Phasenverschiebung – Mechatronik Lernportal

Phasenverschiebung

Warum Strom und Spannung im Wechselstromkreis nicht immer gleichzeitig ihren Höchstwert erreichen – und welche Konsequenzen das für Motoren, Netzkosten und die gesamte Energietechnik hat. Dieses Kapitel ist ein Schlüssel zum Verständnis von Leistungsfaktor, Blindstromkompensation und der Auslegung elektrischer Anlagen.

Was ist eine Phasenverschiebung?

Im Gleichstromkreis gilt ein einfacher, zeitloser Zusammenhang: Steigt die Spannung, steigt der Strom sofort und proportional dazu. Im Wechselstromkreis ändert sich beides periodisch – und sobald reaktive Bauelemente wie Spulen oder Kondensatoren im Spiel sind, kommt es vor, dass Strom und Spannung ihre Maximalwerte nicht zur selben Zeit erreichen. Diesen zeitlichen Versatz nennt man Phasenverschiebung.

Der Phasenverschiebungswinkel wird mit dem griechischen Buchstaben φ (Phi) bezeichnet und in Grad (°) oder Bogenmaß (rad) angegeben. Das Konzept klingt abstrakt, hat aber sehr konkrete Folgen: Ein Motor mit großer Phasenverschiebung zieht mehr Strom aus dem Netz als nötig wäre, und dieser Mehraufwand muss von Leitungen, Sicherungen und Transformatoren mitgetragen werden – ohne dass dabei mehr Nutzleistung entsteht.

Analogie: Zwei Musiker spielen dasselbe Lied, einer startet jedoch eine halbe Sekunde später. Die Melodie ist identisch – sie sind aber zeitlich phasenverschoben. Genau so verhält sich der Strom zur Spannung in einem Schaltkreis mit Spule oder Kondensator: gleiche Frequenz, gleiche Form, aber versetzt in der Zeit.

Phasenverschiebung zwischen Spannung u(t) und Strom i(t) – animierte Darstellung

Sinusförmige Wechselgrößen mit Phasenverschiebung

u(t) = Û · sin(ω · t)

i(t) = Î · sin(ω · t − φ)

Û, Î: Scheitelwerte (Amplituden) von Spannung und Strom in V bzw. A
ω: Kreisfrequenz in rad/s; ω = 2π · f (bei 50 Hz: ω ≈ 314,16 rad/s)
φ: Phasenverschiebungswinkel; φ > 0° → induktiv (Spannung eilt vor); φ < 0° → kapazitiv (Strom eilt vor)
t: Zeit in Sekunden

Merksatz: φ gibt an, um wie viel der Strom gegenüber der Spannung zeitlich versetzt ist. Positive Werte bedeuten: Spannung eilt vor (induktiv, lagging). Negative Werte: Strom eilt vor (kapazitiv, leading). Bei φ = 0° sind beide exakt in Phase – das ist der Fall beim ohmschen Widerstand.

Phasenwinkel φ	Verhalten	Ursache
φ = 0°	kein Versatz – in Phase	ohmscher Widerstand R
0° < φ ≤ 90°	Spannung eilt vor (Strom nacheilt)	Induktivität L (Spule)
−90° ≤ φ < 0°	Strom eilt vor (Spannung nacheilt)	Kapazität C (Kondensator)

? Verständnisfrage: Was beschreibt der Phasenwinkel φ im Wechselstromkreis? ›

Den Maximalwert (Amplitude) der Spannung

Die Anzahl der Schwingungen pro Sekunde (Frequenz)

Den zeitlichen Versatz zwischen Strom und Spannung, ausgedrückt als Winkel

Den Widerstandswert der Last in Ohm

Wie bewirkt eine Induktivität eine Phasenverschiebung?

Eine Spule (Induktivität L) widersetzt sich jeder Änderung des durch sie fließenden Stroms – sie speichert Energie im Magnetfeld. Das Grundgesetz der Spule lautet: Die Spannung an der Spule ist proportional zur Änderungsrate des Stroms, nicht zu seinem Momentanwert. Wenn die Spannung ansteigt, kann der Strom also nicht sofort folgen; er baut sich erst allmählich auf, weil die Spule zunächst ein Gegenfeld aufbaut. Die unmittelbare Folge: Die Spannung eilt dem Strom vor.

Bei einer idealen Spule (ohne Wicklungswiderstand) beträgt dieser Voreilung exakt 90°. In der Praxis hat jede reale Spule immer auch einen Wicklungswiderstand, der diesen Winkel auf Werte zwischen 0° und 90° reduziert. Elektromotoren, Transformatoren und Drosselspulen sind typische induktive Lasten in der Mechatronik, bei denen Phasenverschiebungen zwischen 25° und 60° auftreten.

Physikalische Erklärung: Das Grundgesetz der Spule lautet u_L = L · di/dt. Die Spannung ist maximal, wenn der Strom sich am schnellsten ändert (= Nulldurchgang des Stroms). Wenn der Strom sein Maximum erreicht, ändert er sich nicht mehr (di/dt = 0), also ist die Spannung in diesem Moment gleich null. Daraus ergibt sich zwangsläufig: U eilt I um bis zu 90° vor.

RL-Schaltung – Schaltplan und Zeitverlauf: u(t) eilt i(t) vor

Induktiver Blindwiderstand – RL-Reihenschaltung

X_L = 2π · f · L

Z = √(R² + X_L²)

φ = arctan(X_L / R)

cos φ = R / Z

X_L [Ω]: Induktiver Blindwiderstand; steigt proportional mit Frequenz f und Induktivität L
L [H]: Induktivität in Henry; in der Praxis oft mH (Millihenry)
f [Hz]: Netzfrequenz in Österreich: 50 Hz
R [Ω]: Ohmscher Wirkwiderstand (z. B. Wicklungswiderstand der Spule)
Z [Ω]: Scheinwiderstand – geometrische Summe aus R und X_L

Reale vs. ideale Spule: φ = 90° gilt nur für die ideale, reine Induktivität (R = 0). Jede reale Spule besitzt einen Wicklungswiderstand, daher ist φ stets kleiner als 90°. Bei Elektromotoren liegt φ je nach Belastungszustand typisch zwischen 25° und 60°. Im Leerlauf (wenig Wirkleistung) ist φ besonders groß.

