Die Kirchhoffschen Regeln – elektrische Netzwerke verstehen und berechnen

In einer einfachen Schaltung mit einer Quelle und einem Widerstand reicht das Ohmsche Gesetz. Sobald aber Ströme an mehreren Stellen zusammenlaufen oder sich verzweigen, kommt man damit allein nicht mehr weit. Hier setzen die Kirchhoffschen Regeln an. Zwei Sätze, mehr nicht — und damit lässt sich jedes lineare Gleichstromnetzwerk durchrechnen. Die Regeln sind so grundlegend, dass jeder Schaltplan, jede Dimensionierung und jede Fehlersuche im Hintergrund auf ihnen aufbaut.

Nach diesem Beitrag kannst du:

die Begriffe Knoten, Zweig und Masche in einer Schaltung sicher erkennen
die Knotenregel und die Maschenregel formulieren und anwenden
Zählpfeile setzen und Vorzeichen in Gleichungen richtig vergeben
die bekannten Formeln für Reihen- und Parallelschaltung aus Kirchhoff herleiten
eine gemischte Schaltung mit den Kirchhoffschen Regeln vollständig durchrechnen

Vorwissen

Grundbegriffe – Knoten, Zweig, Masche

Bevor wir die Regeln aufschreiben können, brauchen wir Worte, mit denen wir über Schaltungen reden. Drei Begriffe reichen aus: Knoten, Zweig und Masche. Wer diese drei sauber unterscheidet, hat den schwierigsten Teil der Schaltungsanalyse schon hinter sich.

Ein Knoten ist eine Verbindungsstelle, an der mindestens drei Leitungen zusammentreffen. Wo nur zwei Leitungen aneinanderhängen, sprechen wir nicht von einem Knoten — das ist einfach ein durchgehender Draht oder eine Reihenschaltung.

Ein Zweig ist der Strompfad zwischen zwei benachbarten Knoten. In einem Zweig kann ein einzelnes Bauteil sitzen oder eine Reihenschaltung mehrerer Bauteile, solange dazwischen kein weiterer Knoten liegt. Wichtig: Durch jeden Zweig fließt überall derselbe Strom — anders geht es gar nicht, weil sich der Strom nirgendwo verteilen könnte.

Eine Masche ist ein geschlossener Umlauf in der Schaltung. Wenn du mit dem Finger auf einem Schaltplan losgehst, eine Runde drehst und wieder am Startpunkt ankommst, ohne dieselbe Leitung zweimal zu nehmen — das ist eine Masche. In jeder verzweigten Schaltung gibt es mehrere mögliche Maschen.

In der Praxis: Wer einen Schaltplan analysiert, beginnt mit dem Markieren der Knoten. Erst dann weiß man, wie viele Gleichungen man braucht. Faustregel: bei n Knoten gibt es n−1 unabhängige Knotengleichungen.

Kernpunkte:

Knoten = Verbindungspunkt mit mindestens drei Leitern
Zweig = Strompfad zwischen zwei Knoten, gleicher Strom über die ganze Länge
Masche = geschlossener Umlauf in der Schaltung
Jede Schaltungsanalyse beginnt mit dem Auffinden dieser drei Elemente

Die Schaltung hat zwei Knoten (A und B), drei Zweige (links mit Quelle, mittlerer mit R₂, rechts mit R₃) und zwei eingezeichnete Maschen. R₁ ist Teil des linken Zweiges, R₃ Teil des rechten.

Eine Schaltung enthält fünf Knoten. Wie viele unabhängige Knotengleichungen lassen sich daraus aufstellen?

a) 3
b) 4
c) 5
d) 6

Richtig: b)

Bei n Knoten sind nur n−1 Knotengleichungen unabhängig. Die n-te Gleichung lässt sich aus den anderen ableiten — sie enthält keine neue Information. Bei fünf Knoten also vier unabhängige Gleichungen. Antwort a) wäre zu wenig, c) und d) überschätzen die Anzahl.

In einer Schaltung sind zwei Widerstände direkt in Reihe geschaltet, dazwischen führt keine Leitung weg. Wie zählt man den Verbindungspunkt zwischen den beiden Widerständen?

a) Als eigenen Knoten
b) Als Teil eines Zweiges, nicht als Knoten
c) Als Masche
d) Gar nicht – die Stelle wird ignoriert

Richtig: b)

Ein Knoten ist eine Stelle, an der mindestens drei Leitungen zusammentreffen. Zwei Leitungen, die einfach durch einen Widerstand verbunden sind, bilden keinen Knoten — der Verbindungspunkt ist Teil des Zweiges. Antwort a) ist die häufige Verwechslung. c) ist falsch, weil eine Masche ein geschlossener Umlauf ist. d) trifft nicht zu, weil die Stelle sehr wohl im Zweig liegt.

Welche Aussage zum Strom in einem Zweig ist korrekt?

a) Der Strom kann sich innerhalb des Zweiges ändern, wenn mehrere Bauteile vorhanden sind
b) Der Strom ist überall im Zweig identisch
c) Der Strom ist nur an Knoten konstant
d) Der Strom hängt vom letzten Widerstand im Zweig ab

Richtig: b)

Ein Zweig hat per Definition keine inneren Verzweigungen. Wo nichts abzweigt, kann sich der Strom nicht aufteilen — er muss überall gleich groß sein. Antwort a) wäre nur richtig, wenn irgendwo eine Verzweigung läge, doch genau das schließt der Zweig-Begriff aus. c) verwechselt Knoten und Zweig. d) hat physikalisch keinen Sinn.

Knotenregel (1. Kirchhoffsche Regel)

Stell dir einen Knoten als Kreuzung vor. Was an Autos hineinfährt, muss auch wieder hinausfahren — sonst stauen sich die Fahrzeuge oder es entsteht ein Loch. Genau das gilt für elektrische Ladung: Sie sammelt sich nicht an einem Knoten, sie geht durch.

Die Knotenregel sagt: An jedem Knoten ist die Summe der zufließenden Ströme gleich der Summe der abfließenden Ströme.

Σ I_zu = Σ I_ab

Σ I_zu … Summe aller zufließenden Ströme in Ampere
Σ I_ab … Summe aller abfließenden Ströme in Ampere

Eine andere Schreibweise, die auf dasselbe hinausläuft: wenn man hinausfließende Ströme negativ rechnet, ergibt die Gesamtsumme aller Ströme am Knoten null.

Σ I = 0

Physikalisch steht dahinter die Ladungserhaltung. Ladung entsteht nicht aus dem Nichts und verschwindet auch nicht.

Einfaches Beispiel: An einem Knoten fließen 2 A und 3 A hinein, und nur ein Strom fließt hinaus. Wie groß ist der abfließende Strom? I_ab = 2 A + 3 A = 5 A. So banal das klingt, so wichtig ist es. Mit der Knotenregel allein lässt sich die Stromaufteilung in jeder verzweigten Schaltung bestimmen.

In der Praxis: Bei einer Hausinstallation mit drei Lampen am selben Sicherungskreis bildet der Sammelpunkt direkt nach der Sicherung einen Knoten. Der Strom durch die Sicherungsleitung ist die Summe der drei Lampenströme. Wenn eine Lampe nachträglich dazukommt, steigt der Sicherungsstrom genau um den Strom dieser einen Lampe — direkte Anwendung der Knotenregel.

Kernpunkte:

Σ I_zu = Σ I_ab an jedem Knoten
Folgt aus der Erhaltung der elektrischen Ladung
Werkzeug, um Stromaufteilung in verzweigten Schaltungen zu bestimmen
Bei n Knoten ergeben sich n−1 unabhängige Gleichungen

An einem Knoten fließen zwei Ströme hinein (I₁ und I₂) und ein Strom hinaus (I₃). Die Knotenregel bestimmt I₃ eindeutig.

Gelöstes Beispiel

An einem Knoten fließen drei Ströme: I₁ = 4 A und I₂ = 1,5 A fließen hinein, I₃ fließt hinaus. Wie groß ist I₃?

Knotenregel anschreiben: Σ I_zu = Σ I_ab
Einsetzen: I₁ + I₂ = I₃
Berechnen: 4 A + 1,5 A = I₃

Ergebnis: I₃ = 5,5 A

Übungen

An einem Knoten fließen I₁ = 3 A und I₂ = 2 A hinein. Es gibt einen abfließenden Strom I₃. Wie groß ist I₃?

I₃ = I₁ + I₂ = 3 A + 2 A = 5 A

Ein Knoten hat einen zufließenden Strom I₁ = 8 A und zwei abfließende Ströme I₂ = 3 A und I₃. Bestimme I₃.

