Die Kirchhoffschen Regeln
Zwei Sätze. Kein Wenn und Aber. Mit Knotenregel und Maschenregel lässt sich jede beliebige elektrische Schaltung vollständig berechnen – egal wie komplex.
Gustav Robert Kirchhoff, 1824 – 1887
Der deutsche Physiker Kirchhoff formulierte seine beiden Gesetze für elektrische Netzwerke im Jahr 1845 – damals war er gerade 21 Jahre alt, Student in Königsberg. Was er aufschrieb, klingt simpel: Ströme müssen sich aufteilen und wieder zusammenfinden, Spannungen in einem Kreis müssen sich aufheben. Dahinter stecken zwei Erhaltungssätze der Physik: die Ladungserhaltung (Knotenregel) und die Energieerhaltung (Maschenregel). Bis heute sind die Kirchhoffschen Regeln die Grundlage jeder Schaltungsberechnung.
Was reinkommt, muss raus. Die Summe aller Ströme an einem Knoten ist null.
2. Kirchhoffsche Regel MaschenregelWas eine Quelle liefert, verbrauchen die Widerstände. Die Summe aller Spannungen in einer Masche ist null.
Was ist ein Knoten – und was gilt dort unbedingt für den Strom?
Ein Knoten ist jeder Punkt in einer Schaltung, an dem sich mindestens drei Leitungsäste treffen. Stellen Sie sich eine Kreuzung vor: Autos kommen aus verschiedenen Richtungen, biegen ab, fahren weiter. Was insgesamt an Autos hineinkommt, kommt auch wieder heraus – kein Auto verschwindet, keines entsteht neu.
Genauso verhält es sich mit elektrischem Strom: Elektronen, die in einen Knoten hineinströmen, müssen ihn auch wieder verlassen. Sie können im Knoten weder gespeichert noch vernichtet werden. Das ist die Ladungserhaltung in der Praxis.
Die Summe aller Ströme, die in einen Knoten hineinfließen, ist gleich der Summe aller Ströme, die aus dem Knoten herausfließen.
Oder gleichwertig: Die Summe aller Ströme an einem Knoten (mit Vorzeichen) ist null.
Knotenregel – Mathematisch
ΣI_ein = ΣI_aus I₁ = I₂ + I₃ (Beispiel: 1 Eingang, 2 Ausgänge) Allgemein: ΣI = 0 (zufließend +, abfließend −)- I_ein
- = Summe aller in den Knoten hineinfließenden Ströme [A]
- I_aus
- = Summe aller aus dem Knoten herausfließenden Ströme [A]
Vorzeichen-Konvention
Damit das Aufstellen von Gleichungen eindeutig ist, legt man eine Vorzeichenregel fest. Die häufigste: Zufließende Ströme zählen positiv, abfließende negativ. Dann gilt: Σ I = 0. Welche Richtung man als „zufließend“ wählt, ist egal – am Ende kommt dasselbe Ergebnis heraus. Ist ein Strom unbekannt und ergibt die Rechnung einen negativen Wert, fließt er in die entgegengesetzte Richtung zur angenommenen.
„An einem Knoten mit zwei Eingängen und einem Ausgang könnte ich Strom sparen.“ – Nein. Die Knotenregel ist kein technischer Trick, sondern Physik. Ladung kann in einem Knoten weder entstehen noch verschwinden. Was reinkommt, muss raus. Ausnahmen existieren nicht.
Stellen Sie I₁ und I₂ ein – der unbekannte Strom I₃ wird automatisch berechnet.
An einer Klemmleiste kommen aus einer Hauptleitung 12 A an. Über Klemme A werden 4 A abgezweigt, über Klemme B weitere 5 A.
Knotenregel: I_Haupt = I_A + I_B + I_Rest
12 A = 4 A + 5 A + I_Rest → I_Rest = 3 A
Über die restlichen Klemmen fließen also noch 3 A weiter.
Was ist eine Masche – und warum heben sich alle Spannungen darin auf?
Eine Masche ist ein geschlossener Umlauf in einer elektrischen Schaltung – eine gedachte Schleife, die keinen Ast zweimal durchläuft. In jeder Masche gibt es Spannungsquellen (die Energie liefern) und Verbraucher (die Spannung abfallen lassen).