⚡ Rechner: RL-Reihenschaltung

Widerstand R100 Ω

Induktivität L100 mH

Frequenz f50 Hz

X_L = –

Z = –

φ = –

cos φ = –

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Beispiele & Rechenaufgaben 2 Beispiele · 5 Aufgaben ›

Beispiel 1

Spule mit L = 200 mH, Wicklungswiderstand R = 50 Ω, f = 50 Hz. Berechne X_L, Z und φ.

Lösung

X_L = 2π · 50 · 0,200 = 314,16 · 0,200 ≈ 62,83 Ω

Z = √(50² + 62,83²) = √(2.500 + 3.947,6) = √6.447,6 ≈ 80,3 Ω

φ = arctan(62,83 / 50) = arctan(1,257) ≈ 51,5°

X_L ≈ 62,83 Ω | Z ≈ 80,3 Ω | φ ≈ 51,5° (induktiv)

Beispiel 2

RL-Reihenschaltung (R = 100 Ω, L = 318 mH) an U = 230 V, f = 50 Hz. Berechne I, φ, U_R und U_L.

Lösung

X_L = 2π · 50 · 0,318 ≈ 100 Ω

Z = √(100² + 100²) = √20.000 ≈ 141,4 Ω

I = U / Z = 230 / 141,4 ≈ 1,63 A

U_R = I · R = 1,63 · 100 ≈ 163 V | U_L = I · X_L ≈ 163 V

φ = arctan(100/100) = 45° | Probe: √(163² + 163²) ≈ 230 V ✓

I ≈ 1,63 A | φ = 45° | U_R ≈ U_L ≈ 163 V

Aufgabe 1

Spule L = 50 mH, Wicklungswiderstand R = 20 Ω, f = 50 Hz. Berechne X_L, Z und φ.

Hinweis: X_L = 2π · f · L, dann Z = √(R² + X_L²), dann φ = arctan(X_L/R)

Lösung

X_L = 2π · 50 · 0,050 ≈ 15,71 Ω

Z = √(20² + 15,71²) = √(400 + 246,8) = √646,8 ≈ 25,4 Ω

φ = arctan(15,71 / 20) ≈ 38,1°

X_L ≈ 15,71 Ω | Z ≈ 25,4 Ω | φ ≈ 38,1°

Aufgabe 2

Bei welcher Frequenz ergibt sich bei L = 300 mH, R = 100 Ω genau φ = 45°?

Hinweis: Bei φ = 45° gilt arctan(X_L/R) = 45° → X_L = R. Formel X_L = 2π·f·L nach f umstellen.

Lösung

Bedingung: X_L = R = 100 Ω → 2π · f · 0,300 = 100

f = 100 / (2π · 0,300) = 100 / 1,885 ≈ 53,1 Hz

f ≈ 53,1 Hz

Aufgabe 3

Motor: R = 5 Ω, X_L = 8,66 Ω. Berechne φ, Z und cos φ.

Hinweis: φ = arctan(X_L/R), Z = √(R² + X_L²), cos φ = R/Z

Lösung

φ = arctan(8,66 / 5) ≈ 60°

Z = √(5² + 8,66²) = √(25 + 75) = √100 = 10 Ω

cos φ = R / Z = 5 / 10 = 0,5 → Blindstromkompensation empfohlen!

φ = 60° | Z = 10 Ω | cos φ = 0,5

Aufgabe 4

Eine Spule hat bei 50 Hz den Blindwiderstand X_L = 157 Ω. Wie groß ist L?

Hinweis: X_L = 2π·f·L nach L umformen: L = X_L / (2π·f)

Lösung

L = X_L / (2π · f) = 157 / (2π · 50) = 157 / 314,16 ≈ 0,5 H

L = 500 mH

Aufgabe 5

Ideale Spule (R = 0 Ω), L = 100 mH, f = 50 Hz. Welcher Phasenwinkel φ ergibt sich?

Hinweis: Was passiert mit arctan(X_L/R), wenn R = 0?

Lösung

X_L = 2π · 50 · 0,1 ≈ 31,42 Ω

φ = arctan(31,42 / 0) = arctan(∞) = 90°

φ = 90° – ideale Spule hat maximale Phasenverschiebung

? Verständnisfrage: Um wie viel Grad eilt bei einer idealen Spule (R = 0) die Spannung dem Strom vor? ›

45°

90°

180°

0°

Wie bewirkt eine Kapazität eine Phasenverschiebung?

Ein Kondensator (Kapazität C) arbeitet nach dem entgegengesetzten Prinzip zur Spule: Er speichert elektrische Ladung und widersetzt sich jeder Änderung der Spannung. Der Strom fließt am stärksten, wenn sich die Spannung am schnellsten ändert – also genau beim Nulldurchgang der Spannung. Wenn die Spannung ihr Maximum erreicht, hört der Ladestrom auf. Deshalb eilt der Strom der Spannung vor – das genaue Gegenteil zur Induktivität.

Dieses gegensätzliche Verhalten ist kein Zufall, sondern eine unmittelbare Konsequenz der Grundgesetze. Beim Kondensator gilt i_C = C · du/dt – der Strom ist proportional zur Änderungsrate der Spannung, nicht zur Spannung selbst. Das schafft eine feste 90°-Phasenbeziehung (bei der idealen Kapazität ohne ohmschen Anteil). In der Praxis haben echte Kondensatoren einen sehr kleinen Verlustwiderstand (ESR), der den Winkel minimal verkleinert – im Gegensatz zur Spule, wo der Wicklungswiderstand erheblich sein kann.

Physikalische Erklärung: Das Grundgesetz des Kondensators lautet i_C = C · du/dt. Spannung maximal → keine Spannungsänderung → Strom = 0. Spannung im Nulldurchgang → maximale Änderungsrate → Strom maximal. Daraus folgt: Strom eilt Spannung um bis zu 90° vor (bei idealer Kapazität mit ESR = 0).