I₁ = I₂ + I₃ → I₃ = I₁ − I₂ = 8 A − 3 A = 5 A

An einem Knoten fließen I₁ = 6 A und I₂ = 4 A hinein, und I₃ = 2,5 A sowie I₄ fließen hinaus. Wie groß ist I₄?

I₁ + I₂ = I₃ + I₄ → I₄ = 6 A + 4 A − 2,5 A = 7,5 A

Ein Stromknoten hat fünf Anschlüsse. Vier Ströme sind bekannt: I₁ = 12 A (zu), I₂ = 5 A (ab), I₃ = 3 A (ab), I₄ = 2 A (ab). Wie groß ist der fünfte Strom I₅ und in welche Richtung fließt er?

Bilanz: I₁ = I₂ + I₃ + I₄ + I₅ → I₅ = 12 − 5 − 3 − 2 = 2 A, abfließend. Die rechte Seite hatte schon 10 A, also fehlen genau 2 A — die müssen ebenfalls abfließen, um die Bilanz auszugleichen.

An einem Knoten ist nur bekannt: I₁ = 7 A fließt zu, I₂ = 10 A fließt ab. Es gibt einen dritten Strom I₃, dessen Richtung unbekannt ist. Bestimme I₃ und die Richtung.

Ansatz mit angenommener Zuflussrichtung für I₃: I₁ + I₃ = I₂ → I₃ = I₂ − I₁ = 10 A − 7 A = 3 A. Positiv, also fließt I₃ tatsächlich zu (Annahme bestätigt). Hätte sich ein negativer Wert ergeben, würde I₃ in Wirklichkeit abfließen.

An einem Knoten fließen drei Ströme hinein (insgesamt 7 A) und zwei Ströme hinaus, von denen einer 4 A beträgt. Welche Aussage stimmt?

a) Der zweite abfließende Strom beträgt 11 A
b) Der zweite abfließende Strom beträgt 3 A
c) Der zweite abfließende Strom beträgt −3 A
d) Aus den Angaben nicht bestimmbar

Richtig: b)

Knotenregel: Summe zu = Summe ab. 7 A müssen abfließen. Einer der beiden Abflüsse ist 4 A, also der andere 7 − 4 = 3 A. Antwort a) addiert statt subtrahiert. c) verwechselt das Vorzeichen — Beträge sind positiv. d) verkennt, dass die Knotenregel genau eine Gleichung ist, die diesen einen Unbekannten festlegt.

Welche physikalische Größe wird durch die Knotenregel als erhalten beschrieben?

a) Energie
b) Ladung
c) Spannung
d) Leistung

Richtig: b)

Strom ist Ladung pro Zeit. Wenn an einem Knoten genau so viel Ladung pro Zeit hineinfließt wie hinaus, wird Ladung weder erzeugt noch vernichtet — Ladungserhaltung. Energie steht hinter der Maschenregel, nicht der Knotenregel. c) und d) sind keine Erhaltungsgrößen im Sinne der Kirchhoff-Regeln.

Eine Knotengleichung wird mit angenommener Zuflussrichtung für einen unbekannten Strom aufgestellt. Das Ergebnis ist negativ. Wie ist das zu deuten?

a) Die Schaltung ist nicht lösbar
b) Der Strom fließt in Wirklichkeit ab, nicht zu
c) Der Betrag ist falsch, das Vorzeichen richtig
d) Es liegt ein Rechenfehler vor

Richtig: b)

Das Vorzeichen verrät die tatsächliche Richtung. Negatives Vorzeichen bedeutet: die ursprüngliche Annahme war umgekehrt zur Wirklichkeit, der Betrag bleibt aber gültig. Das ist ein wertvolles Merkmal der Methode — falsche Richtungsannahmen werden im Ergebnis automatisch korrigiert.

An einem Knoten teilt sich ein Strom I_ges = 12 A auf zwei Zweige auf. Im Zweig 1 fließen 9 A. Wie groß ist der Strom im Zweig 2 und wovon hängt die Aufteilung physikalisch ab?

a) 3 A; die Aufteilung hängt von der Spannung der Quelle ab
b) 3 A; die Aufteilung hängt von den Widerständen der Zweige ab
c) 21 A; die Aufteilung hängt von der Quelle ab
d) 6 A; die Aufteilung erfolgt immer gleichmäßig

Richtig: b)

Knotenregel: 12 − 9 = 3 A. Die Aufteilung der Ströme bestimmen die Widerstände der parallelen Zweige (geringerer Widerstand zieht mehr Strom). Antwort a) verwechselt Spannung und Widerstand als Ursache. c) addiert fälschlich. d) wäre nur bei gleichen Widerständen richtig — kein allgemeiner Fall.

Maschenregel (2. Kirchhoffsche Regel)

Geh in einer Schaltung einmal im Kreis und addiere alle Spannungsabfälle und Spannungsanstiege auf, denen du begegnest. Du landest am Ende wieder am selben Punkt — also auf demselben Potenzial wie am Start. Die Summe der Spannungen entlang dem Umlauf muss daher null ergeben.

Die Maschenregel sagt: In jeder geschlossenen Masche ist die Summe aller Spannungen null.

Σ U = 0

Σ U … vorzeichenrichtige Summe aller Spannungen entlang einer Masche in Volt

Praktischer formuliert: Die Summe der Quellenspannungen ist gleich der Summe der Spannungsabfälle an den Verbrauchern.

Σ U_Quelle = Σ U_Verbraucher

Dahinter steht die Energieerhaltung. Eine Quelle pumpt Energie pro Ladung ins Netz, jeder Verbraucher zieht Energie pro Ladung heraus. Über einen geschlossenen Umlauf muss die Bilanz aufgehen.

Einfaches Beispiel: Eine Masche mit einer 12-V-Batterie und zwei Widerständen R₁ und R₂ in Reihe. Wenn am R₁ ein Spannungsabfall von 4 V gemessen wird: U₀ = U_R1 + U_R2 → 12 V = 4 V + U_R2 → U_R2 = 8 V.

In der Praxis: Spannungsteiler ergeben sich direkt aus der Maschenregel. Wenn aus 24 V Versorgung 5 V für einen Sensor werden sollen, dimensioniert man die zwei Widerstände so, dass sich die Versorgungsspannung im richtigen Verhältnis aufteilt. Die Summe der beiden Teilspannungen muss wieder 24 V ergeben — Maschenregel pur.

Kernpunkte:

Σ U = 0 in jeder geschlossenen Masche
Quellenspannungen = Summe der Spannungsabfälle
Folgt aus der Energieerhaltung
Werkzeug, um die Spannungsverteilung in einem Stromkreis zu bestimmen

Der blaue Kreispfeil gibt die Umlaufrichtung an, in der die Spannungen aufsummiert werden. Quelle und Verbraucher müssen vorzeichenrichtig eingerechnet werden.

Gelöstes Beispiel

Eine Quelle liefert U₀ = 9 V. In Reihe liegen drei Widerstände, an denen U_R1 = 2 V und U_R3 = 4 V abfallen. Wie groß ist U_R2?

Maschenregel anschreiben: U₀ = U_R1 + U_R2 + U_R3
Einsetzen: 9 V = 2 V + U_R2 + 4 V
Umformen: U_R2 = 9 V − 2 V − 4 V

Ergebnis: U_R2 = 3 V

Übungen

Eine Quelle hat U₀ = 12 V. In Reihe liegen zwei Widerstände mit U_R1 = 7 V und U_R2 unbekannt. Bestimme U_R2.

U_R2 = U₀ − U_R1 = 12 V − 7 V = 5 V

Eine Masche enthält eine Quelle mit U₀ = 24 V sowie drei Widerstände mit U_R1 = 6 V, U_R2 = 8 V und U_R3 unbekannt. Wie groß ist U_R3?

U_R3 = U₀ − U_R1 − U_R2 = 24 V − 6 V − 8 V = 10 V

In einer Masche liegen zwei Quellen in Reihe: U₀₁ = 6 V und U₀₂ = 9 V (gleiche Polarität, also addierend). Sie speisen einen einzigen Widerstand. Wie groß ist die Spannung am Widerstand?

U_R = U₀₁ + U₀₂ = 6 V + 9 V = 15 V. Beide Quellen wirken in gleicher Richtung, die Spannungen addieren sich.

Eine Masche enthält U₀ = 20 V und drei gleiche Widerstände in Reihe (R₁ = R₂ = R₃). Wie groß ist die Spannung an jedem Widerstand?

