Phasenverschiebung erklärt – φ, cos φ und Zeigerdiagramm

Wechselstrom hat eine Eigenschaft, die im Gleichstrom keine Rolle spielt: Spannung und Strom schwingen in der Zeit, und sie tun das nicht zwangsläufig im Gleichtakt. Sobald in einer Schaltung eine Spule oder ein Kondensator vorkommt, läuft der Strom der Spannung zeitlich hinterher oder voraus. Dieser zeitliche Versatz heißt Phasenverschiebung und wird durch den Phasenwinkel φ beschrieben.

Phasenverschiebung ist kein akademisches Detail. Sie entscheidet darüber, wie viel der scheinbar bezogenen Leistung tatsächlich Arbeit verrichtet, wie groß die Ströme in den Zuleitungen werden und wie hoch die Verluste in den Kabeln sind. In jeder Industrieanlage mit Motoren, Trafos oder Vorschaltgeräten ist das ein direkter Kostenfaktor.

Dieser Beitrag erklärt, was Phasenverschiebung anschaulich bedeutet, wie sie bei ohmschen, induktiven und kapazitiven Lasten zustande kommt, wie man sie im Zeigerdiagramm darstellt, wie man den Phasenwinkel berechnet und welchen Einfluss sie auf den Leistungsfaktor cos φ hat.

Vorwissen

Gleichstrom und Wechselstrom (DC vs. AC)

Was ist Phasenverschiebung?

In einem Wechselstromkreis schwingen Spannung und Strom sinusförmig mit derselben Frequenz, zum Beispiel mit 50 Hz im öffentlichen Netz. Beide Größen lassen sich als Funktion der Zeit darstellen:

u(t) = û · sin(ω·t)

i(t) = î · sin(ω·t − φ)

u(t) … Momentanwert der Spannung in V
i(t) … Momentanwert des Stroms in A
û … Scheitelwert der Spannung in V
î … Scheitelwert des Stroms in A
ω … Kreisfrequenz in rad/s, ω = 2·π·f
t … Zeit in s
φ … Phasenwinkel in rad oder °

Beide Kurven haben dieselbe Periodendauer T und dieselbe Frequenz f, aber ihre Nulldurchgänge fallen nicht zwingend zusammen. Der zeitliche Versatz Δt zwischen den beiden Kurven entspricht einem Winkel φ:

φ = ω · Δt = 2·π·f · Δt

φ … Phasenwinkel in rad
ω … Kreisfrequenz in rad/s
f … Frequenz in Hz
Δt … Zeitversatz in s

Die übliche Vorzeichenkonvention lautet:

φ = φ_u − φ_i

φ_u … Nullphasenwinkel der Spannung
φ_i … Nullphasenwinkel des Stroms

Damit gilt: Ist φ positiv, eilt die Spannung dem Strom voraus, der Strom hinkt also nach. Ist φ negativ, eilt der Strom der Spannung voraus.

Wichtig ist die Voraussetzung gleicher Frequenz. Nur dann bleibt der Versatz zwischen beiden Kurven über die Zeit konstant, und nur dann ist es überhaupt sinnvoll, von einem festen Phasenwinkel zu sprechen. Bei unterschiedlichen Frequenzen verschiebt sich der Abstand der Nulldurchgänge fortlaufend, und es gibt keine konstante Phasenlage.

Zwei Sinuskurven u(t) und i(t) mit eingezeichnetem Versatz Δt und Phasenwinkel φ

Gelöstes Beispiel

Eine Spannung schwingt mit 50 Hz. Der zugehörige Strom ist um Δt = 2 ms verzögert. Wie groß ist der Phasenwinkel φ in Grad?

Periodendauer berechnen: T = 1 / f = 1 / 50 Hz = 0,02 s = 20 ms
Anteil des Versatzes an der Periode: Δt / T = 2 ms / 20 ms = 0,1
In Grad umrechnen (eine volle Periode entspricht 360°): φ = 0,1 · 360° = 36°

Ergebnis: φ = 36°, der Strom eilt der Spannung um 36° nach.

Übungen

Berechne φ in Grad bei f = 50 Hz und Δt = 1,5 ms.

T = 1/50 Hz = 20 ms. Δt/T = 1,5/20 = 0,075. φ = 0,075 · 360° = 27°.

Bei f = 60 Hz beträgt die Verzögerung des Stroms 0,8 ms. Wie groß ist φ?

T = 1/60 Hz ≈ 16,67 ms. φ = (0,8 / 16,67) · 360° ≈ 17,28°.

Eine Spannung u(t) hat ihren Nulldurchgang bei t = 0. Der Strom hat seinen Nulldurchgang bei t = 4,17 ms. Welcher Phasenwinkel ergibt sich bei 50 Hz, und was bedeutet das Vorzeichen?

T = 20 ms. φ = (4,17/20) · 360° ≈ 75°. Der Strom hat seinen Nulldurchgang später als die Spannung, also eilt er nach: φ = +75° (induktives Verhalten).

Rechne φ = 1,047 rad in Grad um und gib den Zeitversatz bei 50 Hz an.

φ = 1,047 · (180°/π) ≈ 60°. Δt = (60°/360°) · 20 ms ≈ 3,33 ms.

Bei welcher Frequenz entspricht ein Versatz von Δt = 1 ms genau einem Phasenwinkel von 30°?

30° entsprechen 1/12 der Periode. T = 12 · 1 ms = 12 ms. f = 1/T = 1/0,012 s ≈ 83,3 Hz.

Zwei Sinusgrößen mit unterschiedlichen Frequenzen werden am Oszilloskop dargestellt. Welcher Aussage zur Phasenverschiebung ist zutreffend?

a) Der Phasenwinkel ist die Differenz der Scheitelwerte
b) Der Versatz zwischen den Kurven ändert sich fortlaufend, ein konstanter Phasenwinkel ist nicht definierbar
c) Der Phasenwinkel ist immer 90°, sobald die Frequenzen verschieden sind
d) Der Phasenwinkel entspricht dem Quotienten der beiden Frequenzen

Richtig: b)

Phasenwinkel sind nur bei gleicher Frequenz sinnvoll definiert, weil sich nur dann der zeitliche Versatz zwischen den Nulldurchgängen nicht verändert. Bei unterschiedlichen Frequenzen wandert dieser Versatz, daher gibt es keinen festen Wert für φ. Die Scheitelwerte sind unabhängig von der Phase, und der Quotient der Frequenzen hat mit der Phasenlage nichts zu tun.

Eine Stromkurve i(t) erreicht ihren positiven Scheitelwert genau dann, wenn die Spannung u(t) bei null durch null geht und ansteigt. Wie groß ist φ = φ_u − φ_i?

a) +90°
b) 0°
c) −90°
d) +180°

Richtig: c)

Die Spannung erreicht ihren Maximalwert eine Viertelperiode nach dem Nulldurchgang im Anstieg. Wenn der Strom dort schon im Maximum ist, liegt sein Maximum eine Viertelperiode vor dem der Spannung, das heißt, der Strom eilt voraus. In der Konvention φ = φ_u − φ_i bedeutet das φ = −90°. +90° wäre der umgekehrte Fall (Strom eilt nach), 0° ergäbe gleichzeitige Nulldurchgänge, +180° eine Gegenphase.

