Selbstinduktion und Energiespeicherung

Eine Spule ist im einfachsten Fall nur ein aufgewickelter Draht. Fließt Strom hindurch, baut sich rund um die Wicklung ein Magnetfeld auf. So weit nichts Neues. Spannend wird es, wenn sich dieser Strom ändert.

Ändert sich the Strom, ändert sich auch das Magnetfeld der Spule. Und ein sich änderndes Magnetfeld erzeugt in jeder Leiterschleife, die es durchsetzt, eine Spannung – das ist das Grundprinzip der elektromagnetischen Induktion. Der Clou bei der Spule: Das eigene Magnetfeld durchsetzt die eigenen Windungen. Die Spule induziert also eine Spannung in sich selbst. Genau das meint der Begriff Selbstinduktion.

Die entscheidende Frage ist die Richtung dieser Spannung. Hier hilft die Lenzsche Regel: Die induzierte Spannung wirkt immer so, dass sie ihrer Ursache entgegenwirkt. Bei der Spule heißt das konkret:

• Steigt der Strom, baut die Selbstinduktion eine Spannung auf, die den Stromanstieg bremst.
• Sinkt der Strom, baut die Selbstinduktion eine Spannung auf, die den Strom aufrechtzuerhalten versucht.

Die Spule wirkt also wie eine Art elektrischer Trägheit. So wie eine schwere Masse nicht ruckartig beschleunigt werden kann, lässt sich der Strom durch eine Spule nicht ruckartig ändern. Die dabei in der Spule entstehende Spannung nennt man Selbstinduktionsspannung oder, weil sie der Ursache entgegenwirkt, oft auch Gegenspannung.

Wie groß diese Spannung ist, hängt von zwei Dingen ab: von der Induktivität der Spule und davon, wie schnell sich der Strom ändert.

Der Ausdruck di/dt ist nichts Mysteriöses: Er steht für die Geschwindigkeit der Stromänderung. Ändert sich der Strom um 2 Ampere innerhalb von 1 Millisekunde, ist di/dt gleich 2 A geteilt durch 0,001 s, also 2000 A/s. Je steiler die Stromänderung, desto höher die induzierte Spannung. Das Minuszeichen, das in der Physik oft vor dieser Formel steht, drückt nur die entgegenwirkende Richtung nach der Lenzschen Regel aus – für die Berechnung des Betrags lassen wir es hier weg.

Wichtig ist die Konsequenz: Bei konstantem Strom (di/dt = 0) ist die Selbstinduktionsspannung null. Eine Spule „merkt“ nur Änderungen. Im stationären Zustand, wenn sich nichts mehr ändert, verhält sie sich für den Gleichstrom wie ein simpler Draht mit seinem ohmschen Wicklungswiderstand.

Im ersten Kapitel ist der Begriff Induktivität schon aufgetaucht. Sie ist die Kenngröße, die beschreibt, wie stark eine bestimmte Spule auf Stromänderungen reagiert. Das Formelzeichen ist L, die Einheit das Henry mit dem Kurzzeichen H.

Anschaulich ist die Induktivität das Maß für die elektrische „Trägheit“ der Spule. Eine Spule mit großer Induktivität erzeugt schon bei mäßiger Stromänderung eine hohe Gegenspannung und bremst Stromänderungen entsprechend stark. Eine Spule mit kleiner Induktivität lässt Stromänderungen leichter zu.

Eine Induktivität von einem Henry liegt vor, wenn eine Stromänderung von 1 Ampere pro Sekunde eine Selbstinduktionsspannung von 1 Volt erzeugt. Ein Henry ist in der Praxis ein großer Wert. Übliche Bauteile liegen weit darunter:

Wovon die Induktivität abhängt, wird im Beitrag zum Aufbau der Spule ausführlich behandelt. Kurz zusammengefasst: Sie wächst mit dem Quadrat der Windungszahl, mit dem Spulenquerschnitt und ganz besonders mit der Permeabilität des Kernmaterials – also damit, wie gut der Kern das Magnetfeld führt. Ein Eisenkern kann die Induktivität gegenüber einer Luftspule um das Tausendfache erhöhen. Mit der Spulenlänge nimmt die Induktivität dagegen ab.

Für die Berechnung der Selbstinduktionsspannung in der Praxis brauchen wir meist nur die Formel aus Kapitel 1. Statt mit den infinitesimalen Größen di und dt rechnet man dabei oft mit endlichen Änderungen: der Stromänderung ΔI über die Zeitspanne Δt.