Gleiche Widerstände führen denselben Strom und haben damit denselben Spannungsabfall. U_R = 20 V / 3 ≈ 6,67 V

Eine Masche hat zwei gegeneinander geschaltete Quellen: U₀₁ = 12 V und U₀₂ = 4 V (entgegengesetzte Polarität). Im Stromkreis liegt ein Widerstand. Wie groß ist die Spannung am Widerstand?

Bei gegengeschalteten Quellen subtrahieren sich die Spannungen. U_R = U₀₁ − U₀₂ = 12 V − 4 V = 8 V. Der Strom fließt in Richtung der stärkeren Quelle.

Welche physikalische Größe steckt hinter der Maschenregel?

a) Ladungserhaltung
b) Energieerhaltung
c) Impulserhaltung
d) Massenerhaltung

Richtig: b)

Spannung ist Energie pro Ladung. Über einen geschlossenen Umlauf landet jede Ladung wieder am Ausgangspunkt — die Energie pro Ladung ist gleich. Damit muss die Summe aller Spannungen null sein. Antwort a) gehört zur Knotenregel. c) und d) spielen in elektrischen Netzwerken keine Rolle.

In einer Masche mit nur einer Quelle und mehreren Widerständen erhält man bei der Anwendung der Maschenregel U₀ − U_R1 − U_R2 = 0. Welche Aussage trifft am genauesten zu?

a) Die Quellenspannung ist immer gleich groß wie U_R1
b) Die Summe der Spannungsabfälle ist gleich der Quellenspannung
c) Die Spannungsabfälle sind unabhängig von der Quelle
d) U_R1 und U_R2 müssen gleich groß sein

Richtig: b)

Umgeformt ergibt sich U₀ = U_R1 + U_R2 — die Quellenspannung verteilt sich auf alle Verbraucher der Masche. Antwort a) gilt nur, wenn U_R2 = 0 wäre. c) widerspricht der Maschenregel. d) wäre nur bei gleichen Widerständen richtig.

Eine Masche enthält eine 12-V-Quelle und vier Widerstände in Reihe. An drei davon wurden 2 V, 3 V und 4 V gemessen. Wie groß ist der Spannungsabfall am vierten Widerstand?

a) 9 V
b) 3 V
c) 12 V
d) Aus den Angaben nicht bestimmbar

Richtig: b)

12 − 2 − 3 − 4 = 3 V. Die Maschenregel liefert genau diesen Wert, ohne dass man den Widerstand selbst kennen muss. Antwort a) addiert fälschlich die bekannten Spannungen. c) ignoriert die anderen Verbraucher. d) verkennt, dass die Maschenregel allein hier ausreicht.

Zwei Quellen mit U₀₁ = 10 V und U₀₂ = 4 V sind so in einer Masche verschaltet, dass sie gegeneinander wirken (Pluspol gegen Pluspol). Im Stromkreis liegt ein Widerstand R. Welche Spannung fällt an R ab?

a) 14 V
b) 4 V
c) 6 V
d) 0 V – die Quellen heben sich auf

Richtig: c)

Gegeneinander geschaltete Quellen subtrahieren sich. Die wirksame Quellenspannung ist 10 − 4 = 6 V, und genau diese fällt am einzigen Verbraucher ab. Antwort a) wäre bei gleicher Polarität richtig. d) ist nur korrekt, wenn beide Quellen exakt gleich groß sind.

Vorzeichenkonvention und Zählpfeile

Knoten- und Maschenregel sind im Prinzip einfach. In der Praxis scheitert es am Vorzeichen. Wer Zählpfeile nicht konsequent setzt, rechnet falsch — egal wie sauber die Algebra danach aussieht.

Drei Schritte führen verlässlich zum richtigen Vorzeichen:

Schritt 1: Stromrichtung festlegen. Bei jedem unbekannten Strom zeichnest du einen Zählpfeil ein. Die Richtung darfst du frei wählen — geraten genügt. Wenn am Ende ein negatives Ergebnis herauskommt, fließt der Strom in Wirklichkeit andersherum, als der Pfeil zeigt. Der Betrag stimmt trotzdem.

Schritt 2: Spannungspfeile setzen. Bei Quellen zeigt der Spannungspfeil vom Minuspol zum Pluspol (in Richtung der elektromotorischen Kraft). Bei Verbrauchern zeigt der Spannungspfeil in Stromrichtung — also vom höheren zum niedrigeren Potenzial.

Schritt 3: Umlaufrichtung festlegen und Bilanz aufstellen. Für jede Masche wählst du eine Umlaufrichtung — im Uhrzeigersinn oder gegen den Uhrzeigersinn. Beim Durchlauf zählst du die Spannungen mit Vorzeichen:

Bauteil	Pfeil mit Umlauf	Pfeil gegen Umlauf
Quelle	+ U	− U
Verbraucher	− U	+ U

Für eine einfache Masche mit einer Quelle und zwei Widerständen, alle Pfeile in Umlaufrichtung, ergibt das: +U₀ − U_R1 − U_R2 = 0, umgestellt: U₀ = U_R1 + U_R2.

Bei der Knotenregel ist die Vorzeichenvergabe einfacher: Zuflüsse positiv, Abflüsse negativ (oder umgekehrt — Hauptsache, du bleibst innerhalb derselben Gleichung konsequent).

Stolpersteine: Vorzeichen-Wirrwarr ist der klassische Fehler bei Anfängern. Häufiges Muster: das Ergebnis sieht negativ aus, dann wird die Stromrichtung im Schaltbild umgedreht — und das ursprüngliche Vorzeichen in der Gleichung bleibt stehen. Das geht doppelt schief und liefert einen falschen Wert. Regel: Einmal Pfeile setzen, dann konsequent bis zum Ergebnis durchrechnen. Ein negatives Ergebnis ist kein Fehler, sondern eine Information — der Strom fließt in der Realität anders herum als angenommen, der Betrag ist richtig.

In der Praxis: Bei Schaltplänen wird die Stromrichtung oft schon vom Schaltungsentwerfer eingezeichnet. Trotzdem lohnt es sich, die Pfeile vor der Berechnung selbst zu kontrollieren, weil Druckfehler und Inkonsistenzen vorkommen. Wer blind den eingezeichneten Pfeilen folgt, rechnet manchmal an der Realität vorbei.

Kernpunkte:

Zählpfeile dürfen frei gewählt werden, müssen aber konsequent beibehalten werden
Umlaufrichtung pro Masche frei wählbar
Quelle und Verbraucher haben in der Bilanz umgekehrte Vorzeichen
Negatives Ergebnis bedeutet: Realrichtung umgekehrt, Betrag richtig

Gelöstes Beispiel

Eine Masche enthält eine Quelle mit U₀ = 10 V und zwei Widerstände R₁ und R₂ in Reihe. Der Umlauf wird im Uhrzeigersinn festgelegt. Der Spannungspfeil der Quelle zeigt in Umlaufrichtung, die Spannungspfeile an R₁ und R₂ ebenfalls. Gegeben: U_R1 = 4 V, U_R2 = 6 V. Stelle die Maschengleichung vorzeichenrichtig auf und prüfe.

Quelle mit Pfeil in Umlaufrichtung: +U₀
Verbraucher mit Pfeil in Umlaufrichtung: −U_R1 und −U_R2
Maschengleichung: +U₀ − U_R1 − U_R2 = 0
Einsetzen: 10 V − 4 V − 6 V = 0 V

Ergebnis: 0 V ✓ — die Bilanz geht auf.

Übungen

Eine Masche enthält eine Quelle mit U₀ = 15 V, deren Pfeil in Umlaufrichtung zeigt, und einen Widerstand mit U_R = 15 V, dessen Pfeil ebenfalls in Umlaufrichtung zeigt. Schreibe die Maschengleichung auf und prüfe, ob sie aufgeht.

+U₀ − U_R = 0 → 15 V − 15 V = 0 V ✓ (Quelle mit Pfeil in Umlauf positiv, Verbraucher mit Pfeil in Umlauf negativ — gemäß Tabelle).

Eine Masche hat U₀ = 12 V (Pfeil in Umlaufrichtung), U_R1 = 5 V und U_R2 unbekannt. Beide Widerstandspfeile zeigen in Umlaufrichtung. Bestimme U_R2.

+U₀ − U_R1 − U_R2 = 0 → U_R2 = U₀ − U_R1 = 12 V − 5 V = 7 V

Zwei Quellen in einer Masche: U₀₁ = 9 V (Pfeil in Umlaufrichtung) und U₀₂ = 3 V (Pfeil gegen Umlaufrichtung). Außerdem ein Widerstand mit unbekanntem U_R, dessen Pfeil in Umlaufrichtung zeigt. Bestimme U_R.