Welche Aussage über Vorzeichen und Bedeutung von φ ist korrekt?

a) Bei φ > 0 sind Spannung und Strom in Phase, weil das Vorzeichen positiv ist
b) Bei φ > 0 eilt der Strom der Spannung nach
c) Das Vorzeichen von φ hat nur mathematische, keine physikalische Bedeutung
d) Bei φ = 0 ist die Frequenz von Strom und Spannung unterschiedlich

Richtig: b)

Mit der Konvention φ = φ_u − φ_i bedeutet ein positives φ, dass der Strom in der Zeitachse später seinen Nulldurchgang hat als die Spannung; er eilt nach. Das ist das typische Verhalten an einer induktiven Last. Ein φ von null ist gleichbedeutend mit gleichzeitigen Nulldurchgängen und nicht mit unterschiedlichen Frequenzen. Das Vorzeichen ist physikalisch eindeutig: Es entscheidet zwischen induktivem und kapazitivem Charakter.

Lastarten und ihr Phasenverhalten

Wie groß die Phasenverschiebung in einem konkreten Stromkreis ist, hängt davon ab, welche Bauelemente die Last bilden. Drei Idealfälle bilden die Basis.

Ohmsche Last (R)

Bei einem reinen Wirkwiderstand folgt der Strom der Spannung verzögerungsfrei. Beide Kurven haben gleichzeitig ihre Nulldurchgänge und gleichzeitig ihre Maxima. Der Phasenwinkel ist φ = 0°. Beispiele sind Glühlampen oder elektrische Heizwiderstände.

Induktive Last (L)

Eine Spule baut bei steigendem Strom ein Magnetfeld auf. Die dabei induzierte Gegenspannung wirkt der Stromänderung entgegen, der Strom kann der Spannung also nur verzögert folgen. Bei einer rein induktiven Last beträgt diese Verzögerung genau eine Viertelperiode, und der Phasenwinkel ist φ = +90°. Der Blindwiderstand der Spule wächst mit der Frequenz:

X_L = ω · L = 2·π·f · L

X_L … induktiver Blindwiderstand in Ω
ω … Kreisfrequenz in rad/s
f … Frequenz in Hz
L … Induktivität in H

Kapazitive Last (C)

Ein Kondensator nimmt zuerst Ladung auf, bevor sich an seinen Platten eine Spannung aufbaut. Der Strom fließt also schon, während die Spannung noch klein ist. Bei einer rein kapazitiven Last eilt der Strom der Spannung um eine Viertelperiode voraus, der Phasenwinkel ist φ = −90°. Der kapazitive Blindwiderstand fällt mit steigender Frequenz:

X_C = 1 / (ω · C) = 1 / (2·π·f · C)

X_C … kapazitiver Blindwiderstand in Ω
ω … Kreisfrequenz in rad/s
f … Frequenz in Hz
C … Kapazität in F

Eselsbrücke: Bei einer Induktivität kommt der Strom später, bei einer Kapazität früher.

Reale Lasten

In der Praxis ist eine Last selten rein ohmsch, induktiv oder kapazitiv. Ein Asynchronmotor hat ohmsche Wicklungswiderstände und eine ausgeprägte Induktivität, ein Vorschaltgerät einer Leuchtstofflampe ebenfalls. Solche Lasten werden durch eine Impedanz Z mit ohmschem Anteil R und Blindanteil X beschrieben. Der Phasenwinkel liegt dann zwischen 0° und ±90°. Wie sich Z und φ aus R und X ergeben, wird in Kapitel 4 gezeigt.

Phasenlage von Strom und Spannung bei rein ohmscher, induktiver und kapazitiver Last

Gelöstes Beispiel

Eine Spule hat L = 80 mH und ist an 50 Hz angeschlossen. Berechne den induktiven Blindwiderstand X_L.

Kreisfrequenz: ω = 2·π·f = 2·π·50 Hz ≈ 314,16 rad/s
Blindwiderstand: X_L = ω · L = 314,16 rad/s · 0,08 H ≈ 25,13 Ω

Ergebnis: X_L ≈ 25,1 Ω. Bei rein induktivem Verhalten beträgt der Phasenwinkel φ = +90°.

Übungen

Berechne X_L einer Drossel mit L = 150 mH bei f = 50 Hz.

X_L = 2·π·50 Hz · 0,15 H ≈ 47,12 Ω.

Wie groß ist X_C eines Kondensators mit C = 22 μF bei f = 50 Hz?

X_C = 1 / (2·π·50 Hz · 22·10⁻⁶ F) ≈ 144,7 Ω.

Bestimme den Strom î durch einen idealen Kondensator mit C = 10 μF bei û = 325 V und f = 50 Hz, ausgedrückt im Effektivwert (I = U / X_C).

U_eff = 325 V / √2 ≈ 230 V. X_C = 1/(2·π·50·10·10⁻⁶) ≈ 318,3 Ω. I = 230 V / 318,3 Ω ≈ 0,72 A.

Bei welcher Frequenz hat eine Spule mit L = 100 mH einen Blindwiderstand von 100 Ω?

f = X_L / (2·π·L) = 100 Ω / (2·π·0,1 H) ≈ 159,2 Hz.

Eine ideale Spule und ein idealer Kondensator sind in Reihe geschaltet, L = 50 mH, C = 50 μF. Bei welcher Frequenz wird X_L = X_C (Resonanzbedingung)?

f_0 = 1 / (2·π·√(L·C)) = 1 / (2·π·√(0,05 · 50·10⁻⁶)) = 1 / (2·π·√(2,5·10⁻⁶)) ≈ 100,7 Hz.

Eine Drossel wird statt mit 50 Hz mit 100 Hz betrieben. Bei sonst gleicher Anordnung gilt für den Strom:

a) Er bleibt gleich, weil der ohmsche Widerstand maßgeblich ist
b) Er steigt, weil X_L mit der Frequenz fällt
c) Er sinkt, weil X_L mit der Frequenz steigt
d) Er kehrt seine Phasenlage um

Richtig: c)

Der Blindwiderstand einer Spule wächst proportional zur Frequenz (X_L = 2·π·f·L). Bei doppelter Frequenz verdoppelt er sich, der Strom durch die Spule sinkt entsprechend. Der ohmsche Widerstand spielt bei einer idealen Drossel keine Rolle, und die Phasenlage induktiv–nacheilend bleibt erhalten.

An einem Kondensator wird die Frequenz von 50 Hz auf 25 Hz halbiert. Welche Aussage stimmt?

a) X_C halbiert sich
b) X_C verdoppelt sich
c) X_C bleibt unverändert, weil die Kapazität gleich bleibt
d) Aus dem kapazitiven Verhalten wird ein induktives

Richtig: b)

Aus X_C = 1/(2·π·f·C) folgt, dass X_C umgekehrt proportional zur Frequenz ist. Halbiert sich f, verdoppelt sich X_C. Die Kapazität als Bauteilwert bleibt zwar konstant, der Blindwiderstand jedoch nicht. Eine Phasendrehung von kapazitiv zu induktiv ergibt sich allein durch eine Frequenzänderung nicht.

Welcher Lastfall führt zu einem Strom, der dem Spannungsverlauf um eine Viertelperiode vorauseilt?

a) Reiner ohmscher Widerstand
b) Reine Spule
c) Reiner Kondensator
d) Eine Reihenschaltung aus Spule und Widerstand

Richtig: c)

Beim Kondensator beginnt der Stromfluss bereits, während die Spannung noch klein ist; der Strom eilt voraus, φ = −90°. Bei einer Spule eilt er nach, beim ohmschen Widerstand ist φ = 0, bei einer RL-Reihenschaltung liegt φ zwischen 0° und +90° (Strom nacheilend).