RC-Schaltung – Schaltplan und Zeitverlauf: i(t) eilt u(t) vor

Kapazitiver Blindwiderstand – RC-Reihenschaltung

X_C = 1 / (2π · f · C)

Z = √(R² + X_C²)

φ = −arctan(X_C / R) [negatives Vorzeichen = kapazitiv]

cos φ = R / Z

X_C [Ω]: Kapazitiver Blindwiderstand; sinkt mit steigender Frequenz (umgekehrt zu X_L)
C [F]: Kapazität in Farad; in der Praxis meist µF (Mikrofarad) oder nF (Nanofarad)
ESR: Equivalent Series Resistance – realer Verlustwiderstand des Kondensators (meist klein)

Frequenzverhalten X_L vs. X_C im Vergleich: X_L = 2π·f·L steigt mit der Frequenz (Spule sperrt hohe Frequenzen). X_C = 1/(2π·f·C) sinkt mit der Frequenz (Kondensator leitet hohe Frequenzen). Diese entgegengesetzte Charakteristik ist die Grundlage für Filterkreise, Schwingkreise und Blindstromkompensation.

⚡ Rechner: RC-Reihenschaltung

Widerstand R100 Ω

Kapazität C47 µF

Frequenz f50 Hz

X_C = –

Z = –

φ = –

cos φ = –

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Beispiele & Rechenaufgaben 2 Beispiele · 5 Aufgaben ›

Beispiel 1

C = 100 µF, R = 30 Ω, f = 50 Hz. Berechne X_C, Z und φ.

Lösung

X_C = 1 / (2π · 50 · 100·10⁻⁶) = 1 / 0,03142 ≈ 31,83 Ω

Z = √(30² + 31,83²) = √(900 + 1.013,1) = √1.913,1 ≈ 43,7 Ω

φ = −arctan(31,83 / 30) = −arctan(1,061) ≈ −46,7°

X_C ≈ 31,83 Ω | Z ≈ 43,7 Ω | φ ≈ −46,7° (kapazitiv)

Beispiel 2

C = 470 µF bei f = 50 Hz. Wie groß ist X_C?

Lösung

X_C = 1 / (2π · 50 · 470·10⁻⁶) = 1 / 0,14765 ≈ 6,77 Ω

X_C ≈ 6,77 Ω. Große Kapazität → kleiner Blindwiderstand → gut leitend.

Aufgabe 1

C = 10 µF, R = 200 Ω, f = 50 Hz. Berechne X_C und φ.

Hinweis: X_C = 1/(2π·f·C), dann φ = −arctan(X_C/R)

Lösung

X_C = 1 / (2π · 50 · 10·10⁻⁶) ≈ 318,3 Ω

φ = −arctan(318,3 / 200) ≈ −57,9°

X_C ≈ 318,3 Ω | φ ≈ −57,9°

Aufgabe 2

Welche Kapazität C ergibt bei f = 50 Hz, R = 100 Ω genau φ = −45°?

Hinweis: Bei −45° gilt X_C = R = 100 Ω. X_C = 1/(2π·f·C) nach C umstellen.

Lösung

Bedingung: X_C = 100 Ω → C = 1 / (2π · 50 · 100) ≈ 31,83 µF

C ≈ 31,83 µF

Aufgabe 3

C = 220 µF, R = 50 Ω, f = 50 Hz, U = 230 V. Berechne I, φ und U_C.

Hinweis: X_C, dann Z = √(R²+X_C²), I = U/Z, U_C = I·X_C

Lösung

X_C = 1/(2π·50·220·10⁻⁶) ≈ 14,47 Ω | Z = √(50²+14,47²) ≈ 52,07 Ω

I = 230 / 52,07 ≈ 4,42 A | U_C = 4,42 · 14,47 ≈ 64 V | φ ≈ −16,1°

I ≈ 4,42 A | φ ≈ −16,1° | U_C ≈ 64 V

Aufgabe 4

Wie verändert sich X_C, wenn die Frequenz von 50 Hz auf 100 Hz verdoppelt wird? (C = 100 µF)

Hinweis: X_C = 1/(2π·f·C) für beide Frequenzen berechnen und vergleichen.

Lösung

Bei 50 Hz: X_C = 1/(2π·50·100·10⁻⁶) ≈ 31,83 Ω

Bei 100 Hz: X_C = 1/(2π·100·100·10⁻⁶) ≈ 15,92 Ω

Fazit: Verdopplung der Frequenz halbiert X_C – umgekehrt proportional!

X_C halbiert sich: 31,83 Ω → 15,92 Ω

Aufgabe 5

Ein Kondensator hat bei 50 Hz X_C = 63,7 Ω. Wie groß ist C?

Hinweis: X_C = 1/(2π·f·C) nach C umformen: C = 1/(2π·f·X_C)

Lösung

C = 1 / (2π · 50 · 63,7) = 1 / 20.013 ≈ 50·10⁻⁶ F

C = 50 µF

? Verständnisfrage: Was passiert mit X_C, wenn die Frequenz steigt? ›

X_C steigt

X_C sinkt

X_C bleibt konstant

X_C wird negativ

Was bedeuten „voreilend“ und „nacheilend“?

Die Begriffe voreilend (englisch: leading) und nacheilend (englisch: lagging) beschreiben immer die Phasenlage des Stroms gegenüber der Spannung. Die Spannung dient dabei als Referenz (= 0°). Diese Konvention ist international einheitlich und wichtig für das Verständnis von Datenblättern und Messwerten.

Der Begriff „Strom nacheilt“ klingt zunächst merkwürdig – doch er beschreibt genau, was passiert: Der Strom folgt der Spannung zeitlich hinterher. Bei einer induktiven Last (Spule, Motor) steigt die Spannung zuerst an, und der Strom kommt mit Verzögerung nach. Bei einer kapazitiven Last (Kondensator) ist es umgekehrt: Der Strom reagiert sofort auf die Spannungsänderung und eilt der Spannung sogar voraus.