+U₀₁ − U₀₂ − U_R = 0 → U_R = U₀₁ − U₀₂ = 9 V − 3 V = 6 V

In einer Masche werden drei Stromrichtungen angenommen: I₁ = 2 A (Pfeil nach rechts), I₂ = 3 A (Pfeil nach rechts), I₃ (Pfeil nach rechts, unbekannt). An einem gemeinsamen Knoten: I₁ und I₂ fließen zu, I₃ fließt ab. Stelle die Knotengleichung auf und bestimme I₃. Was wäre, wenn I₃ als Zufluss angenommen worden wäre?

I₁ + I₂ − I₃ = 0 → I₃ = 5 A (abfließend). Wäre I₃ als Zufluss angenommen worden: I₁ + I₂ + I₃ = 0 → I₃ = −5 A — Vorzeichen negativ, also fließt der Strom in Wirklichkeit ab. Beide Ansätze liefern dieselbe physikalische Aussage.

Bei einer Maschenrechnung kommt für den Strom durch R₂ ein Wert von I₂ = −0,4 A heraus. Wie ist das Ergebnis zu interpretieren, und ist die ursprüngliche Maschengleichung zu korrigieren?

Der Strom fließt in Wirklichkeit entgegen der angenommenen Pfeilrichtung. Der Betrag (0,4 A) ist korrekt. Die Gleichung muss nicht korrigiert werden — sie hat ihre Arbeit getan und das richtige Vorzeichen ausgespuckt. Im Schaltplan kann man den Pfeil danach umdrehen, falls eine saubere Darstellung gewünscht ist.

Eine Maschenrechnung liefert für einen unbekannten Strom einen negativen Wert. Wie soll damit umgegangen werden?

a) Die Rechnung wiederholen, bis ein positives Ergebnis herauskommt
b) Den angenommenen Pfeil im Schaltbild umdrehen und die Rechnung neu starten
c) Das Ergebnis akzeptieren — der Strom fließt entgegen der Pfeilrichtung, der Betrag stimmt
d) Die Aufgabe ist unlösbar

Richtig: c)

Negatives Vorzeichen ist eine korrekte Antwort und sagt: „Annahme war umgedreht, Betrag ist richtig.“ Die Methode korrigiert sich selbst über das Vorzeichen. Antwort a) ist Wunschdenken. b) führt zu Doppelfehlern, wenn die Gleichung nicht konsequent angepasst wird. d) verkennt den Sinn der Methode.

Die Umlaufrichtung einer Masche wird im Gegenuhrzeigersinn gewählt. Eine Spannungsquelle mit ihrem Pfeil von − nach + zeigt im Schaltbild im Uhrzeigersinn. Mit welchem Vorzeichen geht ihre Spannung in die Maschengleichung ein?

a) Positiv
b) Negativ
c) Hängt vom Betrag ab
d) Hängt von den anderen Bauteilen ab

Richtig: b)

Der Pfeil zeigt entgegen der Umlaufrichtung — damit negatives Vorzeichen (Quelle, Pfeil gegen Umlauf → −U gemäß Tabelle). Wäre die Umlaufrichtung anders gewählt worden, wäre das Vorzeichen umgekehrt, das Ergebnis bliebe aber dasselbe. Antwort c) und d) verkennen, dass das Vorzeichen ausschließlich aus der Pfeillage relativ zum Umlauf folgt.

Welche Aussage zur Wahl der Stromrichtung in einem unbekannten Zweig ist richtig?

a) Die Richtung muss vorher physikalisch korrekt geraten werden
b) Die Richtung darf beliebig angenommen werden; ein negatives Ergebnis korrigiert die Annahme automatisch
c) Die Richtung muss immer vom Pluspol weg gewählt werden
d) Die Richtung darf nicht festgelegt werden — sie ergibt sich aus der Rechnung ohne Pfeil

Richtig: b)

Genau das ist der Charme der Methode. Vorzeichen kümmern sich selbst um falsche Annahmen, solange konsequent gerechnet wird. Antwort c) gilt nur im einfachsten Stromkreis. d) wäre praktisch nicht durchführbar — ohne Pfeil kein Vorzeichen.

Bei einer Maschenrechnung wurden alle Bauteilspannungen positiv eingerechnet, obwohl ein Spannungspfeil gegen die Umlaufrichtung zeigt. Welche Folge hat dieser Fehler?

a) Keine — das Ergebnis stimmt trotzdem
b) Das Vorzeichen aller anderen Spannungen wird ebenfalls falsch
c) Das Endergebnis weicht um das Doppelte der falsch eingerechneten Spannung ab
d) Die Knotenregel wird verletzt

Richtig: c)

Wer eine Spannung mit falschem Vorzeichen einrechnet, hat dieselbe Spannung zweimal in die falsche Richtung — der Fehler im Endergebnis ist genau das Doppelte ihres Betrags. Antwort a) und b) verkennen die Auswirkung. d) ist ein anderes Thema, die Knotenregel bleibt davon unberührt.

Reihen- und Parallelschaltung aus Kirchhoff herleiten

Die Formeln R_ges = R₁ + R₂ (Reihe) und 1/R_ges = 1/R₁ + 1/R₂ (Parallel) kennst du schon. Was viele nicht wissen: Beide folgen direkt aus den Kirchhoffschen Regeln. Ein schöner Punkt, um zu sehen, wie mächtig die zwei Sätze sind — alles Bekannte ist ein Spezialfall.

Reihenschaltung — folgt aus der Maschenregel.

In einer Reihenschaltung fließt durch alle Widerstände derselbe Strom I (es gibt nur einen Zweig). Maschenregel an der Schleife mit Quelle und zwei Widerständen:

U_ges = U_R1 + U_R2

Mit dem Ohmschen Gesetz U = R · I für jeden Widerstand und durch I dividieren:

R_ges = R₁ + R₂

Die bekannte Formel — direkt aus der Maschenregel hergeleitet. Für mehr Widerstände läuft es genauso, nur mit mehr Summanden.

Parallelschaltung — folgt aus der Knotenregel.

In einer Parallelschaltung liegt an allen Widerständen dieselbe Spannung U an (sie hängen am selben Knotenpaar). Knotenregel am Verzweigungspunkt:

I_ges = I₁ + I₂

Mit dem Ohmschen Gesetz I = U / R für jeden Widerstand und durch U dividieren:

1 / R_ges = 1 / R₁ + 1 / R₂

Wieder die bekannte Formel — diesmal direkt aus der Knotenregel. Wer das einmal nachvollzogen hat, sieht in den Schulformeln nicht mehr willkürliche Regeln, sondern einfach den Spezialfall, in dem nur eine der beiden Kirchhoffschen Regeln aktiv wird.

In der Praxis: Bei reinen Reihen- oder Parallelschaltungen greift man natürlich nach den fertigen Formeln. Sobald die Schaltung aber gemischt wird oder mehrere Quellen enthält, rechnet man wieder mit Strömen und Spannungen direkt — die Schulformeln reichen dann nicht mehr.

Kernpunkte:

Reihenschaltungsformel folgt aus der Maschenregel und gleichem Strom im Zweig
Parallelschaltungsformel folgt aus der Knotenregel und gleicher Spannung am Knotenpaar
Beide Regeln zusammen reichen für jedes lineare Netzwerk
Vertraute Formeln sind Spezialfälle, keine eigenständigen Gesetze

Gelöstes Beispiel

Drei Widerstände R₁ = 100 Ω, R₂ = 200 Ω, R₃ = 300 Ω sind in Reihe an U₀ = 12 V angeschlossen. Berechne den Strom und die einzelnen Spannungsabfälle.

R_ges = R₁ + R₂ + R₃ = 100 + 200 + 300 = 600 Ω
I = U₀ / R_ges = 12 / 600 = 0,02 A = 20 mA
U_R1 = 100 · 0,02 = 2 V; U_R2 = 200 · 0,02 = 4 V; U_R3 = 300 · 0,02 = 6 V
Probe Maschenregel: 2 + 4 + 6 = 12 V ✓

Ergebnis: I = 20 mA; U_R1 = 2 V; U_R2 = 4 V; U_R3 = 6 V

Übungen

Zwei Widerstände R₁ = 50 Ω und R₂ = 150 Ω sind in Reihe an einer 20-V-Quelle. Bestimme den Strom und die beiden Teilspannungen.