Eine Last besteht aus einem Widerstand und einer Spule in Reihe. Welche Aussage über den Phasenwinkel ist korrekt?

a) φ ist exakt +90°
b) φ ist exakt 0°
c) φ liegt zwischen 0° und +90°, abhängig vom Verhältnis X_L/R
d) φ kann auch negativ werden, abhängig von der Frequenz

Richtig: c)

Eine RL-Reihenschaltung verhält sich gemischt: Der ohmsche Anteil zieht φ Richtung 0°, der induktive Anteil Richtung +90°. Das Verhältnis tan φ = X_L/R legt den genauen Wert fest. Negativ wird φ in einer reinen RL-Schaltung nie, weil keine kapazitive Komponente vorhanden ist.

Zeigerdiagramm als Werkzeug

Wechselgrößen über die Zeit aufzutragen ist anschaulich, wird aber bei mehreren überlagerten Spannungen und Strömen schnell unübersichtlich. Ein Zeigerdiagramm reduziert das Problem auf eine statische Darstellung in der Ebene.

Idee

Eine sinusförmige Wechselgröße kann als rotierender Zeiger in der komplexen Ebene aufgefasst werden. Der Zeiger dreht sich mit der Kreisfrequenz ω, und die Projektion auf die senkrechte Achse ergibt den momentanen Wert der Sinusgröße. Da alle Größen einer Schaltung mit derselben Frequenz rotieren, kann man die Drehung „anhalten“ und nur das Standbild betrachten. Übrig bleiben Zeiger fester Länge mit festen Winkelbeziehungen.

Bedeutung der Zeiger

Die Länge des Zeigers entspricht dem Effektivwert (oder wahlweise dem Scheitelwert) der zugehörigen Größe. Der Winkel zwischen einem Spannungs- und einem Stromzeiger ist der Phasenwinkel φ. Mehrere Zeiger lassen sich vektoriell addieren, ganz wie Kräfte in der Mechanik.

Beispiel RL-Reihenschaltung

In einer Reihenschaltung aus Widerstand und Spule fließt durch beide Bauteile derselbe Strom. Den Stromzeiger I legt man üblicherweise in die Bezugsachse. Die Spannung U_R am ohmschen Widerstand liegt parallel dazu (in Phase mit I). Die Spannung U_L an der Spule steht senkrecht dazu und eilt I um 90° voraus. Die Gesamtspannung U_ges ergibt sich als geometrische Summe:

U_ges = √(U_R² + U_L²)

U_ges … Gesamtspannung in V
U_R … Spannung am ohmschen Widerstand in V
U_L … Spannung an der Spule in V

Der Winkel zwischen U_ges und I ist der Phasenwinkel φ der Schaltung. An ihm erkennt man unmittelbar, ob die Last überwiegend ohmsch (kleines φ) oder überwiegend induktiv (großes φ) ist.

Vorteil

Sobald in einer Schaltung mehrere Bauelemente und Spannungsabfälle vorkommen, ist das Zeigerdiagramm das einfachere Werkzeug. Anstelle von Sinusfunktionen werden lediglich Strecken und Winkel addiert. Auch die in Kapitel 4 verwendeten Beziehungen (Impedanzdreieck, tan φ = X/R) sind nichts anderes als Zeigerdiagramme, bei denen die Spannungsteiler durch den gemeinsamen Strom dividiert wurden.

Zeigerdiagramm einer RL-Reihenschaltung mit U_R, U_L, U_ges und Phasenwinkel φ

In einer RC-Reihenschaltung wird der Stromzeiger als Bezug gewählt. Wie liegt der Spannungszeiger U_C relativ zum Stromzeiger?

a) In gleicher Richtung wie der Stromzeiger
b) Senkrecht nach oben (90° voreilend)
c) Senkrecht nach unten (90° nacheilend)
d) Genau entgegengesetzt zum Stromzeiger

Richtig: c)

An einem Kondensator eilt der Strom der Spannung um 90° voraus, also eilt die Kondensatorspannung dem Strom um 90° nach. In der üblichen Darstellung mit waagrechtem Stromzeiger zeigt U_C senkrecht nach unten. Eine Lage in Stromrichtung wäre der ohmsche Fall, eine Lage senkrecht nach oben wäre der induktive Fall, und 180° ergäbe sich nur bei einer reinen Vorzeichenumkehr.

Bei einer RL-Reihenschaltung ergibt das Zeigerdiagramm U_R = 100 V und U_L = 100 V. Was ist über φ und U_ges zu sagen?

a) U_ges = 200 V, φ = 0°
b) U_ges = √2 · 100 V ≈ 141 V, φ = 45°
c) U_ges = 100 V, φ = 90°
d) U_ges hängt zusätzlich von der Frequenz ab und ist ohne Angabe nicht berechenbar

Richtig: b)

Die beiden Zeiger stehen senkrecht aufeinander. Geometrisch ergibt sich U_ges = √(100² + 100²) ≈ 141 V und φ = arctan(100/100) = 45°. Die Gesamtspannung ist nicht die arithmetische Summe, weil U_R und U_L nicht in Phase sind. Eine zusätzliche Frequenzangabe wäre nötig, wenn man X_L oder L bestimmen wollte; für das Zeigerdiagramm selbst genügen die Effektivwerte.

Warum ist es sinnvoll, in einer Reihenschaltung den Stromzeiger als Bezug zu wählen?

a) Weil der Strom die größte Amplitude hat
b) Weil der Strom in allen Bauteilen einer Reihenschaltung identisch ist und daher als gemeinsamer Maßstab dient
c) Weil φ nur dann berechenbar ist, wenn der Strom waagrecht liegt
d) Weil ohne diese Wahl die Spannungen nicht addierbar wären

Richtig: b)

In jeder Reihenschaltung fließt überall derselbe Strom; er eignet sich daher hervorragend als Bezugsgröße. Die Amplitude spielt keine Rolle, denn die Lage der Zeiger relativ zueinander ist invariant gegenüber Drehungen des Diagramms. φ kann auch in jeder anderen Bezugslage abgelesen werden, und Spannungen sind grundsätzlich addierbar – die Bezugswahl betrifft nur die Übersichtlichkeit.

Berechnung des Phasenwinkels

Der Phasenwinkel einer gemischten Schaltung lässt sich aus den Wirk- und Blindanteilen direkt rechnen. Das geometrische Hilfsmittel dafür ist das Impedanzdreieck.

Impedanzdreieck

Stellt man in einem rechtwinkligen Dreieck den Wirkwiderstand R als Ankathete und den Blindwiderstand X als Gegenkathete dar, dann ist die Hypotenuse die Impedanz Z, und der Winkel an der Spitze über R ist der Phasenwinkel φ.

Z = √(R² + X²)

tan φ = X / R

φ = arctan(X / R)

Z … Impedanz (Scheinwiderstand) in Ω
R … Wirkwiderstand in Ω
X … Blindwiderstand in Ω
φ … Phasenwinkel

Der Blindwiderstand setzt sich bei einer gemischten Schaltung mit Spule und Kondensator aus beiden Anteilen zusammen, mit Vorzeichen:

X = X_L − X_C

X … Gesamtblindwiderstand in Ω
X_L … induktiver Blindwiderstand in Ω
X_C … kapazitiver Blindwiderstand in Ω

Das Vorzeichen von X entscheidet über das Verhalten: Bei X > 0 (induktiv überwiegt) ist φ positiv und der Strom eilt nach. Bei X < 0 (kapazitiv überwiegt) ist φ negativ und der Strom eilt voraus. Bei X = 0 liegt rein ohmscher Charakter vor, φ = 0°. Diese Bedingung ist die Resonanz.