Begriff	Vorzeichen φ	Ursache	Englisch
Strom nacheilend	φ > 0° (induktiv)	Spule L	lagging
Strom voreilend	φ < 0° (kapazitiv)	Kondensator C	leading
Kein Versatz	φ = 0°	ohmscher Widerstand R	in phase

Merkhilfe „ELI the ICE man“ (international gebräuchlich):
E·L·I → Bei der Spule (L) eilt die Spannung (E = elektr. EMK/Spannung) dem Strom (I) vor → Strom nacheilt (induktiv)
I·C·E → Beim Kondensator (C) eilt der Strom (I) der Spannung (E) vor → Strom voreilt (kapazitiv)
Kurzformel: Spule → erst Spannung, dann Strom. Kondensator → erst Strom, dann Spannung.

Vorzeichenkonvention beachten: Nach europäischer Konvention (ÖVE/ÖNORM, IEC) ist φ der Winkel des Stroms gegenüber der Spannung. In manchen angloamerikanischen Quellen wird φ umgekehrt definiert (Spannung gegenüber Strom) – was das Vorzeichen umdreht. Bei der Auswertung von Datenblättern oder Messwerten stets die verwendete Konvention prüfen!

Interaktiv: Phasenlage bei verschiedenen Lasten – Schaltfläche wählen

Schaltfläche wählen, um die Phasenlage anzuzeigen.

? Verständnisfrage: Der Strom eilt der Spannung nach (φ > 0°) – was ist die Ursache? ›

Ohmscher Widerstand

Kapazität (Kondensator)

Netzfrequenz 50 Hz

Wie stellt man Phasenverschiebung im Zeigerdiagramm dar?

Das Zeigerdiagramm (auch Phasordiagramm genannt) ist eine elegante grafische Methode, um Phasenbeziehungen kompakt und übersichtlich darzustellen. Statt den zeitlichen Verlauf als Sinuswelle über eine ganze Periode zu zeichnen, verwendet man rotierende Zeiger (Phasoren) in der komplexen Zahlenebene. Jeder Zeiger repräsentiert eine Wechselgröße mit ihrer Amplitude und ihrer Phasenlage.

Das Zeigerdiagramm hat einen entscheidenden Vorteil: Spannungen und Ströme, die in einem Netzwerk addiert werden müssen, lassen sich grafisch als Vektoraddition darstellen. Bei reinen Sinusgrößen gleicher Frequenz ist die zeitaufwändige Integration durch eine einfache Winkelrechnung ersetzt. Das macht das Zeigerdiagramm zum wichtigsten Werkzeug der Wechselstromtechnik – von der schnellen Handskizze bis zur computergestützten Analyse.

Funktionsprinzip: Jede sinusförmige Wechselgröße wird als Zeiger (Pfeil) dargestellt. Der Betrag entspricht dem Scheitelwert oder Effektivwert. Der Winkel zur positiven Realachse gibt die Phasenlage an. Im eingeschwungenen Zustand rotieren alle Zeiger mit ω – man „friert“ einen beliebigen Zeitpunkt ein und betrachtet nur die Winkelunterschiede zwischen den Zeigern.

Animiertes Zeigerdiagramm – Phasenwinkel φ mit Schieberegler einstellbar

Spannung U Strom I Phasenwinkel φ: +45°

Impedanz in komplexer Schreibweise

Z_RL = R + j · X_L (induktiv, φ > 0°)

Z_RC = R − j · X_C (kapazitiv, φ < 0°)

|Z| = √(R² + X²)

j: Imaginäre Einheit (j² = −1); in der Elektrotechnik statt i (Verwechslungsgefahr mit Strom)
Realteil R: waagrechte Achse im Zeigerdiagramm (in Phase mit dem Strom)
+j·X_L: senkrecht nach oben (+90°) → induktive Last
−j·X_C: senkrecht nach unten (−90°) → kapazitive Last

Impedanzdreieck: R, X_L und Z im Zeigerdiagramm (RL-Beispiel)

Bauelement	Impedanz Z	φ	Zeiger im Diagramm
Widerstand R	R (reell)	0°	nach rechts (Realachse)
Induktivität L	+j·X_L	+90°	nach oben (pos. Im-Achse)
Kapazität C	−j·X_C	−90°	nach unten (neg. Im-Achse)
RL-Reihe	R + j·X_L	0° … +90°	1. Quadrant
RC-Reihe	R − j·X_C	−90° … 0°	4. Quadrant

? Verständnisfrage: Wohin zeigt der Impedanzzeiger einer rein induktiven Last im Zeigerdiagramm? ›

Nach rechts (0°, Realachse)

Nach oben (+90°, positive Imaginärachse)

Nach unten (−90°, negative Imaginärachse)

Nach links (180°)

Was ist der Leistungsfaktor cos φ?

Der Leistungsfaktor cos φ ist eine der wichtigsten Kenngrößen in der Wechselstromtechnik. Er gibt an, welcher Anteil der scheinbar übertragenen Leistung (Scheinleistung S) tatsächlich als nutzbare Wirkleistung P in Arbeit umgewandelt wird. Ein Leistungsfaktor von cos φ = 1 bedeutet: Die gesamte Scheinleistung wird als Wirkleistung genutzt – optimal und verlustlos. Ein Leistungsfaktor von cos φ = 0,5 bedeutet: Nur die Hälfte der Scheinleistung wird als Wirkleistung genutzt, der Rest pendelt als Blindleistung hin und her.

Dieser Unterschied hat erhebliche wirtschaftliche Folgen: Die Leitungen, Sicherungen und Transformatoren müssen für die volle Scheinleistung ausgelegt sein – unabhängig davon, wie viel Wirkleistung tatsächlich genutzt wird. Ein Betrieb mit schlechtem Leistungsfaktor zahlt daher doppelt: einmal für die nutzlose Blindleistung, die Verluste erzeugt, und einmal für die überdimensionierten Installationskomponenten.