R_ges = 200 Ω; I = 20 / 200 = 0,1 A; U_R1 = 50 · 0,1 = 5 V; U_R2 = 150 · 0,1 = 15 V. Probe: 5 + 15 = 20 V ✓

Zwei Widerstände R₁ = 100 Ω und R₂ = 100 Ω sind parallel an einer 10-V-Quelle. Berechne den Gesamtwiderstand und den Gesamtstrom.

1/R_ges = 1/100 + 1/100 = 2/100; R_ges = 50 Ω; I_ges = 10 / 50 = 0,2 A

Drei gleiche Widerstände R = 60 Ω sind parallel geschaltet. Berechne den Gesamtwiderstand.

Bei n gleichen parallelen Widerständen gilt R_ges = R / n. R_ges = 60 / 3 = 20 Ω. Allgemeiner Weg: 1/R_ges = 3/60 = 1/20 → R_ges = 20 Ω.

Zwei Widerstände R₁ = 200 Ω und R₂ = 300 Ω sind parallel an einer 6-V-Quelle. Bestimme den Gesamtstrom und die Ströme in den beiden Zweigen, prüfe mit der Knotenregel.

1/R_ges = 1/200 + 1/300 = 5/600 → R_ges = 120 Ω; I_ges = 6/120 = 0,05 A = 50 mA. I₁ = 6/200 = 0,03 A = 30 mA; I₂ = 6/300 = 0,02 A = 20 mA. Probe: 30 + 20 = 50 mA ✓

Zwei Widerstände sind in Reihe an einer 24-V-Quelle. Am ersten Widerstand wird U_R1 = 9 V gemessen. R₂ = 600 Ω. Bestimme R₁ ohne Verwendung des fertigen Reihenformelapparats — nur mit Kirchhoff und dem Ohmschen Gesetz.

Maschenregel: U_R2 = U₀ − U_R1 = 24 − 9 = 15 V. Strom über R₂: I = U_R2 / R₂ = 15 / 600 = 0,025 A. Da Reihenschaltung, fließt derselbe Strom durch R₁. R₁ = U_R1 / I = 9 / 0,025 = 360 Ω.

Warum gilt in einer Reihenschaltung R_ges = R₁ + R₂, und worauf basiert diese Beziehung physikalisch?

a) Sie folgt aus der Knotenregel, weil sich die Ströme addieren
b) Sie folgt aus der Maschenregel, weil sich die Spannungen addieren und der Strom überall gleich ist
c) Sie ist eine empirische Regel ohne physikalische Begründung
d) Sie gilt nur, wenn beide Widerstände gleich sind

Richtig: b)

In einer Reihenschaltung gibt es nur einen Zweig — die Knotenregel kommt gar nicht zum Einsatz. Die Maschenregel teilt die Quellenspannung auf die Verbraucher auf, und weil der Strom überall identisch ist, lässt sich R · I aus der Bilanz herausziehen. Das ergibt die Summenformel.

Bei einer Parallelschaltung mit drei verschiedenen Widerständen ist der kleinste Widerstand R_min. Welche Aussage zum Gesamtwiderstand R_ges trifft zu?

a) R_ges > R_min
b) R_ges = R_min
c) R_ges < R_min
d) R_ges = R_min / 3

Richtig: c)

Bei Parallelschaltung ist der Gesamtwiderstand immer kleiner als der kleinste Einzelwiderstand. Mehr Widerstände parallel = mehr Strompfade = weniger Gesamtwiderstand. Antwort d) gilt nur, wenn alle drei Widerstände gleich groß sind.

Zwei Widerstände sind in Reihe an einer Spannungsquelle U₀ angeschlossen. R₂ ist viermal so groß wie R₁. In welchem Verhältnis verteilt sich die Spannung der Quelle auf die beiden Widerstände?

a) Gleichmäßig
b) U_R1 : U_R2 = 4 : 1
c) U_R1 : U_R2 = 1 : 4
d) U_R1 : U_R2 = 1 : 16

Richtig: c)

Derselbe Strom fließt durch beide Widerstände. Spannungsabfall ist proportional zum Widerstand (U = R · I). Wenn R₂ viermal so groß ist, fällt an ihm viermal so viel Spannung ab — Verhältnis 1 zu 4 zugunsten von R₂. Antwort d) verwechselt linear mit quadratisch.

Welche Aussage zur Stromaufteilung in einer Parallelschaltung mit zwei verschiedenen Widerständen ist korrekt?

a) Der kleinere Widerstand führt den kleineren Strom
b) Der kleinere Widerstand führt den größeren Strom
c) Beide Widerstände führen denselben Strom
d) Die Stromaufteilung ist immer 1 zu 1

Richtig: b)

In Parallelschaltung liegt an beiden Widerständen dieselbe Spannung. Nach I = U / R fließt im kleineren Widerstand mehr Strom — weniger Widerstand, mehr Durchfluss. Antwort a) verwechselt direkt mit indirekt proportional. c) und d) wären nur bei gleichen Widerständen richtig.

Anwendung an einer gemischten Schaltung

Jetzt das volle Programm. Eine Schaltung, die weder reine Reihen- noch reine Parallelschaltung ist. Wir gehen die Schritte einmal komplett durch und sehen, wie beide Kirchhoffschen Regeln zusammenspielen.

Beispielschaltung: Spannungsquelle U₀ = 24 V; R₁ = 100 Ω in Reihe mit der Parallelschaltung aus R₂ = 200 Ω und R₃ = 300 Ω.

Schritt 1: Knoten und Maschen identifizieren. Die Schaltung hat zwei Knoten: den Verzweigungspunkt vor der Parallelschaltung (A) und den Sammelpunkt danach (B). Es lassen sich zwei unabhängige Maschen wählen — z. B. Quelle/R₁/R₂ und Quelle/R₁/R₃.

Schritt 2: Stromrichtungen einzeichnen. I₁ durch R₁ (vom Pluspol der Quelle weg), I₂ durch R₂, I₃ durch R₃.

Schritt 3: Knotenregel anwenden. Am Knoten A: I₁ = I₂ + I₃ (Gleichung 1)

Schritt 4: Maschenregeln aufstellen.

Masche 1 (Quelle, R₁, R₂): U₀ = R₁ · I₁ + R₂ · I₂ → 24 = 100 · I₁ + 200 · I₂ (Gleichung 2)

Masche 2 (R₂ und R₃ am selben Knotenpaar): R₂ · I₂ = R₃ · I₃ → 200 · I₂ = 300 · I₃ (Gleichung 3)

Schritt 5: Gleichungssystem lösen. Aus Gleichung 3: I₃ = (2/3) · I₂. In Gleichung 1: I₁ = (5/3) · I₂. In Gleichung 2: 24 = 100 · (5/3) · I₂ + 200 · I₂ = (1100/3) · I₂ → I₂ ≈ 65,5 mA; I₃ ≈ 43,6 mA; I₁ ≈ 109,1 mA.

Schritt 6: Probe mit der Maschenregel. U_R1 ≈ 10,91 V; U_R2 ≈ 13,10 V; U_R1 + U_R2 ≈ 24,0 V ✓

In der Praxis: Eingangsschaltungen von SPS-Modulen haben oft Pull-up-Widerstände parallel zu Sensorausgängen und in Reihe mit Schutzwiderständen. Die Berechnung der tatsächlichen Eingangsspannung läuft genau über dieses Schema — Kirchhoff bringt Klarheit, wo die Schulformeln überfordert sind.

Kernpunkte:

Sechs-Schritt-Schema: Knoten/Maschen finden → Pfeile setzen → Knotenregel → Maschenregeln → Gleichungssystem lösen → Probe
Jede lineare Schaltung lässt sich so behandeln
Probe immer mit Maschenregel oder Knotenregel — kostet wenig Zeit, fängt viele Fehler
Bei mehr Maschen entsprechend mehr Gleichungen, aber gleiches Schema

Gemischte Schaltung: R₁ in Reihe mit der Parallelschaltung aus R₂ und R₃. Knoten A und B trennen die drei Zweige.

Gelöstes Beispiel

Gemischte Schaltung: U₀ = 30 V, R₁ = 50 Ω in Reihe mit Parallelschaltung aus R₂ = 100 Ω und R₃ = 100 Ω. Bestimme alle Ströme.