Beispielanwendung: RL-Reihenschaltung

Eine Reihenschaltung aus R = 30 Ω und X_L = 40 Ω ergibt: Z = √(30² + 40²) = √(900 + 1600) = √2500 = 50 Ω. tan φ = 40/30 ≈ 1,333. φ = arctan(1,333) ≈ 53,1°. Die Last ist überwiegend induktiv, der Strom eilt der Spannung um etwa 53° nach.

Beispielanwendung: RLC-Reihenschaltung

Mit R = 50 Ω, X_L = 100 Ω und X_C = 60 Ω ergibt sich: X = X_L − X_C = 100 − 60 = 40 Ω (induktiv). Z = √(50² + 40²) ≈ 64,0 Ω. φ = arctan(40/50) ≈ 38,7°. Wäre X_C größer als X_L, würde X negativ und φ negativ.

Impedanzdreieck: Geometrische Beziehung zwischen R, X, Z und φ

Gelöstes Beispiel

Eine Reihenschaltung besteht aus R = 60 Ω, L = 100 mH und C = 50 μF und ist an 50 Hz angeschlossen. Berechne X_L, X_C, Z und φ.

Kreisfrequenz: ω = 2·π·f = 2·π·50 Hz ≈ 314,16 rad/s
Blindwiderstände: X_L = ω · L = 314,16 · 0,1 H ≈ 31,42 Ω und X_C = 1 / (ω · C) = 1 / (314,16 · 50·10⁻⁶ F) ≈ 63,66 Ω
Gesamtblindwiderstand: X = X_L − X_C = 31,42 − 63,66 = −32,24 Ω (kapazitiver Charakter überwiegt)
Impedanz: Z = √(R² + X²) = √(60² + (−32,24)²) ≈ √(3600 + 1039,4) ≈ √4639,4 ≈ 68,1 Ω
Phasenwinkel: tan φ = X/R = −32,24 / 60 ≈ −0,537. φ = arctan(−0,537) ≈ −28,3°

Ergebnis: Z ≈ 68,1 Ω, φ ≈ −28,3°. Der Strom eilt der Spannung um rund 28° voraus.

Übungen

Berechne Z und φ einer Reihenschaltung mit R = 100 Ω und X_L = 75 Ω.

Z = √(100² + 75²) = √(10000 + 5625) = √15625 = 125 Ω. φ = arctan(75/100) ≈ 36,87°.

Eine RL-Last hat R = 8 Ω und L = 25 mH. Wie groß sind X_L, Z und φ bei 50 Hz?

X_L = 2·π·50 · 0,025 ≈ 7,854 Ω. Z = √(8² + 7,854²) ≈ √(64 + 61,69) ≈ √125,69 ≈ 11,21 Ω. φ = arctan(7,854/8) ≈ 44,5°.

Eine RC-Reihenschaltung mit R = 200 Ω und C = 4,7 μF wird mit 50 Hz betrieben. Bestimme X_C, Z und φ.

X_C = 1/(2·π·50·4,7·10⁻⁶) ≈ 677,3 Ω. Z = √(200² + 677,3²) ≈ √(40000 + 458835) ≈ 706,3 Ω. φ = arctan(−677,3/200) ≈ −73,5°.

RLC-Reihenschaltung: R = 25 Ω, L = 80 mH, C = 30 μF, f = 50 Hz. Berechne X_L, X_C, Z, φ.

X_L = 2·π·50·0,08 ≈ 25,13 Ω. X_C = 1/(2·π·50·30·10⁻⁶) ≈ 106,1 Ω. X = 25,13 − 106,1 ≈ −81 Ω. Z = √(25² + 81²) ≈ √(625 + 6561) ≈ 84,77 Ω. φ = arctan(−81/25) ≈ −72,8° (kapazitiv).

Bei welcher Frequenz wird die Reihenschaltung aus L = 50 mH und C = 20 μF rein ohmsch (Resonanz)? Wie groß ist φ in diesem Fall?

f_0 = 1/(2·π·√(L·C)) = 1/(2·π·√(0,05·20·10⁻⁶)) = 1/(2·π·√(10⁻⁶)) = 1/(2·π·10⁻³) ≈ 159,2 Hz. φ = 0°.

In einer Reihenschaltung sind R = 40 Ω und X = 30 Ω gegeben (induktiv). Welche Aussage ist korrekt?

a) Z = R + X = 70 Ω und φ = 0°
b) Z = 50 Ω und φ ≈ 36,9°
c) Z = √(40 + 30) ≈ 8,4 Ω
d) Z hängt zusätzlich vom Strom ab

Richtig: b)

Z ergibt sich aus dem Pythagoras-Satz: Z = √(40² + 30²) = √2500 = 50 Ω. Der Phasenwinkel folgt aus tan φ = 30/40 = 0,75, also φ ≈ 36,87°. R und X dürfen nicht arithmetisch addiert werden, weil sie um 90° versetzt sind. Z hängt nur von R und X ab, nicht vom Strom.

Eine RLC-Reihenschaltung hat X_L = 50 Ω und X_C = 80 Ω. Welcher Charakter und welches Vorzeichen von φ ergibt sich?

a) Induktiv, φ positiv
b) Kapazitiv, φ negativ
c) Rein ohmsch, φ = 0°
d) Resonanz, φ undefiniert

Richtig: b)

X = X_L − X_C = 50 − 80 = −30 Ω. Der negative Wert bedeutet, dass der kapazitive Anteil überwiegt; die Schaltung verhält sich kapazitiv, der Strom eilt voraus, φ < 0. Resonanz wäre genau bei X_L = X_C, dann wäre die Schaltung rein ohmsch und φ = 0°. φ ist auch in der Resonanz wohldefiniert (nämlich null).

Wann ist der Phasenwinkel einer RLC-Reihenschaltung exakt null?

a) Wenn R sehr groß gegenüber X_L und X_C ist
b) Wenn X_L und X_C beide null sind
c) Wenn X_L = X_C ist (Resonanzbedingung)
d) Wenn die Frequenz null ist

Richtig: c)

φ = arctan((X_L − X_C)/R) wird genau dann null, wenn X_L = X_C. Diese Bedingung heißt Resonanz, hier verhält sich die Schaltung rein ohmsch und Z = R. Ein sehr großer Wirkwiderstand drückt φ zwar in Richtung null, macht ihn aber nicht exakt null. X_L = X_C = 0 ist ein Spezialfall, den man bei f = 0 nicht sinnvoll betrachtet, weil Wechselstrombetrieb vorausgesetzt ist.

Eine RL-Reihenschaltung wird mit der Spannung U_ges versorgt, der Strom beträgt I. Welche Beziehung gilt?

a) U_ges = R · I, weil der induktive Anteil keine Spannung benötigt
b) U_ges = (R + X_L) · I, weil sich Spannungen addieren
c) U_ges = √(R² + X_L²) · I = Z · I
d) U_ges = I / Z

Richtig: c)

Spannungen am ohmschen Widerstand und an der Spule sind um 90° versetzt; sie addieren sich vektoriell. Der Effektivwert der Gesamtspannung ergibt sich aus U_ges = Z · I mit Z = √(R² + X_L²). Eine arithmetische Addition wäre nur ohne Phasenverschiebung korrekt. Die Annahme, der induktive Anteil benötige keine Spannung, ist falsch.