Das Prinzip dahinter ist die Energieerhaltung: Was eine Quelle an Energie gibt, nehmen die Widerstände auf. Die Spannung, die die Quelle bereitstellt, „verteilt“ sich auf die Verbraucher in der Masche. Wenn man um die Masche herumgeht und alle Spannungen aufaddiert (mit Vorzeichen), kommt null heraus.
In jeder geschlossenen Masche ist die Summe aller Spannungen (mit Vorzeichen) gleich null.
Oder: Die Summe der Quellenspannungen ist gleich der Summe aller Spannungsabfälle an den Widerständen.
Maschenregel – Mathematisch
ΣU = 0 (beim Umlauf durch eine Masche) U_Quelle = U_R1 + U_R2 + … + U_Rn U_Quelle = I · R1 + I · R2 + … + I · Rn- U_Quelle
- = Quellenspannung (Batterie, Netzteil) [V]
- U_R1…Rn
- = Spannungsabfall an jedem Widerstand [V]
- Vorzeichen
- : Spannung in Umlaufrichtung = positiv, entgegen = negativ
Wie wähle ich den Umlaufsinn?
Den Umlaufsinn (Uhrzeigersinn oder Gegenuhrzeigersinn) können Sie frei wählen. Dann gelten folgende Vorzeichen: Eine Spannung, die in Umlaufrichtung orientiert ist, zählt positiv. Entgegen der Umlaufrichtung zählt sie negativ. Ergibt eine Berechnung einen negativen Strom, fließt er entgegen der angenommenen Richtung – das ist kein Fehler, sondern das richtige Ergebnis.
Schaltung: Eine Quelle U₀, drei Widerstände R₁, R₂, R₃ in Reihe. Der Strom I und alle Spannungsabfälle werden live berechnet.
Stellen Sie sich vor, Sie wandern durch die Masche wie durch ein Gebirge. Bei der Quelle wandern Sie bergauf (Spannungsgewinn = positiv). Bei jedem Widerstand wandern Sie bergab (Spannungsabfall = negativ). Nach einem vollständigen Rundweg sind Sie wieder auf derselben Höhe – also: Aufstieg minus Abstieg = 0.
Knoten & Masche zusammen anwenden
In der Praxis hat fast jede reale Schaltung mehrere Maschen und mehrere Knoten. Man stellt so viele Gleichungen auf, wie es unbekannte Größen gibt – und löst das Gleichungssystem. Hier ein typisches Beispiel, das beide Regeln kombiniert.
Aufgabe: Gegeben: U₁ = 12 V, U₂ = 8 V, R₁ = 6 Ω, R₂ = 8 Ω, R₃ = 4 Ω. Gesucht: I₁, I₂, I₃.
Wie gehe ich systematisch vor?
I₁ + I₂ = I₃ → (I)
+U₁ − I₁·R₁ − I₃·R₃ = 0
12 − 6·I₁ − 4·I₃ = 0 → (II)
+U₂ − I₂·R₂ − I₃·R₃ = 0
8 − 8·I₂ − 4·I₃ = 0 → (III)
12 = 6·I₁ + 4·(I₁ + I₂) = 10·I₁ + 4·I₂ (IIa)
8 = 8·I₂ + 4·(I₁ + I₂) = 4·I₁ + 12·I₂ (IIIa)
Aus (IIa): I₁ = (12 − 4·I₂) / 10 einsetzen in (IIIa):
8 = 4·(12 − 4·I₂)/10 + 12·I₂ = 4,8 − 1,6·I₂ + 12·I₂
3,2 = 10,4·I₂ → I₂ = 3,2 / 10,4 ≈ 0,308 A
I₂ ≈ 0,308 A
I₁ = (12 − 4·0,308) / 10 = (12 − 1,231) / 10 ≈ 1,077 A
I₃ = I₁ + I₂ ≈ 1,077 + 0,308 ≈ 1,385 A
12 − 6·1,077 − 4·1,385 = 12 − 6,46 − 5,54 = 0 ✓
1. Schaltung zeichnen, Knoten und Maschen identifizieren.
2. Unbekannte einzeichnen mit angenommener Richtung (Pfeil).
3. Knotengleichungen aufstellen (Anzahl Knoten − 1).
4. Maschengleichungen aufstellen (so viele wie nötig).
5. Gleichungssystem lösen. Negative Ergebnisse = Strom/Spannung entgegen der Annahme.
Rechentest
Rechnen statt Ankreuzen
Hier müssen Sie tatsächlich rechnen und das Ergebnis eingeben. Toleranz: ± 5 % vom richtigen Wert.