R_parallel = (100 · 100) / (100 + 100) = 50 Ω
R_ges = 50 + 50 = 100 Ω
I₁ = 30 / 100 = 0,3 A
U_R1 = 50 · 0,3 = 15 V; U_parallel = 30 − 15 = 15 V
I₂ = 15 / 100 = 0,15 A; I₃ = 15 / 100 = 0,15 A
Probe Knotenregel: I₁ = I₂ + I₃ = 0,15 + 0,15 = 0,3 A ✓

Ergebnis: I₁ = 0,3 A; I₂ = I₃ = 0,15 A

Übungen

Gemischte Schaltung mit U₀ = 12 V, R₁ = 40 Ω in Reihe mit Parallelschaltung aus R₂ = 60 Ω und R₃ = 60 Ω. Bestimme I₁, I₂, I₃.

R_parallel = 30 Ω; R_ges = 70 Ω; I₁ = 12/70 ≈ 171 mA; U_R1 ≈ 6,86 V; U_parallel ≈ 5,14 V; I₂ = I₃ ≈ 85,7 mA. Probe: 85,7 + 85,7 ≈ 171,4 mA ✓

U₀ = 20 V, R₁ = 100 Ω in Reihe mit Parallelschaltung aus R₂ = 200 Ω und R₃ = 400 Ω. Bestimme alle Ströme und Spannungen.

R_parallel = (200·400)/(600) ≈ 133,3 Ω; R_ges ≈ 233,3 Ω; I₁ ≈ 85,7 mA; U_R1 ≈ 8,57 V; U_parallel ≈ 11,43 V; I₂ ≈ 57,1 mA; I₃ ≈ 28,6 mA. Probe: 57,1 + 28,6 ≈ 85,7 mA ✓

In der Schaltung von Übung 2 wird R₂ durch einen 100-Ω-Widerstand ersetzt. Wie ändern sich I₁, I₂, I₃?

R_parallel = (100·400)/500 = 80 Ω; R_ges = 180 Ω; I₁ ≈ 111 mA; U_R1 ≈ 11,1 V; U_parallel ≈ 8,89 V; I₂ ≈ 88,9 mA; I₃ ≈ 22,2 mA. Probe: 88,9 + 22,2 ≈ 111,1 mA ✓. Wenn R₂ kleiner wird, fließt mehr Strom in seinen Zweig — und auch der Gesamtstrom steigt.

Gegeben ist eine gemischte Schaltung mit U₀ = 24 V. Gemessen wurden I₁ = 80 mA und I₂ = 50 mA. Wie groß ist I₃? Welcher Spannungsabfall liegt am Reihenwiderstand R₁ = 100 Ω?

I₃ = I₁ − I₂ = 30 mA (Knotenregel). U_R1 = 100 · 0,08 = 8 V. U_parallel = 24 − 8 = 16 V (Maschenregel).

Eine gemischte Schaltung enthält zwei Quellen: U₀₁ = 12 V und U₀₂ = 8 V (in unterschiedlichen Maschen, gleichsinnig wirkend). Drei Widerstände: R₁ = 100 Ω im Zweig mit U₀₁, R₂ = 200 Ω in einem Querzweig, R₃ = 100 Ω im Zweig mit U₀₂. Stelle das Gleichungssystem mit Knoten- und Maschenregel auf (nicht lösen).

Definiere Zählpfeile: I₁ in Zweig 1, I₂ in Querzweig, I₃ in Zweig 3. Annahme: I₁ und I₃ fließen zum gemeinsamen Knoten, I₂ fließt ab. Knotengleichung: I₁ + I₃ − I₂ = 0. Maschengleichung 1: 12 = 100·I₁ + 200·I₂. Maschengleichung 2: 8 = 100·I₃ + 200·I₂. Drei Gleichungen, drei Unbekannte — lösbar.

Eine gemischte Schaltung besteht aus R₁ in Reihe mit der Parallelschaltung von R₂ und R₃. Wenn R₂ deutlich kleiner gemacht wird (R₁ und R₃ unverändert), wie reagieren der Gesamtstrom I₁ und der Strom I₃ durch R₃?

a) I₁ steigt, I₃ steigt
b) I₁ steigt, I₃ sinkt
c) I₁ sinkt, I₃ steigt
d) Beide bleiben unverändert

Richtig: b)

Kleinerer R₂ bedeutet kleinerer Parallelwiderstand, kleinerer Gesamtwiderstand, größerer Gesamtstrom I₁. Mehr Strom fällt als Spannung an R₁ ab, daher sinkt U_parallel. An R₃ liegt nun weniger Spannung — also fließt weniger Strom durch R₃. Antwort a) übersieht den Spannungseffekt. c) widerspricht der Maschenregel. d) ignoriert die Änderung.

Beim Aufstellen der Gleichungen für eine gemischte Schaltung mit n Knoten und mehreren Maschen, wie viele unabhängige Gleichungen erhält man insgesamt höchstens?

a) n + m
b) (n − 1) + Anzahl unabhängiger Maschen
c) n · m
d) Immer genau zwei

Richtig: b)

Knotengleichungen liefern n − 1 unabhängige, weil die letzte aus den anderen folgt. Bei den Maschen zählen nur die unabhängigen (linear unabhängige Umläufe). Antwort a) zählt zu viel. c) ist unsinnig. d) gilt nur in trivialen Fällen.

Eine Schaltung enthält zwei Spannungsquellen mit unterschiedlichen Spannungen und drei Widerstände. Welches Verfahren ist sinnvoll?

a) Reihen- und Parallelformeln in Kombination
b) Nur das Ohmsche Gesetz
c) Kirchhoffsche Regeln, Aufstellen eines Gleichungssystems
d) Aus der Spannungsdifferenz der Quellen direkt den Strom berechnen

Richtig: c)

Bei mehreren Quellen versagen die reinen Schulformeln, weil sich Widerstände nicht mehr eindeutig zusammenfassen lassen. Kirchhoff plus Ohm liefert ein lineares Gleichungssystem, das immer lösbar ist. Antwort a) ist nicht ausreichend. b) reicht erst nach Aufstellen der Gleichungen. d) ist eine Vereinfachung, die nur in Spezialfällen funktioniert.

In einer gemischten Schaltung ergibt die Probe nach der Berechnung U_R1 + U_R2 = 23,8 V bei U₀ = 24 V. Wie ist das zu bewerten?

a) Die Rechnung ist falsch
b) Die Knotenregel ist verletzt
c) Akzeptable Rundungsabweichung
d) Die Schaltung ist überdimensioniert

Richtig: c)

0,2 V Abweichung bei 24 V sind weniger als 1 % — typischer Rundungseffekt, wenn die Zwischenergebnisse auf wenige Nachkommastellen begrenzt werden. Bei sauber durchgerechneter Algebra ohne Rundung wäre die Bilanz exakt. Antwort a) wäre nur richtig bei einer größeren Differenz. b) und d) betreffen andere Aspekte.

Praxisbezug

Wofür braucht ein Mechatroniker die Kirchhoffschen Regeln wirklich? Ein paar Bereiche, in denen sie täglich Anwendung finden — meistens unbemerkt, weil sie im Hintergrund jeder Schaltungsbetrachtung stecken.

Schaltungsdimensionierung. Welcher Leitungsquerschnitt? Welche Sicherung? Welcher Vorwiderstand? Ohne Kenntnis der Ströme in jedem Zweig keine Dimensionierung. Die Knotenregel sagt, wo welcher Strom fließt — und damit, wie dick die Leitung sein muss.

Spannungsteiler für Sensoren. Aus 24 V Steuerspannung müssen 5 V für einen Mikrocontroller oder 10 V als Referenzspannung werden. Die Maschenregel liefert die Auslegung der beiden Widerstände — Verhältnis der Spannungen entspricht dem Verhältnis der Widerstände.

Fehlersuche im Schaltkasten. Eine Spannung an einer Leitung misst sich anders als erwartet? Mit Kirchhoff lassen sich mögliche Fehlerquellen eingrenzen. Wenn in einer Masche die Summe der gemessenen Spannungen nicht aufgeht, fehlt irgendwo etwas — Leitungsbruch, schlechter Kontakt, gealterter Verbraucher. Wo die Bilanz schiefliegt, liegt der Fehler.

Leistungsbilanz. Wie viel Strom zieht eine Anlage am Einspeisepunkt? Knotenregel an der Einspeisung. Wie viel Verlust in den Zuleitungen? Maschenregel über jeden Zweig und I²·R-Berechnung.

Schaltungen mit mehreren Quellen. Solaranlagen mit zusätzlicher Batterieeinspeisung, Notstromkreise mit zwei Versorgungspfaden, Brückenschaltungen mit zwei Speisepunkten: Sobald mehr als eine Quelle aktiv ist, versagen die reinen Schulformeln. Kirchhoff funktioniert ohne Einschränkung weiter.