Bedeutung in der Praxis: Leistungsfaktor cos φ

In Gleichstromkreisen ist die Leistung einfach das Produkt aus Spannung und Strom. Im Wechselstromkreis ist diese Aussage unvollständig, sobald Phasenverschiebung auftritt. Drei Leistungsbegriffe sind notwendig.

Wirk-, Blind- und Scheinleistung

Die Wirkleistung P ist der Anteil der Leistung, der tatsächlich Arbeit verrichtet (Wärme, mechanische Bewegung, Licht). Die Blindleistung Q pendelt zwischen Quelle und Verbraucher hin und her und verrichtet keine Arbeit, sie wird aber zum Aufbau der elektromagnetischen Felder in Spulen und Kondensatoren benötigt. Die Scheinleistung S ist der geometrische Gesamtwert.

S = U · I

P = U · I · cos φ

Q = U · I · sin φ

S … Scheinleistung in VA (Voltampere)
P … Wirkleistung in W (Watt)
Q … Blindleistung in var (Voltampere reaktiv)
U … Effektivwert der Spannung in V
I … Effektivwert des Stroms in A
φ … Phasenwinkel zwischen U und I

Aus den drei Größen ergibt sich das Leistungsdreieck, das die gleiche Geometrie wie das Impedanzdreieck hat:

S² = P² + Q²

Der Leistungsfaktor

Das Verhältnis von Wirkleistung zu Scheinleistung heißt Leistungsfaktor und wird mit cos φ bezeichnet:

cos φ = P / S

Bei rein ohmscher Last ist cos φ = 1, die gesamte Scheinleistung wird zu Wirkleistung. Bei rein induktiver oder kapazitiver Last ist cos φ = 0, es fließt nur Blindleistung.

Warum ein kleiner Leistungsfaktor problematisch ist

Industriebetriebe mit vielen Motoren, Drosseln oder Schweißtrafos haben typischerweise einen induktiven Leistungsfaktor zwischen etwa 0,7 und 0,9. Damit dieselbe Wirkleistung übertragen wird, muss bei kleinerem cos φ ein größerer Strom fließen:

I = P / (U · cos φ)

I … Effektivwert des Stroms in A
P … gewünschte Wirkleistung in W
U … Effektivwert der Spannung in V

Ein größerer Strom bedeutet höhere Verluste in Leitungen (P_V = I² · R), größere erforderliche Querschnitte, höher dimensionierte Trafos und Schaltgeräte sowie bei industriellen Stromabnehmern in der Regel zusätzliche Blindstromentgelte.

Blindleistungskompensation

Da die meisten industriellen Verbraucher induktiv wirken, wird parallel zu ihnen ein Kondensator geschaltet. Der Kondensator liefert kapazitive Blindleistung, die die induktive Blindleistung der Verbraucher gerade ausgleicht. Vereinfacht gilt: Was die Induktivität an Blindleistung „zieht“, liefert der Kondensator – und umgekehrt. In Summe sieht das vorgelagerte Netz nur noch den Wirkanteil und einen wesentlich kleineren Strom.

Die nötige Kapazität wird so dimensioniert, dass cos φ einen Zielwert erreicht (typisch 0,9 bis 0,95). Dabei ist zu beachten, dass eine Überkompensation ebenfalls vermieden wird, sonst kippt das Verhalten ins Kapazitive und es können Resonanzen mit dem Netz auftreten.

Leistungsdreieck: Geometrische Beziehung zwischen Wirk-, Blind- und Scheinleistung

Gelöstes Beispiel

Ein einphasiger Verbraucher zieht bei U = 230 V einen Strom von I = 12 A. Der Leistungsfaktor beträgt cos φ = 0,8 (induktiv). Berechne S, P und Q sowie den Strom, der bei vollständiger Kompensation auf cos φ = 1 fließen würde.

Scheinleistung: S = U · I = 230 V · 12 A = 2760 VA
Wirkleistung: P = S · cos φ = 2760 VA · 0,8 = 2208 W
Blindleistung: sin φ = √(1 − 0,8²) = √0,36 = 0,6. Q = S · sin φ = 2760 VA · 0,6 = 1656 var (induktiv)
Strom bei vollständiger Kompensation (cos φ = 1, P bleibt gleich): I‘ = P / U = 2208 W / 230 V ≈ 9,6 A

Ergebnis: Durch Kompensation sinkt der Strom von 12 A auf 9,6 A bei unveränderter Wirkleistung.

Übungen

U = 400 V, I = 25 A, cos φ = 0,75. Berechne S, P, Q.

S = 400 · 25 = 10 000 VA = 10 kVA. P = 10 kVA · 0,75 = 7,5 kW. sin φ = √(1 − 0,75²) ≈ 0,661. Q = 10 kVA · 0,661 ≈ 6,61 kvar.

Ein Motor zieht 6 A bei 230 V und cos φ = 0,7. Wie hoch ist die Wirkleistung?

P = U · I · cos φ = 230 · 6 · 0,7 = 966 W.

Ein Drehstromverbraucher (Außenleiterspannung 400 V, Außenleiterstrom 16 A) hat cos φ = 0,85. Berechne P mit der Drehstromformel P = √3 · U · I · cos φ.

P = √3 · 400 · 16 · 0,85 ≈ 1,732 · 400 · 16 · 0,85 ≈ 9 422 W ≈ 9,42 kW.

Eine Anlage hat S = 50 kVA und cos φ = 0,7 (induktiv). Wie groß muss Q_C einer Kompensationsanlage sein, damit cos φ = 0,95 erreicht wird?

P = 50 · 0,7 = 35 kW. tan(arccos 0,7) ≈ 1,0202. tan(arccos 0,95) ≈ 0,3287. Q_C = P · (tan φ_alt − tan φ_neu) = 35 · (1,0202 − 0,3287) ≈ 24,2 kvar.

U = 230 V, P = 4 kW, cos φ = 0,5. Wie groß ist der Strom? Vergleiche mit dem Strom bei cos φ = 1.

I = P/(U·cos φ) = 4000/(230·0,5) ≈ 34,8 A. Bei cos φ = 1: I‘ = 4000/230 ≈ 17,4 A. Der Strom verdoppelt sich bei cos φ = 0,5 gegenüber dem rein ohmschen Fall.

Eine Anlage hat dauerhaft P = 10 kW und cos φ = 0,5 (induktiv). Welche Aussage zur Stromaufnahme ist korrekt?

a) Der Strom ist halb so groß wie bei cos φ = 1
b) Der Strom ist gleich groß wie bei cos φ = 1, weil P unverändert ist
c) Der Strom ist doppelt so groß wie bei cos φ = 1
d) Der Strom hängt nur von der Spannung ab, nicht von cos φ

Richtig: c)

Aus I = P / (U · cos φ) folgt direkt, dass der Strom bei halbiertem cos φ doppelt so groß wird, wenn P konstant bleibt. Das ist genau der Grund, warum kleine Leistungsfaktoren ungewünscht sind: dieselbe Wirkleistung wird mit doppeltem Strom übertragen, mit den entsprechenden zusätzlichen Verlusten in den Leitungen.