Leistungsdreieck: Wirkleistung P, Blindleistung Q und Scheinleistung S

Leistungsbeziehungen im Wechselstromkreis

P = U · I · cos φ [W]

Q = U · I · sin φ [var]

S = U · I = √(P² + Q²) [VA]

cos φ = P / S = R / Z

P [W]: Wirkleistung – wird in Nutzenergie umgewandelt (Wärme, Licht, mechanische Arbeit)
Q [var]: Blindleistung – pendelt zwischen Quelle und Energiespeicher (Spule/Kondensator); keine Nutzarbeit, belastet aber Leitungen
S [VA]: Scheinleistung – Produkt aus Effektivwerten U·I; maßgebend für Auslegung von Leitungen und Transformatoren
cos φ: Leistungsfaktor; dimensionslos; Bereich 0 bis 1; je größer desto besser

Technische und Organisatorische Regeln (TOR) der E-Control Österreich: Großverbraucher und Gewerbekunden in Österreich müssen laut den TOR der E-Control (Energie-Control Austria, zuständige Regulierungsbehörde) einen Leistungsfaktor cos φ ≥ 0,9 einhalten. Bei Unterschreitung werden Blindleistungs-Pönalen auf den Netznutzungstarif aufgeschlagen. Die Messung erfolgt über geeichte Zähler, die Wirk- und Blindenergie getrennt erfassen. Die rechtliche Grundlage bildet das Elektrizitätswirtschafts- und -organisationsgesetz (ElWOG) in Verbindung mit den TOR der E-Control.

Wichtig – cos φ = cos(−φ): Da der Kosinus eine gerade Funktion ist, gilt: cos(+45°) = cos(−45°) = 0,707. Das bedeutet: Ein induktiver Verbraucher mit φ = +45° und ein kapazitiver mit φ = −45° haben denselben numerischen Leistungsfaktor. Der cos φ allein sagt daher nicht aus, ob die Last induktiv oder kapazitiv ist. In Datenblättern wird deshalb oft geschrieben: „cos φ = 0,8 ind.“ oder „cos φ = 0,9 kap.“. Das Vorzeichen von φ oder das Vorzeichen der Blindleistung Q liefert die notwendige Zusatzinformation.

Praxisbeispiel: Ein Motor nimmt S = 10 kVA auf, hat aber cos φ = 0,7. Genutzte Wirkleistung: P = 10 kVA · 0,7 = 7 kW. Die Leitung muss trotzdem für 10 kVA (entspricht höherem Strom I = S/U) ausgelegt sein. 30 % der Leitungskapazität werden für Blindstrom verbraucht, der keine Nutzarbeit leistet.

⚡ Rechner: Leistungsdreieck

Spannung U (Effektivwert)230 V

Strom I (Effektivwert)10 A

Phasenwinkel φ30°

S = –

P = –

Q = –

cos φ = –

? Verständnisfrage: Ein Gerät hat cos φ = 0,5 und eine Scheinleistung S = 2 kVA. Wie groß ist die Wirkleistung P? ›

2.000 W

1.000 W

500 W

4.000 W

Welche praktischen Auswirkungen hat die Phasenverschiebung?

Die Phasenverschiebung ist kein rein theoretisches Konzept – sie hat sehr konkrete, messbare Konsequenzen für Leitungsquerschnitte, Energiekosten, Transformatoren und die Netzstabilität. In einem Industriebetrieb mit vielen Motoren und Antrieben kann ein schlechter Leistungsfaktor jährlich erhebliche Mehrkosten verursachen, die durch gezielten Einsatz von Kondensatoren zur Blindstromkompensation vollständig vermeidbar wären.

Die Blindstromkompensation ist deshalb in österreichischen Industriebetrieben weit verbreitet: Kondensatorbatterien werden parallel zu den induktiven Lasten geschaltet und erzeugen kapazitive Blindleistung, die die induktive Blindleistung der Motoren ganz oder teilweise aufhebt. Das Ergebnis: Der aus dem Netz bezogene Strom sinkt, die Leitungsverluste nehmen ab, und der Betrieb bleibt unterhalb der Grenze für Pönalen.

Erhöhter Leitungsstrom bei gleicher Nutzleistung

I = P / (U · cos φ). Sinkt cos φ von 1,0 auf 0,7, muss bei gleicher Wirkleistung ein um 43 % höherer Strom fließen → dickere Kabel, größere Sicherungen, teurere Installationen.

Höhere Wärmeverluste in Leitungen

P_V = I² · R. Ein um 43 % höherer Strom erzeugt doppelt so hohe Verluste (I²-Abhängigkeit!). Die Anlage wird ineffizienter und die Leitungen erwärmen sich stärker – Brandschutzrisiko.

Überdimensionierung von Transformatoren

Transformatoren und Generatoren müssen auf die Scheinleistung S ausgelegt werden, nicht auf P. Ein 100-kVA-Transformator bei cos φ = 0,7 liefert nur 70 kW Nutzleistung – 30 % der installierten Leistung sind ungenutzt.

Lösung: Blindstromkompensation mit Kondensatoren

Kondensatoren werden parallel zum Verbraucher geschaltet. Ihre kapazitive Blindleistung Q_C kompensiert die induktive Blindleistung Q_L der Motoren → cos φ steigt, Strom sinkt, Verluste nehmen ab.

Blindleistungspönalen nach TOR der E-Control (Österreich)

Industriebetriebe mit cos φ < 0,9 zahlen laut TOR der E-Control (Energie-Control Austria) Aufschläge auf den Netznutzungstarif. Automatische Blindleistungsregler mit stufenweise zuschaltbaren Kondensatorstufen sind daher in vielen Betrieben Standard.

