A/D- und D/A-Wandler

Ein Temperaturfühler gibt einen Strom von 4 bis 20 mA aus. Eine SPS arbeitet intern mit Bits. Dazwischen sitzt ein Bauteil, das die kontinuierliche Stromgröße in eine Zahl übersetzt: der A/D-Wandler (Analog-Digital-Wandler, kurz ADC). Auf der anderen Seite kann die SPS einem Frequenzumrichter einen Sollwert zwischen 0 und 10 V vorgeben — diesen analogen Wert erzeugt ein D/A-Wandler (Digital-Analog-Wandler, kurz DAC) aus einer Bitfolge.

Beide Wandler sind die Schnittstelle zwischen der physikalischen Welt und dem digitalen Steuerwerk. In fast jedem Mikrocontroller, jeder SPS-Baugruppe für Analogwerte, jedem Mess­gerät und jeder Audioschaltung steckt mindestens einer davon — meistens beide.

Die Aufgabenverteilung ist klar:

• Der ADC misst eine analoge Größe (Spannung oder Strom) und liefert einen Zahlenwert.
• Der DAC bekommt einen Zahlenwert und erzeugt daraus eine analoge Spannung oder einen Strom.

Die A/D-Wandlung lässt sich in drei klar getrennte Schritte zerlegen. Jeder Schritt löst ein Teilproblem, das beim Übergang vom Analogen ins Digitale unvermeidlich auftritt.

Schritt 1 — Abtasten (Sampling): Das Eingangssignal ist zeitlich kontinuierlich — in jedem noch so kleinen Zeitintervall ändert es sich. Beim Abtasten greift der Wandler in festen Zeitabständen jeweils einen Momentanwert heraus. Eine Sample-and-Hold-Stufe hält diesen Wert während der Wandlung konstant, damit das Ergebnis stabil bleibt.

Schritt 2 — Quantisieren: Die abgetasteten Werte sind dem Betrag nach immer noch beliebig fein abgestuft. Der Wandler kann aber nur eine endliche Anzahl von Stufen unterscheiden — bei einem 8-Bit-Wandler genau 256, bei einem 10-Bit-Wandler 1024 Stufen. Jeder Abtastwert wird der nächstgelegenen Stufe zugeordnet. Dadurch entsteht eine Treppenkurve.

Schritt 3 — Codieren: Jede Stufe erhält eine Binärzahl, die der Wandler an den Datenbus legt. Das Ergebnis ist eine Bitfolge wie 1011 0010, die der Mikrocontroller oder die SPS weiterverarbeitet.

Die Grafik zeigt die ersten beiden Schritte zusammen: Das blaue Originalsignal wird an festen Zeitpunkten abgetastet (Punkte) und auf eine der acht horizontalen Stufen gerundet. Die rote Treppenkurve ist das, was am Wandlerausgang als Zahlenfolge ankommt.

Erkennbar: An jedem Abtastpunkt liegt der quantisierte Wert geringfügig neben dem tatsächlichen Signal. Diese unvermeidbare Abweichung ist der Quantisierungsfehler, mit dem sich Kapitel 3 quantitativ beschäftigt.

Aus Bitanzahl und Referenzspannung ergeben sich die wichtigsten Kenngrößen jedes A/D-Wandlers.

Die Auflösung gibt an, wie viele Stufen der Wandler unterscheiden kann. Bei n Bit Auflösung sind das:

Die kleinste auflösbare Spannungsänderung heißt LSB (Least Significant Bit) und entspricht einer einzigen Stufe der Treppenkurve:

Der maximale Quantisierungsfehler beträgt eine halbe Stufe — und das hat einen einfachen Grund: Der Wandler rundet jeden analogen Wert auf den nächstgelegenen Stufenmittelpunkt. Ein Wert, der genau in der Mitte zwischen zwei Stufen liegt, hat zur einen wie zur anderen Seite den maximalen Abstand von einer halben Stufe. Jeder andere Wert liegt näher an einer Stufe und hat damit eine kleinere Abweichung. Mehr als ±½ LSB kann der Fehler also bei korrekter Rundung nicht werden:

Anschaulich: Bei einem 10-Bit-Wandler an 10 V Referenzspannung sind 2^10 = 1024 Stufen vorhanden. Eine Stufe entspricht 10 V / 1024 = 9,77 mV. Der maximale Quantisierungsfehler liegt bei ±4,88 mV — egal wie sauber das Eingangssignal ankommt, feiner als diese Stufe kann der Wandler nicht auflösen.

Wie oft muss man eigentlich abtasten, damit das digitalisierte Signal noch das Original abbildet? Diese Frage beantwortet das Abtasttheorem von Nyquist und Shannon: Die Abtastfrequenz muss größer sein als das Doppelte der höchsten im Signal vorkommenden Frequenz.

Wird das Theorem nicht erfüllt, also zu langsam abgetastet, entsteht Aliasing. Das hochfrequente Originalsignal erscheint nach der Wandlung als ein niederfrequentes Signal, das mit dem echten Verlauf nichts mehr zu tun hat. Die Grafik zeigt diesen Effekt deutlich: Ein graues 9-Hz-Signal wird mit nur 10 Hz abgetastet (rote Punkte). Aus den Sample-Punkten lässt sich das Signal nicht mehr eindeutig rekonstruieren — eine 1-Hz-Sinuskurve passt genauso durch die Punkte (blau) wie das Original.