Ein Verbraucher mit cos φ = 0,7 (induktiv) wird durch einen parallelen Kondensator kompensiert. Welcher Effekt tritt am Klemmenpaar des Netzes ein?

a) Die Wirkleistung sinkt, weil der Kondensator Wirkleistung aufnimmt
b) Die Scheinleistung und der Strom sinken, die Wirkleistung bleibt gleich
c) Die Spannung steigt deutlich, weil der Kondensator als Spannungsquelle wirkt
d) Der Phasenwinkel kippt automatisch ins stark Kapazitive, gewünschtes cos φ ≈ 1 ist nicht erreichbar

Richtig: b)

Der Kondensator stellt nur Blindleistung bereit, die die induktive Blindleistung des Verbrauchers ganz oder teilweise ausgleicht. Die Wirkleistung wird dadurch nicht beeinflusst, denn ein idealer Kondensator nimmt keine Wirkleistung auf. Folge: Q sinkt, S sinkt, der Strom wird kleiner. Eine genau passende Auslegung erlaubt cos φ-Werte sehr nahe 1; nur eine Überdimensionierung führte zu einem kapazitiven Verhalten.

In einem Drehstromsystem gilt für die Wirkleistung:

a) P = U · I · cos φ wie im Einphasenfall
b) P = 3 · U · I · cos φ unabhängig von der Schaltungsart
c) P = √3 · U · I · cos φ mit U und I als Außenleitergrößen
d) P ist im Drehstromsystem nicht mit cos φ verknüpft

Richtig: c)

Bei symmetrischer Belastung gilt im Drehstromsystem P = √3 · U · I · cos φ, wobei U die Spannung zwischen zwei Außenleitern und I der Strom in einem Außenleiter ist. Die Formel folgt aus den geometrischen Beziehungen zwischen Strang- und Außenleitergrößen und ist unabhängig davon, ob die Last in Stern oder Dreieck geschaltet ist, solange U und I als Außenleitergrößen verwendet werden.

Ein Verbraucher hat cos φ = 1. Was lässt sich daraus über Spannung, Strom und Lastart ableiten?

a) Spannung und Strom sind in Phase, die Last ist überwiegend ohmsch
b) Es fließt überhaupt kein Strom
c) Die Last ist rein induktiv
d) Spannung und Strom sind genau entgegengesetzt (180° phasenverschoben)

Richtig: a)

cos φ = 1 entspricht φ = 0°, also gleichzeitige Nulldurchgänge und Maxima. Das ist das Verhalten einer (ideal) ohmschen Last; es bedeutet aber nicht, dass kein Strom fließt – im Gegenteil, der Strom ist proportional zur Spannung. Reine Induktivität entspräche cos φ = 0, eine 180°-Phasenverschiebung kommt in linearen Wechselstromnetzen mit passiven Bauteilen zwischen U und I gar nicht vor.

Abschlusstest

Phasenwinkel aus Zeitversatz: Bei f = 50 Hz wird der Strom 1,11 ms nach der Spannung null. Berechne φ in Grad.

T = 20 ms. φ = (1,11/20) · 360° ≈ 20°. Der Strom eilt nach, φ ≈ +20°.

Phasenwinkel aus Zeitversatz, höhere Frequenz: Bei f = 400 Hz beträgt der Zeitversatz Δt = 0,5 ms (Strom voreilend). Bestimme φ mit korrektem Vorzeichen.

T = 1/400 Hz = 2,5 ms. |φ| = (0,5/2,5) · 360° = 72°. Da der Strom voreilt, ist φ = −72°.

Blindwiderstand X_L: Eine Drossel mit L = 50 mH liegt an 50 Hz. Berechne X_L.

X_L = 2·π·50·0,05 ≈ 15,71 Ω.

Blindwiderstand X_C: Ein Kondensator mit C = 16 μF liegt an 50 Hz. Berechne X_C.

X_C = 1/(2·π·50·16·10⁻⁶) ≈ 198,9 Ω.

RL-Reihenschaltung: R = 12 Ω, L = 40 mH, f = 50 Hz. Berechne X_L, Z und φ.

X_L = 2·π·50·0,04 ≈ 12,57 Ω. Z = √(12² + 12,57²) ≈ √(144 + 158) ≈ 17,38 Ω. φ = arctan(12,57/12) ≈ 46,3°.

RC-Reihenschaltung: R = 100 Ω, C = 22 μF, f = 50 Hz. Berechne X_C, Z und φ.

X_C = 1/(2·π·50·22·10⁻⁶) ≈ 144,7 Ω. Z = √(100² + 144,7²) ≈ √(10000 + 20938) ≈ 175,9 Ω. φ = arctan(−144,7/100) ≈ −55,3°.

Zeigeraddition: In einer RL-Reihenschaltung wurden U_R = 180 V und U_L = 240 V gemessen. Berechne U_ges und φ.

U_ges = √(180² + 240²) = √(32400 + 57600) = √90000 = 300 V. φ = arctan(240/180) ≈ 53,13°.

RLC-Reihenschaltung mit Resonanzcheck: R = 20 Ω, L = 100 mH, C = 100 μF, f = 50 Hz. Berechne X_L, X_C, Z, φ. Wie groß ist die Resonanzfrequenz f_0 = 1/(2·π·√(L·C))?

X_L = 2·π·50·0,1 ≈ 31,42 Ω. X_C = 1/(2·π·50·100·10⁻⁶) ≈ 31,83 Ω. X = 31,42 − 31,83 ≈ −0,41 Ω. Z = √(20² + 0,41²) ≈ 20,0 Ω. φ ≈ −1,2°. Die Schaltung liegt nahe der Resonanz. f_0 = 1/(2·π·√(0,1·100·10⁻⁶)) = 1/(2·π·√(10⁻⁵)) ≈ 50,33 Hz.

Leistungen einphasig: U = 230 V, I = 8 A, cos φ = 0,85. Berechne S, P und Q.

S = 230·8 = 1840 VA. P = 1840·0,85 = 1564 W. sin φ = √(1−0,85²) ≈ 0,527. Q = 1840·0,527 ≈ 969 var.

Drehstromleistung: Bei U = 400 V, I = 32 A, cos φ = 0,9 (induktiv) – wie groß sind P und Q?

S = √3·400·32 ≈ 22 170 VA. P = S·0,9 ≈ 19 953 W ≈ 19,95 kW. sin φ = √(1−0,81) ≈ 0,436. Q = S·0,436 ≈ 9 666 var ≈ 9,67 kvar.

Strom bei Kompensation: Eine Anlage zieht P = 15 kW bei U = 400 V mit cos φ = 0,7. Wie groß ist der Strom? Welcher Strom fließt nach Kompensation auf cos φ = 0,95?

Drehstrom: I = P/(√3·U·cos φ) = 15000/(1,732·400·0,7) ≈ 30,9 A. Nach Kompensation: I‘ = 15000/(1,732·400·0,95) ≈ 22,8 A.

Notwendige Kompensationsblindleistung: Eine Anlage hat P = 50 kW und cos φ_alt = 0,75 (induktiv). Wie groß muss Q_C sein, damit cos φ_neu = 0,95 erreicht wird? (Q_C = P · (tan φ_alt − tan φ_neu))

tan(arccos 0,75) ≈ 0,8819. tan(arccos 0,95) ≈ 0,3287. Q_C = 50 kW · (0,8819 − 0,3287) ≈ 27,7 kvar.