Schaltplan: Blindstromkompensation – Kondensator parallel zur induktiven Last

Typische cos φ-Werte in der Praxis:

Glühlampe, Heizstab, Heizspirale: cos φ ≈ 1,0
LED ohne Leistungsfaktorkorrektur (PFC): cos φ ≈ 0,5–0,7
Leuchtstofflampe ohne Kondensator: cos φ ≈ 0,5
Drehstrommotor bei Vollast: cos φ ≈ 0,80–0,92
Drehstrommotor im Leerlauf: cos φ ≈ 0,15–0,40 (!) → besonders schlechter Wert
Schweißgerät (je nach Typ): cos φ ≈ 0,35–0,80
Frequenzumrichter mit PFC-Eingang: cos φ ≈ 0,95–0,99

ÖVE/ÖNORM EN 60034 – Elektrische Maschinen: Bei der Auslegung und dem Betrieb von Elektromotoren ist der Leistungsfaktor nach ÖVE/ÖNORM EN 60034 ein Pflichtparameter im Typenschild. Motoren müssen im optimalen Betriebspunkt nahe ihrer Nennlast betrieben werden, um den spezifizierten cos φ tatsächlich zu erreichen.

cos φ ≥ 0,9 → TOR-Mindestanforderung erfüllt

cos φ = 1 → ideal (rein ohmsch)

cos φ < 0,9 → Pönalen nach TOR (E-Control)

Leerlaufmotor → cos φ oft < 0,4 !

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Beispiel 1

Ein Motor hat Nennleistung P = 11 kW bei cos φ = 0,78 und U = 400 V. Berechne S, Q und den benötigten Strom I.

Lösung

S = P / cos φ = 11.000 / 0,78 ≈ 14.103 VA ≈ 14,1 kVA

Q = √(S² − P²) = √(14.103² − 11.000²) = √(198.894.609 − 121.000.000) ≈ 8.819 var ≈ 8,8 kvar

I = S / (√3 · U) = 14.103 / (1,732 · 400) ≈ 20,4 A (Drehstrom)

S ≈ 14,1 kVA | Q ≈ 8,8 kvar | I ≈ 20,4 A

Aufgabe 1

Motor: P = 5,5 kW, cos φ = 0,82, U = 230 V (Einphasig). Berechne S, Q und I.

Hinweis: S = P/cos φ, Q = S·sin φ (oder Q = √(S²−P²)), I = S/U

Lösung

S = 5.500 / 0,82 ≈ 6.707 VA ≈ 6,7 kVA

φ = arccos(0,82) ≈ 34,9° | Q = S · sin(34,9°) ≈ 6.707 · 0,572 ≈ 3.836 var ≈ 3,8 kvar

I = S / U = 6.707 / 230 ≈ 29,2 A

S ≈ 6,7 kVA | Q ≈ 3,8 kvar | I ≈ 29,2 A

Aufgabe 2

Welche Kompensationskapazität C ist nötig, um Q_L = 8 kvar bei U = 400 V, f = 50 Hz vollständig zu kompensieren?

Hinweis: Q_C = U² · ω · C = U² · 2π · f · C → nach C umformen: C = Q_C / (U² · 2π · f)

Lösung

Bedingung: Q_C = Q_L = 8.000 var

C = Q_C / (U² · 2π · f) = 8.000 / (400² · 2π · 50) = 8.000 / (160.000 · 314,16) ≈ 159 µF

C ≈ 159 µF

Aufgabe 3

Verbraucher: S = 20 kVA, cos φ = 0,65 ind. Auf welchen Wert steigt cos φ nach Zuschalten einer Kompensationsanlage mit Q_C = 10 kvar?

Hinweis: Q_neu = Q_alt − Q_C; P bleibt unverändert; S_neu = √(P²+Q_neu²); cos φ_neu = P/S_neu

Lösung

P = S · cos φ = 20 · 0,65 = 13 kW | Q_alt = √(20²−13²) = √(400−169) = √231 ≈ 15,20 kvar

Q_neu = 15,20 − 10 = 5,20 kvar | S_neu = √(13²+5,20²) = √(169+27,04) ≈ 14,00 kVA

cos φ_neu = 13 / 14,00 ≈ 0,929 → TOR-Anforderung cos φ ≥ 0,9 erfüllt!

cos φ_neu ≈ 0,93 – Pönalen entfallen

? Verständnisfrage: Warum werden Kondensatoren zur Blindstromkompensation parallel zur Last geschaltet? ›

Sie erhöhen direkt die Wirkleistung P der Last

Ihr kapazitiver Blindstrom kompensiert den induktiven Blindstrom der Last lokal

Sie erhöhen den Gesamtstrom im Netz

Sie verringern den ohmschen Widerstand der Leitung

Fragen bei mündlicher Prüfung

Typische Prüferfragen mit vollständigen Musterantworten. Zuerst selbst nachdenken, dann aufklappen.

01Erklären Sie den Begriff Phasenverschiebung und nennen Sie ihre Ursachen!›

Die Phasenverschiebung φ beschreibt den zeitlichen Versatz zwischen Strom und Spannung in einem Wechselstromkreis. Sie entsteht ausschließlich durch reaktive Bauelemente:

Induktivität (Spule): Spannung eilt dem Strom vor → φ > 0° (induktiv, lagging). Ursache: u_L = L·di/dt.
Kapazität (Kondensator): Strom eilt der Spannung vor → φ < 0° (kapazitiv, leading). Ursache: i_C = C·du/dt.
Ohmscher Widerstand: keine Phasenverschiebung → φ = 0°.

u(t) = Û · sin(ω·t) | i(t) = Î · sin(ω·t − φ)

φ wird in Grad (°) oder Bogenmaß (rad) angegeben. In der Praxis haben reale Lasten stets beide Anteile (R und X), daher liegt φ meist zwischen 0° und 90°.

02Warum eilt bei einer Induktivität die Spannung dem Strom vor?›

Das Grundgesetz der Spule lautet:

u_L = L · di/dt

Die Spannung ist proportional zur Stromänderungsrate, nicht zum Stromwert selbst. Das hat folgende Konsequenzen:

Spannung maximal, wenn Strom sich am schnellsten ändert (= Nulldurchgang des Stroms)
Spannung null, wenn Strom sein Maximum erreicht (Änderungsrate di/dt = 0)

Daraus folgt: Spannung eilt dem Strom um 90° vor (ideale Spule). In der Praxis ist φ wegen des unvermeidlichen Wicklungswiderstands stets kleiner als 90°.