Das ist dieselbe Formel, nur mit gemittelten Werten – praktisch immer dann, wenn der Strom sich gleichmäßig ändert oder man mit dem Durchschnitt arbeiten will.

Bisher haben wir die Spule für sich betrachtet. In einer echten Schaltung liegt sie immer mit einem ohmschen Widerstand in Reihe – mindestens mit dem Widerstand ihrer eigenen Wicklung, oft zusätzlich mit dem angeschlossenen Verbraucher. Diese Kombination aus Induktivität und Widerstand bestimmt, wie sich der Strom über die Zeit verhält.

Einschalten: Im Moment des Einschaltens wirkt die Selbstinduktionsspannung dem Stromanstieg maximal entgegen. Der Strom kann deshalb nicht sofort seinen Endwert annehmen, sondern steigt von null aus allmählich an. Anfangs steil, dann immer flacher, bis er sich seinem Endwert I = U / R annähert. Der Verlauf ist exponentiell.

Ausschalten: Beim Trennen versucht die Spule, ihren Strom aufrechtzuerhalten. Steht ein Entladeweg zur Verfügung, klingt der Strom exponentiell ab. Ein solcher Entladeweg ist ein geschlossener Parallelkreis, über den der Spulenstrom weiterfließen kann, auch nachdem die Quelle abgetrennt ist – bei einer einfachen Spule mit Reihenwiderstand muss dieser Weg also erst geschaffen werden (siehe Freilaufdiode weiter unten). Wird der Stromkreis dagegen hart aufgetrennt, ohne dass ein solcher Parallelkreis existiert, entsteht das eingangs erwähnte Problem.

Wie schnell diese Vorgänge ablaufen, beschreibt die Zeitkonstante τ (Tau):

Die Zeitkonstante ist eine anschauliche Größe: Nach einer Zeitkonstante hat der Strom beim Einschalten rund 63 % seines Endwerts erreicht. Nach etwa pfünf Zeitkonstanten gilt der Vorgang praktisch als abgeschlossen – der Strom hat dann über 99 % erreicht. Eine große Induktivität oder ein kleiner Widerstand machen τ groß und den Vorgang langsam.

Der zeitliche Stromverlauf beim Einschalten lässt sich mit der Exponentialfunktion exakt beschreiben:

Die folgende Skizze zeigt beide Vorgänge: den Stromanstieg beim Einschalten und das Abklingen beim Ausschalten über einen Entladeweg.

Abschaltüberspannung: Trennt ein Schalter den Stromkreis hart, gibt es für den Spulenstrom keinen Weg mehr. Die Spule zwingt den Strom dennoch weiter, indem sie eine sehr hohe Spannung aufbaut – di/dt wird durch das schlagartige Abschalten extrem groß, und nach u_L = L · (di/dt) wird die induzierte Spannung entsprechend hoch. Diese Spannung sucht sich einen Weg und überbrückt die sich öffnenden Schaltkontakte: Es entsteht ein Lichtbogen, ein Funke. Der ist nicht nur ein optisches Phänomen – er verschleißt die Kontakte und stört empfindliche Elektronik durch Spannungsspitzen.

Jetzt lässt sich die letzte offene Frage klären: Woher kommt eigentlich die Energie für die Überspannung beim Abschalten? Die Antwort: aus dem Magnetfeld der Spule. Solange Strom fließt, steckt im Magnetfeld Energie. Wird der Strom unterbrochen, muss diese Energie irgendwohin – im ungünstigen Fall in den Lichtbogen am Schaltkontakt.

Eine Spule ist damit ein Energiespeicher, genau wie der Kondensator. Nur speichert der Kondensator seine Energie im elektrischen Feld zwischen seinen Platten, die Spule dagegen im Magnetfeld um ihre Wicklung. Wie viel Energie eine Spule speichert, hängt von ihrer Induktivität und vom Quadrat des Stroms ab:

Das Quadrat ist entscheidend: Verdoppelt man den Strom, vervierfacht sich die gespeicherte Energie. Eine Spule mit hohem Betriebsstrom speichert also überproportional viel Energie – und gibt beim Abschalten entsprechend viel frei.

Der Vergleich zum Kondensator macht die Symmetrie sichtbar. Beide Formeln sind parallel gebaut:

Beim Kondensator is die Spannung die träge Größe, die sich nicht sprunghaft ändern kann; bei der Spule ist es der Strom. Diese Spiegelbildlichkeit zieht sich durch die ganze Elektrotechnik.