An einem Knoten fließen I₁ = 3,5 A und I₂ = 1,8 A hinein. I₃ fließt heraus. Wie groß ist I₃?
In einer Masche liegen in Reihe: U₀ = 24 V, R₁ = 4 Ω, R₂ = 6 Ω, R₃ = 2 Ω. Wie groß ist der Strom I?
Durch eine Reihenschaltung fließen 0,5 A. Es liegen R₁ = 10 Ω und R₂ = 30 Ω in Serie. Wie groß ist die Quellenspannung U₀?
Am Knoten K kommen I₁ = 2 A und I₂ = 1 A an. I₃ fließt durch R₃ = 5 Ω weiter. Wie groß ist der Spannungsabfall U_R3 an R₃?
Fragen bei mündlicher Prüfung
01Was besagt die Kirchhoffsche Knotenregel?▶
Die Summe aller in einen Knoten hineinfließenden Ströme ist gleich der Summe aller herausfließenden Ströme: ΣI_ein = ΣI_aus. Oder gleichwertig: Die Summe aller Ströme (mit Vorzeichen) an einem Knoten ist null: ΣI = 0. Physikalischer Hintergrund: Elektrische Ladung kann in einem Knotenpunkt weder erzeugt noch vernichtet werden (Ladungserhaltungssatz).
02Was besagt die Kirchhoffsche Maschenregel?▶
In jeder geschlossenen Masche ist die Summe aller Spannungen (mit Vorzeichen) gleich null: ΣU = 0. Gleichbedeutend: Die Quellenspannung ist gleich der Summe aller Spannungsabfälle an den Verbrauchern: U_Quelle = U_R1 + U_R2 + … Physikalischer Hintergrund: Energieerhaltung – eine Ladung, die eine Masche durchläuft, gewinnt und verliert insgesamt gleich viel Energie.
03Was ist ein Knoten, was eine Masche?▶
Knoten: Ein Punkt in einer Schaltung, an dem sich mindestens drei Leitungsäste treffen. An einem Knoten verzweigt sich der Strom. Ein Knotenpunkt zwischen nur zwei Leitern (keine Verzweigung) ist kein Knoten im Sinne der Kirchhoffschen Regeln.
Masche: Ein geschlossener Umlauf in einem Netzwerk, der keinen Leitungsast zweimal durchläuft. In jeder Masche kann man eine Maschengleichung aufstellen.
04Wie gehe ich vor, wenn ich eine unbekannte Stromrichtung annehmen muss?▶
Man zeichnet die angenommene Richtung ein und rechnet damit. Ergibt das Ergebnis einen positiven Wert, war die Annahme korrekt. Ergibt es einen negativen Wert, fließt der Strom genau entgegen der angenommenen Richtung – das Ergebnis ist trotzdem richtig. Man muss lediglich die Pfeilrichtung in der Zeichnung umkehren und den Betrag als korrekten Wert verwenden.
05Wie viele Knoten- und Maschengleichungen brauche ich für ein Netzwerk?▶
Für ein Netzwerk mit n Knoten und z Zweigen (unbekannten Strömen) braucht man:
(n − 1) unabhängige Knotengleichungen und (z − n + 1) unabhängige Maschengleichungen.
Zusammen ergibt das z Gleichungen für z Unbekannte – genau genug, um das System eindeutig zu lösen. Die letzte Knotengleichung ist immer von den anderen abhängig und liefert keine neue Information.
06Welche Erhaltungssätze stecken hinter den Kirchhoffschen Regeln?▶
Knotenregel → Ladungserhaltung: Elektrische Ladung kann weder entstehen noch verschwinden. Was in den Knoten hineinfließt, muss wieder herausfließen.