03Wie berechnet man den Phasenwinkel φ einer RL-Reihenschaltung?›

Bei der RL-Reihenschaltung ergibt sich φ aus dem Verhältnis des induktiven Blindwiderstands zum Wirkwiderstand:

X_L = 2π · f · L

Z = √(R² + X_L²)

φ = arctan(X_L / R)

cos φ = R / Z

R ≫ X_L → φ → 0° (fast ohmsches Verhalten)
X_L ≫ R → φ → 90° (fast rein induktiv)
R = X_L → φ = 45° (gleiches Gewicht beider Anteile)

04Was ist der Unterschied zwischen Wirkleistung, Blindleistung und Scheinleistung?›

Wirkleistung P [W]: Wird in Nutzenergie umgewandelt (Wärme, Licht, mechanische Arbeit). Verursacht dauerhaften Energieverbrauch.
Blindleistung Q [var]: Pendelt zwischen Quelle und Energiespeicher (Spule, Kondensator). Keine Nutzarbeit, belastet aber Leitungen und Transformatoren voll.
Scheinleistung S [VA]: Produkt aus Effektivwerten U·I. Maßgebend für die Auslegung aller Komponenten.

P = S · cos φ [W]

Q = S · sin φ [var]

S² = P² + Q² (Pythagoras der Leistungen)

Merkhilfe: Das Leistungsdreieck – S ist die Hypotenuse, P und Q sind die Katheten.

05Was ist der Leistungsfaktor cos φ und warum ist er für Betriebe relevant?›

cos φ = P / S = R / Z

Relevanz für Betriebe:

Niedriger cos φ → höherer Strom für gleiche Nutzleistung → höhere Leitungsverluste (P_V = I²·R)
Leitungen, Transformatoren, Generatoren müssen auf Scheinleistung S ausgelegt werden
Laut TOR der E-Control (Österreich): cos φ ≥ 0,9 Pflicht für Großverbraucher; Unterschreitung führt zu Blindleistungs-Pönalen

06Erklären Sie das Zeigerdiagramm und seine Vorteile!›

Im Zeigerdiagramm wird jede sinusförmige Wechselgröße als rotierender Zeiger in der komplexen Zahlenebene dargestellt:

Betrag = Amplitude oder Effektivwert der Wechselgröße
Winkel zur Realachse = Phasenlage (0° = in Phase mit Referenz)
Winkel zwischen zwei Zeigern = Phasenverschiebung φ

Z_RL = R + j·X_L (1. Quadrant, +90°-Richtung)

Z_RC = R − j·X_C (4. Quadrant, −90°-Richtung)

Vorteil: Addition von Spannungen und Strömen durch Vektoraddition; schnelles Ablesen von φ ohne Zeitbereichskurve; kompakte Darstellung auch bei mehrstufigen Netzwerken.

07Was versteht man unter Blindstromkompensation und wie wird sie berechnet?›

Motoren und andere induktive Verbraucher erzeugen induktive Blindleistung Q_L. Durch parallel geschaltete Kondensatoren wird kapazitive Blindleistung Q_C erzeugt, die Q_L kompensiert:

Q_L = U² / X_L = U² · ω · L [var]

Q_C = U² / X_C = U² · ω · C [var]

Vollständige Kompensation: Q_C = Q_L

C = Q_L / (U² · 2π · f)

Bei vollständiger Kompensation: cos φ → 1, Blindstrom aus dem Netz = 0
Praxis: Überkompensation unbedingt vermeiden (cos φ kapazitiv → ebenfalls Pönalen)
Lösung: automatische Blindleistungsregler mit stufenweise zuschaltbaren Kondensatorbatterien

08Wie verhält sich X_C im Vergleich zu X_L bei steigender Frequenz, und welche Anwendung ergibt sich daraus?›

X_L = 2π · f · L → steigt proportional mit f

X_C = 1/(2π · f · C) → sinkt umgekehrt proportional zu f

Spulen sperren hohe Frequenzen → Verwendung in Tiefpassfiltern
Kondensatoren leiten hohe Frequenzen → Verwendung in Hochpassfiltern
Bei Resonanz gilt X_L = X_C → Reihen- oder Parallelschwingkreis mit minimalem oder maximalem Widerstand

f₀ = 1 / (2π · √(L · C)) [Resonanzfrequenz]

Formelsammlung

Induktiver Blindwiderstand

X_L = 2π · f · L

X_L [Ω] | f [Hz] | L [H]

Kapazitiver Blindwiderstand

X_C = 1 / (2π · f · C)

X_C [Ω] | f [Hz] | C [F]

Scheinwiderstand RL

Z = √(R² + X_L²)

Z [Ω]

Scheinwiderstand RC

Z = √(R² + X_C²)

Z [Ω]

Phasenwinkel (RL)

φ = arctan(X_L / R)

φ [°] | positiv → induktiv

Phasenwinkel (RC)

φ = −arctan(X_C / R)

φ [°] | negativ → kapazitiv

Leistungsfaktor

cos φ = P / S = R / Z

dimensionslos; 0 ≤ cos φ ≤ 1

Wirkleistung

P = U · I · cos φ

P [W]

Blindleistung

Q = U · I · sin φ

Q [var]

Scheinleistung

S = U · I = √(P² + Q²)

S [VA]

Leistungsdreieck

S² = P² + Q²

Pythagoras der Leistungen

Kreisfrequenz

ω = 2π · f

ω [rad/s] | bei 50 Hz: ω ≈ 314,16 rad/s

Induktionsgesetz (Spule)

u_L = L · di/dt

Spannung ~ Stromänderungsrate

Kondensatorgesetz

i_C = C · du/dt

Strom ~ Spannungsänderungsrate

Resonanzfrequenz

f₀ = 1 / (2π · √(L·C))

bei X_L = X_C

Strom aus Wirkleistung

I = P / (U · cos φ)

wichtig für Leitungsauslegung!

