Bruch- und Prozentrechnung

Ein Bruch beschreibt einen Anteil von einem Ganzen. Teilst du eine Pizza in vier gleiche Stücke und nimmst eines davon, hast du ein Viertel — geschrieben als 1/4.

Die obere Zahl heißt Zähler, sie zählt, wie viele Teile du hast. Die untere Zahl heißt Nenner, sie benennt, in wie viele gleiche Teile das Ganze zerlegt ist.

Ein Bruch ist gleichzeitig immer auch eine Divisionsaufgabe. Der Bruchstrich bedeutet „geteilt durch“:

Das ist später die Brücke zur Dezimalzahl — der Bruch sagt dir direkt, was du in den Taschenrechner tippen musst.

Echte, unechte und gemischte Zahlen

Ist der Zähler kleiner als der Nenner, ist der Bruch echt — er beschreibt weniger als ein Ganzes (z. B. 3/4). Ist der Zähler größer oder gleich dem Nenner, ist er unecht und beschreibt ein Ganzes oder mehr (z. B. 7/4). Einen unechten Bruch kann man als gemischte Zahl schreiben — eine ganze Zahl plus echter Bruch:

Bruch als Verhältnis

In der Technik taucht der Bruch oft als Verhältnis auf. Ein Getriebe mit der Übersetzung 3:1 dreht die Antriebswelle dreimal, während die Abtriebswelle einmal dreht. Das Übersetzungsverhältnis ist nichts anderes als ein Bruch der beiden Drehzahlen:

Bei i = 3 dreht der Antrieb dreimal so schnell wie der Abtrieb — dafür steigt am Abtrieb das Drehmoment. Verhältnis und Bruch sind hier dasselbe, nur anders aufgeschrieben.

Brüche lassen sich kürzen, erweitern und in allen vier Grundrechenarten verarbeiten. Wichtig ist nur, für jede Operation die richtige Regel zu kennen.

Kürzen und Erweitern

Der Wert eines Bruchs ändert sich nicht, wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert (erweitern) oder durch dieselbe Zahl dividiert (kürzen).

Kürzen macht Brüche übersichtlich, erweitern braucht man, um Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen.

Addieren und Subtrahieren

Brüche kann man nur addieren oder subtrahieren, wenn sie gleichnamig sind — also denselben Nenner haben. Dann rechnet man nur mit den Zählern:

Sind die Nenner verschieden, bringt man die Brüche zuerst auf den Hauptnenner (das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner):

Multiplizieren

Beim Multiplizieren werden Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner gerechnet — kein gemeinsamer Nenner nötig:

Dividieren

Durch einen Bruch teilt man, indem man mit seinem Kehrwert multipliziert. Der Kehrwert entsteht durch Vertauschen von Zähler und Nenner:

In der Praxis rechnet man selten mit Brüchen weiter — der Taschenrechner und alle Messgeräte arbeiten mit Dezimalzahlen. Beide Schreibweisen beschreiben denselben Wert, man muss nur sicher zwischen ihnen wechseln können.

Vom Bruch zur Dezimalzahl

Da der Bruchstrich „geteilt durch“ bedeutet, wandelt man einen Bruch in eine Dezimalzahl um, indem man den Zähler durch den Nenner dividiert:

Manche Brüche gehen nicht glatt auf. Dann entsteht eine periodische Dezimalzahl — eine Ziffernfolge wiederholt sich endlos. Sie wird mit einem Strich über der Periode gekennzeichnet:

Brüche, die aufgehen, ergeben eine abbrechende Dezimalzahl (z. B. 0,75); die übrigen ergeben periodische Werte.

Von der Dezimalzahl zum Bruch

Eine abbrechende Dezimalzahl schreibt man als Bruch mit einer Zehnerpotenz im Nenner (10, 100, 1000 …) — je nach Anzahl der Nachkommastellen — und kürzt anschließend:

Runden

In der Werkstatt rundet man Dezimalzahlen auf eine sinnvolle Stellenzahl. Steht an der ersten wegfallenden Stelle eine 0 bis 4, wird abgerundet; bei 5 bis 9 wird aufgerundet. Bei 0,333… auf zwei Nachkommastellen also 0,33; bei 0,666… auf zwei Stellen 0,67.

Prozent heißt wörtlich „von hundert“. Ein Prozentwert ist also nichts anderes als ein Bruch mit dem festen Nenner 100:

z. B. 25 % = 25/100 = 1/4 = 0,25

Damit ist klar: Prozentrechnung ist verkleidete Bruchrechnung. Statt mit beliebigen Nennern arbeitet man immer mit dem Nenner 100, was das Vergleichen erleichtert.

Die drei Größen

Jede Prozentaufgabe dreht sich um drei Größen: den Grundwert (G), den Prozentwert (W) und den Prozentsatz (p).

• Grundwert (G) — das Ganze, das 100 % entspricht
• Prozentwert (W) — der Anteil davon, in derselben Einheit wie der Grundwert
• Prozentsatz (p) — der Anteil in Prozent

Der Zusammenhang:

Aus dieser einen Gleichung lassen sich durch Umstellen alle drei Grundaufgaben lösen:

Prozentwert gesucht: W = G · p / 100
Prozentsatz gesucht: p = W / G · 100
Grundwert gesucht: G = W / p · 100

Wer die Grundgleichung sicher umstellen kann, braucht sich die drei Varianten nicht einzeln zu merken.

Promille

Selten kommt auch Promille vor — „von tausend“, Zeichen ‰. Ein Promille ist ein Zehntel Prozent: 1 ‰ = 1/1000 = 0,1 %. Steigungsangaben bei Bahnstrecken oder Grenzwerte werden manchmal in Promille angegeben.

Im Alltag rechnet man selten den reinen Prozentwert aus. Häufiger geht es um Veränderungen — etwas wird größer oder kleiner — und um Toleranzen, also zulässige Abweichungen.

Prozentuale Zu- und Abnahme

Bei einer Zunahme (Aufschlag) wird der Prozentwert zum Grundwert addiert, bei einer Abnahme (Abschlag) abgezogen:

Ein Beispiel: Ein Bauteil kostet 80 € netto, dazu kommen 20 % Umsatzsteuer. Der Bruttopreis ist 80 + 80 · 20/100 = 96 €.

Wirkungsgrad als Prozent

Der Wirkungsgrad beschreibt, welcher Anteil der zugeführten Leistung als Nutzleistung herauskommt — und wird fast immer in Prozent angegeben:

Ein Motor mit 92 % Wirkungsgrad setzt von 1000 W zugeführter Leistung 920 W in mechanische Arbeit um; die restlichen 80 W gehen als Verlust verloren. Eine vertiefte Behandlung des Wirkungsgrades gibt es im eigenen Beitrag dazu — hier reicht das Verständnis, dass es eine reine Prozentangabe ist.

Toleranzen und Messabweichungen

Der Nennwert ist der Soll-Wert eines Bauteils — der Wert, der aufgedruckt oder spezifiziert ist. Die Toleranz gibt an, wie weit der reale Wert in Prozent davon abweichen darf. Aus dem Nennwert N und der Toleranz t ergeben sich obere und untere Grenze: