 = 24 Ω; G = 1/24 ≈ 0,0417 S. Antwort b) verwechselt Multiplikation mit Division. Antwort c) verwechselt Widerstand und Leitwert.
Eine Kupferleitung mit 4 mm² Querschnitt und 30 m Länge soll durch eine Aluminiumleitung gleicher Länge mit gleichem Widerstand ersetzt werden. Welcher Querschnitt ist mindestens nötig?
- a) 2,55 mm²
- b) Etwa 6,3 mm²
- c) 4 mm² — Querschnitt bleibt gleich, weil Länge gleich
- d) Etwa 16 mm²
Richtig: b)
Bei gleichem R und gleichem l skalieren die Querschnitte mit dem Verhältnis der ρ-Werte: A_Al = A_Cu · ρ_Al / ρ_Cu = 4 · 0,028 / 0,0178 ≈ 6,29 mm². Antwort a) dreht das Verhältnis um. c) übersieht den Materialeinfluss; d) überschätzt grob.
Welche Größe hat in der Beziehung R = ρ · l / A keinen direkten Einfluss?
- a) Der spezifische Widerstand des Materials.
- b) Die Leiterlänge.
- c) Die Spannung am Leiter.
- d) Der Leiterquerschnitt.
Richtig: c)
R ist eine Bauteileigenschaft und wird unabhängig von der angelegten Spannung berechnet. Die anderen drei Größen stehen direkt in der Formel.
Bei welchem der folgenden Werkstoffe wäre ein nahezu konstanter Widerstand über einen weiten Temperaturbereich zu erwarten?
- a) Reines Kupfer
- b) Reines Eisen
- c) Wolfram
- d) Konstantan
Richtig: d)
Konstantan ist genau dafür entwickelt — sein α liegt nahe null. Die anderen sind reine Metalle mit deutlich positivem α.
Ein PT100 ist ein Platin-Messwiderstand mit positivem Temperaturbeiwert. Was lässt sich daraus über die Temperaturmessung folgern?
- a) Der gemessene Widerstand wächst mit steigender Temperatur — daraus lässt sich die Temperatur ermitteln.
- b) Der gemessene Widerstand sinkt mit steigender Temperatur.
- c) Der Widerstand ist temperaturunabhängig, der PT100 misst über einen anderen Effekt.
- d) Bei negativer Temperatur fließt kein Strom.
Richtig: a)
Positives α bedeutet: höhere Temperatur → höherer Widerstand. Genau diese Zuordnung wird in der Auswerteelektronik invertiert, um aus dem Widerstand die Temperatur zu berechnen.
Was passiert mit dem Widerstand eines Heißleiters bei steigender Temperatur?
- a) Er steigt linear an.
- b) Er sinkt.
- c) Er bleibt konstant.
- d) Er pendelt um einen Mittelwert.
Richtig: b)
Heißleiter (NTC) haben negatives α — der Widerstand fällt mit zunehmender Temperatur. Genau das wird in NTC-Temperaturfühlern genutzt.
Welche der folgenden Maßnahmen halbiert den Widerstand eines Kupferdrahtes genau?
- a) Halbierung der Länge bei gleichem Querschnitt — ergibt halben Widerstand.
- b) Verdoppelung des Querschnitts bei gleicher Länge — ergibt halben Widerstand.
- c) Beide Aussagen a) und b) sind richtig.
- d) Keine der beiden Aussagen ist richtig.
Richtig: c)
Aus R = ρ · l / A folgt sowohl R/2 bei halber Länge als auch R/2 bei doppeltem Querschnitt — beides sind gleichwertige Wege.
Ein Draht hat den spezifischen Widerstand ρ = 0,1 Ω·mm²/m. Welche Aussage zur Materialklasse ist plausibel?
- a) Es handelt sich um Silber.
- b) Es handelt sich um Kupfer.
- c) Es ist ein typischer Isolator.
- d) Es ist eher ein Konstruktionsmetall wie Eisen.
Richtig: d)
Silber liegt bei 0,016, Kupfer bei 0,0178. Eisen liegt im Bereich 0,1 — passt genau. Isolatoren liegen viele Größenordnungen darüber.
Eine Glühlampe zeigt im kalten Zustand 40 Ω, im Betrieb etwa 530 Ω. Was folgt daraus für den Einschaltvorgang bei 230 V?
- a) Der Einschaltstrom ist um ein Vielfaches höher als der Betriebsstrom.
- b) Der Einschaltstrom entspricht genau dem Betriebsstrom.
- c) Der Einschaltstrom ist kleiner als der Betriebsstrom.
- d) Es fließt kein Einschaltstrom, weil die Wendel zuerst aufgeheizt werden muss.
Richtig: a)
Im ersten Moment ist der Widerstand klein → I = U / R = 230 / 40 ≈ 5,75 A; im Betrieb dagegen 230 / 530 ≈ 0,43 A. Der Einschaltstrom ist also etwa um den Faktor 13 höher und belastet die Wendel mechanisch sowie thermisch besonders stark.
Drei Leitungen aus demselben Material haben identische Länge. Leitung 1 hat 4 mm², Leitung 2 hat 8 mm², Leitung 3 hat 16 mm². In welchem Verhältnis stehen die Widerstände R₁ : R₂ : R₃?
- a) 1 : 2 : 4
- b) 4 : 2 : 1
- c) 1 : 1 : 1
- d) 16 : 8 : 4
Richtig: b)
Der Widerstand ist umgekehrt proportional zum Querschnitt. Bei verdoppeltem Querschnitt halbiert sich R. R₁ : R₂ : R₃ entspricht also 1/4 : 1/8 : 1/16, was — auf gemeinsamen Nenner gebracht — 4 : 2 : 1 ergibt. Antwort a) verdreht die Proportionalität.
Glossar
- Elektrischer Widerstand (R)
- Behinderung des Stromflusses in einem Bauteil oder Leiter. Definiert als R = U / I, Einheit Ohm (Ω).
- Leitwert (G)
- Kehrwert des Widerstands, G = 1/R. Beschreibt, wie gut ein Bauteil leitet. Einheit Siemens (S).
- Spezifischer Widerstand (ρ)
- Materialkonstante, die angibt, wie stark ein Werkstoff Strom behindert. Praxiseinheit Ω·mm²/m, SI-Einheit Ω·m.
- Spezifische Leitfähigkeit (κ)
- Kehrwert des spezifischen Widerstands, κ = 1/ρ. Einheit m/(Ω·mm²) oder S·m/mm². Beschreibt dieselbe Materialeigenschaft aus der entgegengesetzten Sicht.
- Temperaturbeiwert (α)
- Gibt an, um welchen Anteil sich der Widerstand pro Kelvin Temperaturänderung verändert. Einheit 1/K. Bezugstemperatur ist üblicherweise 20 °C.
- Kaltleiter (PTC)
- Werkstoff mit positivem Temperaturbeiwert; sein Widerstand steigt mit der Temperatur. Dazu zählen die meisten Metalle.
- Heißleiter (NTC)
- Werkstoff mit negativem Temperaturbeiwert; sein Widerstand sinkt mit der Temperatur. Typisch für Kohle und viele Halbleitermaterialien.
Österreichische Normen
- ÖNORM EN 60228: Legt die genormten Nennquerschnitte für Leiter in Kabeln und isolierten Leitungen fest und gibt die maximal zulässigen Leitwiderstände je Querschnitt und Material an.