Maschenregel → Energieerhaltung: Eine Ladung, die einen vollständigen Umlauf durch eine Masche macht, gewinnt und verliert dabei insgesamt dieselbe Energie. Die Spannungsquellen liefern Energie, die Widerstände nehmen sie auf.
07Darf man in einer Masche den Umlaufsinn frei wählen?▶
Ja, absolut. Der Umlaufsinn (Uhrzeigersinn oder Gegenuhrzeigersinn) kann frei gewählt werden. Ändert man den Umlaufsinn, drehen sich alle Vorzeichen um – die resultierende Gleichung ist aber äquivalent (beide Seiten mal −1). Das Ergebnis (Strom, Spannung) ist dasselbe. Man sollte nur innerhalb einer Berechnung denselben Umlaufsinn beibehalten.
Formelsammlung
Knotenregel (1. Kirchhoff)
ΣI_ein = ΣI_aus ΣI = 0 I₁ = I₂ + I₃ + … + InMaschenregel (2. Kirchhoff)
ΣU = 0 U₀ = U_R1 + U_R2 + … + U_Rn U₀ = I·R₁ + I·R₂ + … + I·RnVorzeichen Knotenregel
Zufließend: positiv (+) Abfließend: negativ (−) Ergebnis < 0: Richtung umkehrenVorzeichen Maschenregel
In Umlaufrichtung: positiv (+) Gegen Umlaufrichtung: negativ (−) Umlaufsinn frei wählbarAnzahl Gleichungen
Knotengl.: (n − 1) Maschengl.: (z − n + 1)- n
- = Anzahl Knoten
- z
- = Anzahl Zweige (Unbekannte)
Physikalische Grundlagen
Knotenregel: Ladungserhaltung Maschenregel: Energieerhaltung Formuliert 1845 von G. R. KirchhoffGlossar
- Knoten Punkt in einem elektrischen Netzwerk, an dem sich mindestens drei Leitungsäste treffen. An einem Knoten verzweigt sich der Strom (Knotenregel).
- Masche Geschlossener Umlauf in einem elektrischen Netzwerk, der keinen Zweig zweimal durchläuft. In jeder Masche gilt die Maschenregel.
- Knotenregel (1. Kirchhoffsches Gesetz) Die Summe aller in einen Knoten fließenden Ströme ist gleich der Summe der abfließenden Ströme. Grundlage: Ladungserhaltung.
- Maschenregel (2. Kirchhoffsches Gesetz) Die Summe aller Spannungen (mit Vorzeichen) in einer geschlossenen Masche ist null. Grundlage: Energieerhaltung.
- Zweig Leitungsabschnitt zwischen zwei Knoten. Enthält genau einen Strom und beliebige Bauelemente (Widerstände, Quellen).
- Spannungsabfall (U_R) Spannung, die an einem Widerstand abfällt, wenn Strom fließt. U_R = I · R (Ohmsches Gesetz). Die Summe aller Spannungsabfälle in einer Masche ergibt die Quellenspannung.
- Umlaufsinn Die Richtung, in der man eine Masche gedanklich „durchläuft“, um die Maschengleichung aufzustellen. Kann frei gewählt werden; beeinflusst nur die Vorzeichen, nicht das Ergebnis.
- Ladungserhaltung Physikalischer Erhaltungssatz: Elektrische Ladung kann weder erzeugt noch vernichtet werden. Ergibt direkt die Knotenregel.
- Energieerhaltung Physikalischer Erhaltungssatz: Energie kann weder erzeugt noch vernichtet werden. Ergibt direkt die Maschenregel.
- Netzwerk / Netz Zusammengeschaltete Anordnung von Bauelementen (Widerstände, Quellen) mit mehreren Maschen und Knoten. Analyse mit Kirchhoffschen Regeln.
Stand: April 2025 | Die Kirchhoffschen Regeln sind seit 1845 unverändert gültig – keine Normreferenzen erforderlich.
Fachliche Grundlagen: G. R. Kirchhoff (1845): „Über den Durchgang eines elektrischen Stromes durch eine Ebene“.