Zwei Wechselgrößen unterscheiden sich um genau eine halbe Periode in ihren Nulldurchgängen. Wie groß ist φ und welche Bedeutung hat dieser Wert für eine passive RLC-Schaltung?

a) φ = 90°, kann bei reiner Induktivität auftreten
b) φ = 180°, kann bei einer linearen passiven Last zwischen Klemmenspannung und Klemmenstrom nicht auftreten
c) φ = 360°, was wieder gleichbedeutend mit „in Phase“ ist
d) φ = 45°, typisch für RL-Reihenschaltung mit X_L = R

Richtig: b)

Eine halbe Periode entspricht 180°. Bei einer linearen, passiven RLC-Last kann der Phasenwinkel zwischen U und I am gleichen Klemmenpaar nur Werte zwischen −90° und +90° annehmen, weil die Wirkleistung P = U·I·cos φ nicht negativ werden kann (das wäre Energieabgabe ans Netz). 360° wäre tatsächlich gleichbedeutend mit 0°, ist aber nicht das Gefragte. 45° wäre RL-typisch, ergibt aber keine halbe Periode Versatz.

An einem realen Asynchronmotor wurden gemessen: U = 400 V, I = 18 A, P = 9,9 kW. Welcher Leistungsfaktor liegt vor?

a) cos φ ≈ 1, der Motor ist nahezu rein ohmsch
b) cos φ kann nicht aus diesen Werten berechnet werden, weil die Frequenz fehlt
c) cos φ ≈ 1,38, die Werte zeigen eine kapazitive Überkompensation
d) cos φ ≈ 0,79 mittels Drehstromformel cos φ = P/(√3·U·I); Wert ist plausibel

Richtig: d)

Aus dem Verhältnis P/S lässt sich cos φ direkt ablesen, denn cos φ = P/S. Im Einphasenmodell ergäbe sich cos φ ≈ 9900 / (400·18) ≈ 1,38, was unphysikalisch wäre (cos φ ≤ 1). Tatsächlich handelt es sich um Drehstromangaben, dann gilt P = √3·U·I·cos φ und cos φ = P/(√3·U·I) ≈ 0,79. Der Wert um 0,8 ist für einen mittleren Drehstrommotor plausibel. Die Frequenz wird für den Leistungsfaktor selbst nicht zusätzlich benötigt.

In einer RLC-Reihenschaltung wird die Frequenz langsam erhöht. Welche Aussage über das Verhalten unterhalb und oberhalb der Resonanzfrequenz f_0 ist korrekt?

a) Die Schaltung verhält sich unterhalb f_0 induktiv, oberhalb f_0 kapazitiv
b) Die Schaltung verhält sich unterhalb f_0 kapazitiv, oberhalb f_0 induktiv
c) Sie ist immer induktiv, weil die Spule dominiert
d) Sie ist bei allen Frequenzen rein ohmsch

Richtig: b)

X_L wächst mit der Frequenz, X_C fällt. Bei f_0 sind beide gleich groß, X = 0, die Schaltung ist rein ohmsch. Unterhalb f_0 ist X_C > X_L und damit X negativ, das Verhalten ist kapazitiv (Strom voreilend). Oberhalb f_0 ist X_L > X_C, das Verhalten wird induktiv. Eine Reihenschaltung kann unmöglich bei allen Frequenzen rein ohmsch sein, da X explizit von f abhängt.

Welche der folgenden Aussagen über die Leistungen P, Q und S ist korrekt?

a) S ist immer die Summe aus P und Q
b) S² = P² + Q² folgt aus dem rechtwinkligen Leistungsdreieck
c) Q kann größer als S werden, wenn cos φ klein ist
d) P ist immer gleich Q · cos φ

Richtig: b)

P und Q stehen im Leistungsdreieck senkrecht aufeinander, S ist die Hypotenuse: S² = P² + Q². Eine arithmetische Summe wäre nur in Ausnahmefällen mit φ = 45° rechnerisch ähnlich, aber grundsätzlich falsch. Q kann nie größer als S werden, weil sin φ höchstens den Wert 1 annimmt und Q = S·sin φ. Die Beziehung P = Q · cos φ ist dimensional und inhaltlich falsch; richtig sind P = S · cos φ und Q = S · sin φ.

An einer rein induktiven idealen Last wird die Frequenz verdoppelt, die Spannung bleibt konstant. Welche Aussage zum Strom und zur Wirkleistung ist korrekt?

a) Der Strom verdoppelt sich, die Wirkleistung verdoppelt sich
b) Der Strom halbiert sich, die Wirkleistung bleibt null
c) Der Strom bleibt gleich, die Wirkleistung steigt
d) Der Strom halbiert sich, die Wirkleistung halbiert sich entsprechend

Richtig: b)

An einer idealen Spule fließt kein Wirkstrom, die Wirkleistung ist null und bleibt unabhängig von der Frequenz null. Der Strom ergibt sich aus I = U / X_L = U / (2·π·f·L). Verdoppelt sich die Frequenz, verdoppelt sich X_L und der Strom halbiert sich. Eine Verdopplung des Stroms wäre für einen Kondensator typisch, dessen X_C sich halbierte.

Welcher Zusammenhang zwischen Phasenwinkel und Leistungsfaktor ist richtig?

a) cos φ und φ sind voneinander unabhängige Kenngrößen
b) cos φ = sin(90° − φ), und damit eindeutig durch φ bestimmt
c) cos φ ist nur in Drehstromsystemen sinnvoll definiert
d) cos φ ist immer positiv, auch bei negativem φ und gibt daher keine Auskunft über induktiven oder kapazitiven Charakter

Richtig: b)

cos φ ist mathematisch unmittelbar aus φ ableitbar. cos ist eine gerade Funktion (cos(−φ) = cos(φ)), daher ergibt der Leistungsfaktor allein noch keine Auskunft über das Vorzeichen von φ. Die korrekte Aussage zur Beziehung ist (b): cos φ = sin(90° − φ), und cos φ ist eindeutig durch φ festgelegt. Im Einphasenfall gilt der Leistungsfaktor genauso wie im Drehstrom.

Eine Last weist cos φ = 0,9 (induktiv) auf. Welcher Phasenwinkel φ ist daraus berechenbar, und welche Lage hat der Stromzeiger relativ zum Spannungszeiger?

a) φ ≈ 25,8°, Strom eilt Spannung nach
b) φ ≈ 25,8°, Strom eilt Spannung voraus
c) φ ≈ 64,2°, Strom in Phase mit Spannung
d) φ kann ohne weitere Angabe nicht berechnet werden

Richtig: a)

φ = arccos(0,9) ≈ 25,84°. Die Angabe „induktiv“ legt das Vorzeichen fest: Bei einer induktiven Last eilt der Strom der Spannung nach, φ ist positiv in der Konvention φ = φ_u − φ_i. 64,2° wäre der zu sin φ gehörende Winkel, nicht der zu cos φ. Ohne Hinweis auf induktiv oder kapazitiv wäre nur der Betrag von φ bestimmbar; mit dem Hinweis ist auch das Vorzeichen festgelegt.

