Kirchhoffsche Regeln

Bevor man die Kirchhoffschen Regeln anwenden kann, braucht es eine saubere Sprache, mit der man eine Schaltung beschreibt. Drei Begriffe genügen: Knoten, Zweig und Masche.

Ein Zweig ist eine durchgehende Verbindungsstrecke zwischen zwei Knoten. Wichtig: Durch jeden Zweig fließt nur ein einziger Strom – egal wie viele Bauteile er enthält. Ein Knoten ist eine Verbindungsstelle, an der drei oder mehr Zweige zusammentreffen. Zwei einfach miteinander verbundene Leitungen bilden noch keinen Knoten. Eine Masche ist ein geschlossener Umlauf in der Schaltung – ein Pfad, der bei einem Punkt startet, über Zweige weiterführt und am selben Punkt endet, ohne einen Zwischenpunkt zweimal zu berühren.

Ein Blick auf eine einfache Schaltung macht das anschaulich:

In dieser Schaltung gibt es genau zwei Knoten (A oben und B unten), drei Zweige (die Spannungsquelle U_q links, R_1 in der Mitte, R_2 rechts) und zwei Maschen (M_1 mit U_q und R_1, M_2 mit R_1 and R_2). Man könnte zwar auch einen Umlauf über U_q und R_2 zeichnen – aber dieser dritte Umlauf ist keine unabhängige Masche mehr, sondern eine Kombination der beiden anderen. Das wird in Kapitel 4 noch wichtig.

Wichtig zur Unterscheidung: Eine reine Eckverbindung von zwei Leitungen ist kein Knoten im Sinne der Netzwerkanalyse – nur dort, wo wirklich mindestens drei Zweige zusammentreffen, hat man einen echten Knoten.

Die Knotenregel ist die direkte Folge der Ladungserhaltung. Ladung kann nicht aus dem Nichts entstehen und nicht spurlos verschwinden. An einem Knoten kann sich also auch keine Ladung ansammeln – was reinfließt, muss in der Summe auch wieder rausfließen.

Oder anders geschrieben, mit Vorzeichen-Konvention „zufließende Ströme positiv, abfließende negativ“:

Beide Schreibweisen meinen dasselbe. In der Praxis ist die zweite Form bequemer, weil man dann nicht zwischen „zu“ und „ab“ trennen muss – das Vorzeichen erledigt das.

Zur Anschauung ein einfacher Fall: An einem Knoten kommen zwei Ströme an und einer geht weg.

Mit der Knotenregel gilt: I_1 + I_2 = I_3, also 5 A + 3 A = 8 A. Es kann gar nicht anders sein – sonst würde sich am Knoten Ladung „stauen“.

Die Maschenregel ergibt sich aus die Energieerhaltung. Wenn man einmal um eine geschlossene Masche herumgeht und am Startpunkt wieder ankommt, muss sich das Potential dort wieder auf den Ausgangswert eingependelt haben. Anders gesagt: Alles, was in der Schleife an Spannung „aufgebracht“ wird (von Quellen), muss als Spannungsabfall an den Verbrauchern wieder „verbraucht“ werden.

Oder als getrennte Quellen- und Verbraucher-Summen:

Beide Formulierungen sind gleichwertig.

Umlaufsinn und Zählpfeile

Damit die Summe stimmt, muss man Vorzeichen sauber setzen. Das ist der häufigste Fehler im Umgang mit der Maschenregel. Das Vorgehen ist immer dasselbe:

• Umlaufrichtung festlegen – Uhrzeigersinn oder gegen den Uhrzeigersinn. Die Wahl ist frei, das Ergebnis ist in beiden Fällen identisch.
• Zählpfeile setzen – Jeder Spannung wird ein Pfeil zugeordnet. Bei Quellen zeigt der Pfeil außerhalb der Quelle vom „−“ zum „+“. Bei Widerständen zeigt der Pfeil in Richtung des angenommenen Stromflusses (von „+“ zu „−“ am Widerstand).
• Vorzeichen in der Summe: Zeigt der Zählpfeil in dieselbe Richtung wie der Umlaufsinn → die Spannung geht positiv in die Summe. Zeigt er entgegen → negativ.

Klingt mechanisch, ist aber nach ein paar Beispielen Routine. Eine einfache Reihen-Masche mit Quelle und zwei Widerständen sieht so aus:

Umlauf im Uhrzeigersinn gewählt, Strom fließt vom + der Quelle über R_1 und R_2 zurück zum −. Die Spannungspfeile U_R1 und U_R2 zeigen jeweils in Stromrichtung. Beim Aufsummieren entlang des Umlaufs:

• Bei U_q geht der Umlauf innerhalb der Quelle von − nach + – also in Pfeilrichtung der Quelle: +U_q.
• U_R1 und U_R2 zeigen in Umlaufrichtung: −U_R1 und −U_R2 (Spannungsabfall, daher negativ in der Bilanz – Energie wird „verbraucht“).