sin φ (Blindleistungsanteil)

sin φ = Q / S = X / Z

Q [var], S [VA], X [Ω], Z [Ω]

tan φ (Q-zu-P-Verhältnis)

tan φ = Q / P = X / R

dimensionslos

Kompensationskapazität

C = Q_L / (U² · 2π · f)

für vollständige Kompensation

Komplexe Impedanz RL

Z_RL = R + j·X_L

1. Quadrant; φ positiv

Glossar

Phasenverschiebung φ: Zeitlicher Versatz zwischen Strom und Spannung in einem Wechselstromkreis; angegeben in Grad (°) oder Radiant (rad). Ursache: reaktive Bauelemente (L oder C).
Induktivität L: Eigenschaft einer Spule, einer Stromänderung zu widerstehen. Einheit: Henry (H). Speichert Energie im Magnetfeld. Grundgesetz: u_L = L·di/dt.
Kapazität C: Eigenschaft eines Kondensators, elektrische Ladung zu speichern und Spannungsänderungen zu widerstehen. Einheit: Farad (F). Grundgesetz: i_C = C·du/dt.
Induktiver Blindwiderstand X_L: Wechselstromwiderstand einer Spule: X_L = 2π·f·L. Steigt proportional mit Frequenz und Induktivität. Einheit: Ohm.
Kapazitiver Blindwiderstand X_C: Wechselstromwiderstand eines Kondensators: X_C = 1/(2π·f·C). Sinkt mit steigender Frequenz. Einheit: Ohm.
Scheinwiderstand Z: Gesamtwiderstand im Wechselstromkreis, enthält Wirk- und Blindanteile: Z = √(R² + X²). Einheit: Ohm.
Voreilend (leading): Strom erreicht seinen Maximalwert vor der Spannung. Tritt bei kapazitiven Lasten auf (φ < 0°).
Nacheilend (lagging): Strom erreicht seinen Maximalwert nach der Spannung. Tritt bei induktiven Lasten auf (φ > 0°).
ELI the ICE man: Internationale Merkhilfe. ELI: Bei Induktivität (L) eilt Spannung (E) dem Strom (I) vor. ICE: Bei Kapazität (C) eilt Strom (I) der Spannung (E) vor.
Zeigerdiagramm (Phasordiagramm): Grafische Darstellung von Wechselgrößen als Zeiger in der komplexen Zahlenebene; ermöglicht Vektoraddition statt Zeitintegration.
Imaginäre Einheit j: j² = −1; in der Elektrotechnik statt i verwendet, um Verwechslung mit dem Strom zu vermeiden.
Leistungsfaktor cos φ: Verhältnis Wirkleistung zu Scheinleistung (P/S). Gibt die Effizienz der Leistungsübertragung an; Bereich 0 bis 1.
Wirkleistung P [W]: Anteil der Scheinleistung, der in Nutzenergie umgewandelt wird.
Blindleistung Q [var]: Pendelt zwischen Quelle und Energiespeicher; verrichtet keine Nutzarbeit, belastet aber Leitungen und Transformatoren.
Scheinleistung S [VA]: Produkt aus Effektivwerten U·I. Maßgebend für Auslegung aller Installationskomponenten.
Blindstromkompensation: Gezieltes Zuschalten von Kondensatoren parallel zu induktiven Lasten, um Q_L zu kompensieren und cos φ zu verbessern.
TOR (Technische und Organisatorische Regeln): Regelwerk der E-Control (Energie-Control Austria); schreibt u. a. cos φ ≥ 0,9 für Großverbraucher vor.
E-Control (Energie-Control Austria): Österreichische Regulierungsbehörde für Strom und Gas; erlässt die TOR, die u. a. Leistungsfaktoranforderungen regeln.
Kompensationskapazität C: Für die Blindstromkompensation benötigte Kapazität: C = Q_L / (U² · 2π · f).
ESR (Equivalent Series Resistance): Realer Verlustwiderstand eines Kondensators; bei Leistungskondensatoren sehr klein, verursacht aber Wärmeentwicklung.
Resonanzfrequenz f₀: Frequenz, bei der X_L = X_C. Formel: f₀ = 1/(2π·√(L·C)). Im Reihenschwingkreis minimaler Widerstand.

Stand & Quellen

ÖVE/ÖNORM EN 60034 – Drehende elektrische Maschinen (Elektromotoren, Leistungsfaktor am Typenschild)
ÖVE/ÖNORM EN 50110-1 – Betrieb elektrischer Anlagen (österreichische Fassung)
ÖVE/ÖNORM E 8001 – Errichtung elektrischer Anlagen mit Nennspannungen bis 1.000 V AC
ElWOG 2010 – Elektrizitätswirtschafts- und -organisationsgesetz, BGBl. I Nr. 110/2010
E-Control Austria: Technische und Organisatorische Regeln (TOR), Teil D – Anschluss von Netznutzern
ESV 2012 – Elektroschutzverordnung, BGBl. II Nr. 33/2012
Harriehausen/Schwarzenau: Moeller – Grundlagen der Elektrotechnik, Springer Vieweg
Clausert/Wiesemann: Grundgebiete der Elektrotechnik, Oldenbourg Wissenschaftsverlag

Was ist eine Phasenverschiebung?

Sinusförmige Wechselgrößen mit Phasenverschiebung

Wie bewirkt eine Induktivität eine Phasenverschiebung?

Induktiver Blindwiderstand – RL-Reihenschaltung

Wie bewirkt eine Kapazität eine Phasenverschiebung?

Kapazitiver Blindwiderstand – RC-Reihenschaltung

Was bedeuten „voreilend“ und „nacheilend“?

Wie stellt man Phasenverschiebung im Zeigerdiagramm dar?

Impedanz in komplexer Schreibweise

Was ist der Leistungsfaktor cos φ?

Leistungsbeziehungen im Wechselstromkreis

Welche praktischen Auswirkungen hat die Phasenverschiebung?

Abschlusstest

Fragen bei mündlicher Prüfung

Formelsammlung

Glossar

Stand & Quellen