In einer Anlage werden Kondensatoren zur Blindleistungskompensation eingesetzt. Welche Folge hat eine Überkompensation (gewähltes cos φ liegt im kapazitiven Bereich)?

a) Es gibt keine Folgen, der Leistungsfaktor wird einfach noch besser
b) Der Strom in den Zuleitungen sinkt zwingend weiter
c) Das Netz „sieht“ einen kapazitiven Verbraucher; Spannungsanhebungen und Resonanzphänomene sind möglich
d) Die Wirkleistung der Anlage steigt durch die zusätzliche Kapazität

Richtig: c)

Eine Überkompensation kippt das Verhalten ins Kapazitive. In Zusammenwirkung mit Netzimpedanzen können Spannungsanhebungen und Resonanzen mit Oberwellen entstehen, die Spannungsformverzerrungen und Bauteilbelastungen verursachen. Der Strom sinkt nicht weiter; er hat sein Minimum bei cos φ = 1 und steigt bei weiterer „Überkompensation“ wieder an. Die Wirkleistung wird durch ideale Kondensatoren nicht verändert.

Warum bringt das Zeigerdiagramm gegenüber dem Zeit-Diagramm Vorteile?

a) Es zeigt zusätzlich die Frequenzabhängigkeit ohne weitere Angaben
b) Es eliminiert den Faktor √2 zwischen Effektiv- und Scheitelwert
c) Es ersetzt komplexe Zeitfunktionen gleicher Frequenz durch geometrische Beziehungen, dadurch wird Spannungs-/Stromaddition zur Vektoraddition
d) Es ist nur in Spezialfällen anwendbar, etwa bei reinem Wechselstrom mit f = 50 Hz

Richtig: c)

Beim Zeigerdiagramm wird die Zeitabhängigkeit „eingefroren“. Sinusförmige Größen gleicher Frequenz werden durch einfache, gleichzeitig dargestellte Pfeile beschrieben. Die Addition mehrerer Spannungen oder Ströme wird zur Vektoraddition. Frequenzabhängigkeit zeigt das Diagramm nicht „zusätzlich“; sie steckt in den Bauteilwerten X_L = ωL und X_C = 1/(ωC). Die Wahl Effektiv- oder Scheitelwert ändert die Aussage nicht, beide Darstellungen sind möglich. Anwendbar ist das Verfahren grundsätzlich bei allen sinusförmigen Vorgängen gleicher Frequenz, nicht nur bei 50 Hz.

An einer ohmsch-induktiven Last (R, L bekannt) wird die Spannung U auf das Doppelte erhöht, die Frequenz bleibt unverändert. Was passiert mit Z, φ, I und P?

a) Z und φ verdoppeln sich, I bleibt gleich, P verdoppelt sich
b) Z und φ unverändert, I verdoppelt sich, P vervierfacht sich
c) Z halbiert sich, φ unverändert, I gleich, P verdoppelt sich
d) Alle Größen verdoppeln sich

Richtig: b)

Z und φ hängen ausschließlich von R, X_L (und gegebenenfalls X_C) ab, nicht von der Spannung. Sie bleiben also unverändert. Der Strom skaliert linear mit U: I = U/Z, also doppelter Strom. Die Wirkleistung P = U·I·cos φ enthält U und I jeweils einfach, mit unverändertem cos φ ergibt das eine Vervierfachung von P.

Ein Strom hat den Verlauf i(t) = 14,1 A · sin(ω·t + 30°), die Spannung u(t) = 325 V · sin(ω·t). Welcher Phasenwinkel φ = φ_u − φ_i und welcher Lastcharakter liegen vor?

a) φ = +30°, induktiver Charakter
b) φ = 0°, rein ohmsch
c) φ = −30°, kapazitiver Charakter
d) φ = +60°, deutlich induktiv

Richtig: c)

φ_u = 0°, φ_i = +30°. Damit ist φ = φ_u − φ_i = −30°. Ein negatives φ bedeutet, der Strom eilt der Spannung voraus, das ist kapazitives Verhalten. Eine Interpretation als induktiv wäre der Vorzeichenfehler in der Konvention.

An einem Drehstromsystem mit U = 400 V (Außenleiterspannung) ist eine Last angeschlossen, die P = 20 kW bei cos φ = 0,9 (induktiv) aufnimmt. Welche Aussage über den Außenleiterstrom I ist korrekt?

a) I = P / (U · cos φ) ≈ 55,6 A, weil im Drehstromsystem keine Wurzel-3-Korrektur nötig ist
b) I = P / (√3 · U · cos φ) ≈ 32,1 A
c) I = P · √3 / U ≈ 86,6 A, der Leistungsfaktor entfällt im Drehstromsystem
d) I lässt sich aus diesen Angaben grundsätzlich nicht berechnen

Richtig: b)

Bei symmetrischer Drehstromlast gilt P = √3 · U · I · cos φ. Daraus folgt I = P / (√3 · U · cos φ) = 20 000 / (1,732 · 400 · 0,9) ≈ 32,1 A. Eine Behandlung wie im Einphasenfall ohne √3 ergibt einen zu kleinen Wert. Die Variante c) entfernt sowohl das √3 fehlerhaft als auch den Leistungsfaktor.

Glossar

Phasenverschiebung: Zeitlicher Versatz zwischen zwei sinusförmigen Größen gleicher Frequenz, im Wechselstromkreis typischerweise zwischen Spannung und Strom.
Phasenwinkel φ: Maß für die Phasenverschiebung in Grad oder rad. In der Konvention φ = φ_u − φ_i ist φ positiv bei nacheilendem Strom (induktiv) und negativ bei voreilendem Strom (kapazitiv).
Voreilend / nacheilend: Lagebeziehung des Stroms zur Spannung. Voreilend bedeutet, der Strom erreicht seinen Nulldurchgang oder Scheitelwert früher (kapazitiv); nacheilend bedeutet später (induktiv).
Zeigerdiagramm: Statische Darstellung sinusförmiger Größen gleicher Frequenz als Pfeile in der Ebene. Länge entspricht dem Effektiv- oder Scheitelwert, Winkel zwischen den Pfeilen entspricht der Phasenverschiebung.
Impedanz Z: Wechselstromwiderstand einer Schaltung, geometrische Zusammenfassung von Wirk- und Blindwiderstand. Z = √(R² + X²), Einheit Ohm.
Wirkwiderstand R: Anteil des Widerstands, der Wirkleistung in Wärme oder Arbeit umsetzt; verursacht keine Phasenverschiebung.
Blindwiderstand X: Anteil des Widerstands, der durch Spulen oder Kondensatoren entsteht. Induktiv: X_L = ωL, kapazitiv: X_C = 1/(ωC); in Reihenschaltung X = X_L − X_C.
Wirkleistung P: Anteil der elektrischen Leistung, der tatsächlich Arbeit verrichtet. Einheit Watt. P = U·I·cos φ.
Blindleistung Q: Leistung, die zwischen Quelle und Verbraucher hin- und herpendelt, ohne Arbeit zu verrichten. Einheit var. Q = U·I·sin φ.
Scheinleistung S: Geometrische Zusammenfassung von Wirk- und Blindleistung. Einheit VA. S = U·I, S² = P² + Q².
Leistungsfaktor cos φ: Verhältnis von Wirkleistung zu Scheinleistung. Wert zwischen 0 und 1; je näher an 1, desto effizienter wird die Leistung übertragen.
Blindleistungskompensation: Maßnahme zur Verbesserung des Leistungsfaktors. Üblich ist ein Kondensator parallel zu induktiven Verbrauchern, der die induktive Blindleistung ganz oder teilweise ausgleicht.