U_q − U_R1 − U_R2 = 0

U_q = U_R1 + U_R2

Das ist genau das, was man intuitiv erwartet: Die Quellenspannung verteilt sich auf die beiden Widerstände.

Hätte man den Umlauf gegen den Uhrzeigersinn gewählt, würden alle Vorzeichen kippen – die Gleichung wäre dann −U_q + U_R1 + U_R2 = 0, was nach Multiplikation mit −1 dasselbe ergibt. Die Wahl der Umlaufrichtung ändert nichts am Ergebnis.

In einer Schaltung mit mehreren Quellen oder einer komplexen Verzweigung reicht eine Regel nicht. Knoten- und Maschenregel müssen kombiniert werden, und das Ergebnis ist ein lineares Gleichungssystem.

Die Berechnung von reinen Reihen- oder Parallelschaltungen oder gemischten passiven Netzwerken aus Widerständen wird in eigenen Beiträgen behandelt. Hier geht es um den Fall, der ohne Kirchhoff nicht lösbar ist: mehrere Quellen oder eine Topologie, die sich nicht in Reihen- und Parallel-Blöcke zerlegen lässt.

Wie viele Gleichungen brauche ich?

Eine sauber aufgestellte Analyse braucht genau so viele unabhängige Gleichungen wie unbekannte Zweigströme. Bei n Zweigen ergeben sich n Unbekannte. Die Aufteilung ist:

• Knotengleichungen: k − 1
• Maschengleichungen: n − (k − 1) = n − k + 1
• Summe: n Gleichungen für n Unbekannte

n … Anzahl der Zweige
k … Anzahl der Knoten

Warum nicht k Knotengleichungen? Weil eine davon immer linear abhängig von den anderen ist – sie ergibt sich automatisch aus die Summe der übrigen. Das ist eine direkte Folge der Ladungserhaltung: Wenn an k − 1 Knoten die Bilanz stimmt, stimmt sie am letzten Knoten zwangsläufig auch.

Bei den Maschen wählt man die einfachsten unabhängigen – meist die „Fenstermaschen“, also die kleinsten geschlossenen Umläufe, die sich beim Zeichnen ergeben.

Vorgehen Schritt für Schritt

1. Stromrichtungen in jedem Zweig annehmen (Richtung egal – ein negatives Ergebnis zeigt einfach, dass der Strom tatsächlich umgekehrt fließt).
2. Knoten und Zweige zählen. k − 1 Knotengleichungen und n − k + 1 Maschengleichungen aufstellen.
3. Mit dem Ohmschen Gesetz U_R = I·R die Spannungen über den Widerständen ausdrücken.
4. Das Gleichungssystem nach den Strömen auflösen – per Einsetzungs-, Additionsverfahren oder Cramerscher Regel.

Beispiel: Vermaschtes Netz mit zwei Quellen

Die Schaltung hat 2 Knoten (A und B) und 3 Zweige (links: U_1 + R_1, Mitte: R_3, rechts: U_2 + R_2). Daraus folgt: 1 Knotengleichung, 2 Maschengleichungen – passt zu 3 Unbekannten (I_1, I_2, I_3).
Konkrete Werte: U_1 = 12 V, U_2 = 8 V, R_1 = 3 Ω, R_2 = 2 Ω, R_3 = 2 Ω.

Knotengleichung (Knoten A, „zufließend = abfließend“):

I_1 + I_2 = I_3

Maschengleichung M_1 (Umlauf im Uhrzeigersinn durch U_1, R_1, R_3):

U_1 = I_1·R_1 + I_3·R_3
12 = 3·I_1 + 2·I_3

Maschengleichung M_2 (Umlauf gegen den Uhrzeigersinn durch U_2, R_2, R_3):

U_2 = I_2·R_2 + I_3·R_3
8 = 2·I_2 + 2·I_3

I_3 aus die Knotengleichung in M_1 und M_2 einsetzen:

12 = 3·I_1 + 2·(I_1 + I_2) = 5·I_1 + 2·I_2 (A)
8 = 2·I_2 + 2·(I_1 + I_2) = 2·I_1 + 4·I_2 (B)

Gleichung (A) mit 2 multiplizieren und (B) abziehen:

(2·A): 10·I_1 + 4·I_2 = 24
(B): 2·I_1 + 4·I_2 = 8
——————————
8·I_1 = 16 → I_1 = 2 A

Einsetzen in (A): 5·2 + 2·I_2 = 12 → I_2 = 1 A.

Knotenregel: I_3 = I_1 + I_2 = 3 A.

Probe an M_2: 2·1 + 2·3 = 8 V ✓. Werte stimmen.