Industrielle Steuerstromkreise. Bei 24-V-Steuerstromkreisen in der Automatisierung sind oft viele parallel angeschlossene Verbraucher (Magnetventile, Relais, LEDs) gleichzeitig aktiv. Die Knotenregel an der Einspeisung sagt, ob das Netzteil noch dimensioniert genug ist. Wer das systematisch macht, hat seltener Spannungseinbrüche unter Last.

Kernpunkte:

Dimensionierung, Spannungsteiler, Fehlersuche, Leistungsbilanz — alles auf Kirchhoff aufgebaut
Bei Schaltungen mit mehreren Quellen kommt man ohne die Regeln nicht weiter
Fehlersuche durch Vergleich gemessener Spannungen mit Maschenregel
Diagnose über Soll/Ist-Vergleich von Strömen und Spannungen

In einem Schaltkasten wird in einer Masche mit 24-V-Versorgung die Summe der gemessenen Spannungsabfälle zu 18 V bestimmt. Welche Fehlerursache passt am besten?

a) Ein zusätzlicher unbekannter Verbraucher ist in der Masche aktiv
b) Eine Spannungsquelle liefert mehr als angegeben
c) Im Strompfad fehlt ein Spannungsabfall — etwa durch einen Kurzschluss oder einen Bauteildefekt mit reduziertem Widerstand
d) Die Maschenregel gilt hier nicht

Richtig: c)

Wenn die Summe der Spannungsabfälle kleiner ist als die Quellenspannung, fehlt irgendwo ein Spannungsabfall. Typische Ursache: ein Verbraucher hat einen unerwartet kleinen Widerstand (Kurzschluss oder Teildefekt). Antwort a) würde die Summe vergrößern, nicht verkleinern. b) und d) widersprechen den Voraussetzungen.

Ein 24-V-Steuerstromkreis versorgt zehn parallel angeordnete Magnetventile, von denen jedes 50 mA zieht. Wie groß ist der Strom in der Einspeiseleitung, wenn alle Ventile gleichzeitig angesteuert werden?

a) 50 mA
b) 250 mA
c) 500 mA
d) 5 A

Richtig: c)

Knotenregel an der Einspeisung: Summe der Lastströme = Einspeisestrom. 10 · 50 mA = 500 mA. Antwort a) ignoriert die Anzahl. b) halbiert fälschlich. d) verschiebt das Komma. Praktische Folge: Netzteil muss mindestens 0,5 A liefern können — mit Reserve eher 1 A.

Welche Aussage zur Kombination von Kirchhoffschen Regeln und Ohmschem Gesetz in der praktischen Schaltungsanalyse ist richtig?

a) Das Ohmsche Gesetz ersetzt die Kirchhoffschen Regeln
b) Die Kirchhoffschen Regeln ersetzen das Ohmsche Gesetz
c) Beide werden zusammen verwendet — Kirchhoff für Bilanzen, Ohm für die Verknüpfung von U, I und R
d) Das Ohmsche Gesetz wird nur bei Reihenschaltungen verwendet

Richtig: c)

Knoten- und Maschenregel sind Bilanzgleichungen für Ströme und Spannungen. Das Ohmsche Gesetz stellt die Verbindung zwischen Strom, Spannung und Widerstand her. Erst beides zusammen liefert ein lösbares Gleichungssystem. Antwort a) und b) verkennen die Rollen. d) ist eine willkürliche Einschränkung.

Abschlusstest

An einem Knoten fließen vier Ströme: I₁ = 5 A zu, I₂ = 2 A zu, I₃ = 3 A ab. Bestimme den vierten Strom I₄ in Größe und Richtung.

Zuflüsse: 5 + 2 = 7 A. Abflüsse müssen ebenfalls 7 A betragen. Bisher ab: 3 A, also fehlen 4 A. I₄ = 4 A, abfließend.

In einer Masche liegt eine Quelle U₀ = 18 V. Drei Widerstände in Reihe haben die Spannungsabfälle U_R1 = 5 V, U_R2 = 7 V, U_R3 unbekannt. Bestimme U_R3 mit der Maschenregel.

U_R3 = U₀ − U_R1 − U_R2 = 18 − 5 − 7 = 6 V

Eine Maschenrechnung mit angenommener Stromrichtung liefert I = −1,5 A. Wie groß ist der Strom tatsächlich, und wie ist die Richtung?

Betrag I = 1,5 A. Strom fließt entgegen der angenommenen Pfeilrichtung. Die Gleichung selbst ist korrekt.

Drei Widerstände R₁ = 30 Ω, R₂ = 60 Ω, R₃ = 90 Ω in Reihe an U₀ = 18 V. Berechne Strom und Spannungsabfälle.

R_ges = 30 + 60 + 90 = 180 Ω; I = 18/180 = 0,1 A; U_R1 = 3 V; U_R2 = 6 V; U_R3 = 9 V. Probe: 3 + 6 + 9 = 18 V ✓

Drei Widerstände R₁ = 100 Ω, R₂ = 200 Ω, R₃ = 200 Ω parallel an U₀ = 10 V. Berechne R_ges, I_ges und die Einzelströme.

1/R_ges = 1/100 + 1/200 + 1/200 = 4/200 = 1/50 → R_ges = 50 Ω; I_ges = 10/50 = 0,2 A; I₁ = 0,1 A; I₂ = I₃ = 0,05 A. Probe: 0,1 + 0,05 + 0,05 = 0,2 A ✓

Gemischte Schaltung: U₀ = 36 V, R₁ = 200 Ω in Reihe mit Parallelschaltung von R₂ = 300 Ω und R₃ = 600 Ω. Berechne alle Ströme und Spannungen.

R_parallel = (300·600)/900 = 200 Ω; R_ges = 400 Ω; I₁ = 36/400 = 90 mA; U_R1 = 18 V; U_parallel = 18 V; I₂ = 60 mA; I₃ = 30 mA. Probe: 60 + 30 = 90 mA ✓

Eine Masche enthält zwei Quellen, gleichsinnig wirkend: U₀₁ = 7 V, U₀₂ = 5 V, und drei Widerstände in Reihe mit U_R1 = 4 V, U_R2 = 5 V, U_R3 unbekannt. Bestimme U_R3.

Σ U_Quelle = Σ U_Verbraucher → 7 + 5 = 4 + 5 + U_R3 → 12 = 9 + U_R3 → U_R3 = 3 V

In einer gemischten Schaltung wurde I₁ = 120 mA und I₂ = 70 mA gemessen. Wie groß ist I₃ in dem dritten Zweig der Verzweigung? In welchem Verhältnis stehen R₂ und R₃, wenn an beiden dieselbe Spannung anliegt?

I₃ = I₁ − I₂ = 120 − 70 = 50 mA. Bei gleicher Spannung: R₂/R₃ = I₃/I₂ = 50/70 = 5/7 — R₂ ist kleiner als R₃ im Verhältnis 5 zu 7.

Eine Schaltung enthält vier Knoten. Wie viele unabhängige Knotengleichungen lassen sich aufstellen?

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4

Richtig: c)

n − 1 unabhängige Gleichungen, also 4 − 1 = 3. Die vierte ergibt sich automatisch aus den anderen.

In einer Reihenschaltung wird R₁ verdoppelt, R₂ bleibt unverändert, U₀ bleibt gleich. Wie verändert sich der Spannungsabfall an R₂?

a) Bleibt gleich
b) Verdoppelt sich
c) Wird kleiner
d) Verschwindet

Richtig: c)

Bei verdoppeltem R₁ steigt R_ges, der Strom sinkt. Spannungsabfall an R₂ = R₂ · I — mit gleichem R₂ und kleinerem I wird auch U_R2 kleiner. Antwort a) übersieht die Stromänderung. b) wäre richtig für U_R1, aber genau umgekehrt für U_R2.

Eine Maschenrechnung liefert für drei Ströme die Werte +0,2 A, −0,15 A und +0,1 A. Wie ist das Ergebnis am ehesten zu interpretieren?

a) Die Schaltung ist instabil
b) Eine Stromrichtungsannahme war falsch, das Ergebnis ist trotzdem korrekt
c) Es liegt ein Rechenfehler vor — Ströme müssen positiv sein
d) Die Maschenregel ist verletzt

Richtig: b)

Negative Vorzeichen sind das natürliche Signal, dass eine Annahme verkehrt war. Die Methode selbst funktioniert weiter und liefert korrekte Beträge.

Eine Parallelschaltung enthält drei Widerstände, einer davon viel kleiner als die anderen. Welche Aussage ist korrekt?

a) Alle Widerstände führen denselben Strom
b) Der kleinste Widerstand dominiert den Gesamtwiderstand und führt den größten Strom
c) Der kleinste Widerstand wird umgangen
d) Die Reihenschaltungsformel kann angewendet werden

Richtig: b)

Bei deutlich unterschiedlichen Widerständen in Parallelschaltung bestimmt der kleinste den Gesamtwiderstand wesentlich. An ihm fällt dieselbe Spannung ab wie an den anderen, sein I = U/R ist aber am größten.

In einer gemischten Schaltung mit R₁ in Reihe zu einer Parallelschaltung aus R₂ und R₃ wird R₃ unterbrochen. Welche Aussage zu Gesamtwiderstand und Gesamtstrom trifft zu?

a) Beide steigen
b) Beide sinken
c) Gesamtwiderstand steigt, Gesamtstrom sinkt
d) Gesamtwiderstand sinkt, Gesamtstrom steigt

Richtig: c)

Ohne R₃ wird der Parallelteil zu einem einzelnen Widerstand R₂. R_ges = R₁ + R₂ ist größer als der vorherige Wert mit Parallelschaltung. Bei gleicher Quellenspannung führt der größere Gesamtwiderstand zu einem kleineren Gesamtstrom.

Welche der folgenden Schaltungen erfordert ein Gleichungssystem mit Kirchhoff und kann NICHT allein mit den Schulformeln für Reihen- und Parallelschaltung gelöst werden?

a) Drei Widerstände in Reihe
b) Vier Widerstände parallel
c) Eine Schaltung mit zwei gegeneinander wirkenden Spannungsquellen und drei Widerständen in verschiedenen Zweigen
d) R₁ in Reihe mit einer Parallelschaltung aus R₂ und R₃

Richtig: c)

Bei mehreren Quellen lassen sich die Widerstände nicht mehr eindeutig zu einem Ersatzwiderstand zusammenfassen, weil der Strom in den Zweigen unterschiedliche Richtungen haben kann. Die Optionen a), b), d) sind klassische Fälle, in denen die Reihen- oder Parallelformel direkt anwendbar ist.

Bei der praktischen Fehlersuche wird in einer Masche festgestellt, dass die Summe der gemessenen Spannungsabfälle deutlich höher ist als die anliegende Quellenspannung. Was kann die Ursache sein?

a) Eine zusätzliche, vorher unbekannte Quelle wirkt in derselben Masche
b) Ein Widerstand ist beschädigt
c) Die Maschenregel gilt nicht
d) Die Knotenregel ist verletzt

Richtig: a)

Maschenregel sagt: Quellenseite = Verbraucherseite. Wenn die Verbraucherseite überschießt, ist die Quellenseite unterschätzt — meist durch eine vergessene oder unbekannte zusätzliche Quelle (etwa eine induktive Spannung beim Abschalten, eine zweite Versorgung). c) und d) sind ausgeschlossen, die Regeln gelten immer.

Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit für zwei Widerstände R₂ und R₃ die Beziehung U_R2 = U_R3 gilt?

a) R₂ und R₃ sind gleich groß
b) R₂ und R₃ liegen in Reihe
c) R₂ und R₃ liegen parallel an denselben zwei Knoten
d) Es fließt kein Strom durch R₃

Richtig: c)

Gleiche Spannung an zwei Bauteilen folgt aus der Verbindung an dieselben Knoten — das ist die Definition von „parallel“. Antwort a) bezieht sich auf den Widerstandswert, nicht auf die Spannung. b) wäre für gleiche Ströme. d) ist eine Spezialsituation, nicht die allgemeine Antwort.

Welche Aussage zum Verhältnis von Knoten- und Maschenregel zur Energie- und Ladungserhaltung trifft genau zu?

a) Beide folgen aus der Energieerhaltung
b) Beide folgen aus der Ladungserhaltung
c) Knotenregel folgt aus Ladungserhaltung, Maschenregel aus Energieerhaltung
d) Beide sind empirisch ohne tieferen Hintergrund

Richtig: c)

Knotenregel = Ladung kann nicht verloren gehen. Maschenregel = Energie pro Ladung muss über einen geschlossenen Umlauf bilanziert sein. Antworten a) und b) verwechseln die Zuordnungen. d) negiert den physikalischen Ursprung.

In einer gemischten Schaltung mit Quelle U₀ = 24 V und drei Widerständen ergibt sich nach Kirchhoff ein Strom I₂ = 0 A. Welche Interpretation passt?

a) Es liegt ein Rechenfehler vor
b) An R₂ liegt keine Spannung an, daher fließt kein Strom
c) Die Schaltung ist defekt
d) Der Widerstand R₂ ist unendlich groß

Richtig: b)

I = U/R — wenn der Strom null ist, ist entweder die Spannung null oder der Widerstand unendlich. In einer korrekt aufgestellten Rechnung folgt I = 0 meist daraus, dass die beiden Knoten von R₂ auf demselben Potenzial liegen. Antwort d) wäre eine zweite Möglichkeit, ist aus den Angaben aber nicht zwingend. a) und c) springen voreilig zu Fehlerschlüssen.

Ein Spannungsteiler aus zwei gleichen Widerständen R wird an U₀ = 12 V angeschlossen. Welche Spannung greift man in der Mitte ab — unbelastet?

a) 6 V
b) 12 V
c) 0 V
d) Abhängig vom Widerstandswert

Richtig: a)

Bei gleichen Widerständen in Reihe teilt sich die Quellenspannung gleichmäßig auf — Maschenregel. Antwort d) verkennt, dass das Verhältnis bei gleichen Widerständen immer 1 zu 1 ist, unabhängig vom Absolutwert. Sobald eine Last angeschlossen wird, ändert sich das — typische Falle bei Spannungsteilern in der Praxis.

Bei einem Sensor mit Pull-up-Widerstand R_pull = 10 kΩ an U₀ = 5 V wird ein Sensorwiderstand R_S = 10 kΩ gemessen. Welche Spannung liegt am Sensor?

a) 5 V
b) 2,5 V
c) 0 V
d) 10 V

Richtig: b)

Spannungsteiler aus R_pull und R_S. Bei gleichen Werten: U_S = U₀ · R_S/(R_pull + R_S) = 5 · 10/20 = 2,5 V. Maschenregel in Anwendung. Antwort a) wäre richtig bei offenem Sensor (unendlicher Widerstand). c) bei Kurzschluss. d) ist physikalisch unmöglich.

Glossar

Knoten: Punkt in einer Schaltung, an dem mindestens drei Leiter zusammentreffen. Stellt eine Verzweigung des Stromes dar.
Zweig: Strompfad zwischen zwei benachbarten Knoten. Durch jeden Zweig fließt überall derselbe Strom.
Masche: Geschlossener Umlauf in einer Schaltung, in dem sich Spannungen für die Maschenregel bilanzieren lassen.
Knotenregel (1. Kirchhoffsche Regel): Σ I_zu = Σ I_ab an jedem Knoten. Folgt aus der Ladungserhaltung.
Maschenregel (2. Kirchhoffsche Regel): Σ U = 0 in jeder geschlossenen Masche. Folgt aus der Energieerhaltung.
Zählpfeil: Vereinbarter Pfeil für Strom oder Spannung. Bestimmt das Vorzeichen in den Gleichungen. Die Richtung darf beliebig gewählt werden, muss aber konsequent beibehalten werden.
Umlaufsinn: Festgelegte Richtung (Uhrzeigersinn oder Gegenuhrzeigersinn), in der eine Masche durchlaufen wird, um Spannungen aufzusummieren.
Reihenschaltung: Anordnung von Bauteilen entlang eines einzigen Strompfades. Durch alle Bauteile fließt derselbe Strom; die Spannungen addieren sich.
Parallelschaltung: Anordnung von Bauteilen zwischen denselben zwei Knoten. An allen Bauteilen liegt dieselbe Spannung; die Ströme addieren sich.
Gemischte Schaltung: Kombination aus Reihen- und Parallelschaltungen, oft mit mehreren Maschen. Erfordert das volle Anwenden beider Kirchhoffscher Regeln.
Ladungserhaltung: Grundsatz, dass elektrische Ladung weder erzeugt noch vernichtet wird. Physikalische Grundlage der Knotenregel.
Energieerhaltung: Grundsatz, dass Energie über einen geschlossenen Weg ausgeglichen sein muss. Physikalische Grundlage der Maschenregel.