In der Praxis reicht ein theoretischer Faktor von gerade 2 nicht aus. Reale Anti-Aliasing-Filter haben keine unendlich steile Flanke, und Sicherheitsreserven gegen Mess­ungenauigkeit sind nötig. Üblich sind:

• Faktor 2,5 bis 5 für reine Mess­technik
• Faktor 4 bis 10 für hochwertige Audio- und Signalverarbeitung (CD-Audio: 44,1 kHz bei 20 kHz Hörgrenze, also rund Faktor 2,2 — knapp über dem Minimum)

Vor jeden A/D-Wandler gehört deshalb ein Anti-Aliasing-Filter — ein Tiefpass, der Frequenzen oberhalb der halben Abtastrate ausreichend dämpft, bevor sie überhaupt zum Sample-and-Hold-Glied gelangen.

Es gibt nicht den einen A/D-Wandler. Je nach Anforderung an Geschwindigkeit, Auflösung und Kosten haben sich vier Verfahren etabliert. Sie unterscheiden sich grundsätzlich in der Art, wie der Eingangswert mit Referenzspannungen verglichen und in eine Zahl überführt wird.

Flash-Wandler (Parallel-Wandler): Eine Kette aus Komparatoren vergleicht den Eingangswert gleichzeitig mit allen 2^n Referenzspannungen. Das Ergebnis steht in einem einzigen Taktzyklus fest — extrem schnell, aber für n Bit braucht es 2^n − 1 Komparatoren. Schon bei 10 Bit wären das 1023 Stück. Anwendung: Hochfrequenz­technik, Digitaloszilloskope, schnelle Video-A/D-Wandlung. Typische Auflösung 6 bis 10 Bit.

Sukzessive Approximation (SAR): Der Wandler tastet sich Bit für Bit an den Eingangswert heran — wie ein Wiegen mit einer Balkenwaage und Normgewichten von 1, 2, 4, 8, 16, … Gramm. Pro Takt wird ein Bit bestimmt, beginnend mit dem höchstwertigen. Nach n Takten ist das Ergebnis fertig. Sehr ausgewogenes Verfahren — guter Kompromiss aus Geschwindigkeit, Auflösung und Kosten. Standard in den meisten Mikrocontroller-ADCs. Typische Auflösung 8 bis 18 Bit.

Integrierender Wandler (Dual-Slope): Eine Integrator­schaltung lädt einen Kondensator für eine feste Zeit mit dem Eingangsstrom auf und entlädt ihn dann mit einer bekannten Referenz. Aus der Entladezeit ergibt sich den Eingangswert. Sehr genau und stör­unempfindlich, aber langsam (typisch wenige Hz bis einige hundert Hz Wandlungs­rate). Klassisches Verfahren im Digitalmultimeter, weil die Integration über mehrere Netzperioden 50-Hz-Brumm automatisch ausmittelt. Typische Auflösung 12 bis 22 Bit.

Delta-Sigma-Wandler (ΔΣ): Hier wird mit sehr hoher Frequenz nur 1 Bit pro Takt erfasst und über digitale Filter zu einer hochauflösenden Zahl verdichtet (Oversampling). Erreicht extrem hohe Auflösungen, ist dafür eher langsam. Typisch in Audio-A/D-Wandlern, Präzisions­mess­technik und industriellen Mess­umformern. Typische Auflösung 16 bis 24 Bit, bei manchen Spezialchips bis 32 Bit.

Die Übersicht:

In der Praxis: In einer SPS-Analog­baugruppe für 4–20 mA Sensorsignale wirst du fast immer einen SAR- oder Delta-Sigma-Wandler finden. Der SAR liefert schnell genug für Regelungs­aufgaben, der Delta-Sigma punktet bei langsam veränderlichen Mess­größen wie Temperatur, wo es vor allem auf Auflösung und Stör­unterdrückung ankommt. Ein gewöhnliches Hand­multimeter dagegen arbeitet mit einem Dual-Slope-Wandler — das ist auch der Grund, warum die Anzeige merklich Zeit zum „Einschwingen“ braucht.

Der D/A-Wandler löst die umgekehrte Aufgabe: Aus einer binären Zahl wird eine analoge Spannung. Das Grundprinzip ist immer dasselbe — ein Netzwerk aus Widerständen oder Stromquellen wird über die Bits des Eingangswertes geschaltet, und die Summe ergibt die Ausgangsspannung.

Die Ausgangsspannung eines DAC mit n Bit Auflösung berechnet sich aus dem Digitalwert D und der Referenzspannung:

Beispiel: Ein 8-Bit-DAC an U_ref = 5 V bekommt den Digitalwert 128 (= halber Endwert). Die Ausgangsspannung beträgt U_out = 5 V · 128 / 256 = 2,5 V.

In der Praxis sind drei Verfahren verbreitet.

Gewichteter Widerstandswandler: Für jedes Bit gibt es einen Widerstand, dessen Wert um Potenzen von 2 abgestuft ist (R, R/2, R/4, R/8 …). Die Bits schalten diese Widerstände auf eine Summier­schaltung. Einfach im Prinzip, aber bei hoher Bitanzahl werden die Widerstandsverhältnisse extrem (bei 12 Bit liegt R_max zu R_min bei über 4000:1), was sich in der Fertigung kaum genau halten lässt.

R-2R-Leiternetzwerk: Hier kommen nur zwei Widerstandswerte vor — R und 2R. Eine ladder-artige Anordnung bewirkt die nötige Bitgewichtung. Standardlösung für moderne DACs, weil zwei Werte sich auf einem Chip mit hoher Genauigkeit abgleichen lassen.

PWM-DAC: Ein digitaler Ausgang erzeugt ein puls­weiten­moduliertes Rechtecksignal — bei 50 % Tastverhältnis ist die mittlere Spannung halb so groß wie der Pulshochwert. Ein nachgeschaltetes Tiefpass­filter glättet das Signal zu einer Gleichspannung. Sehr einfach umzusetzen, da nur ein Digitalpin und ein RC-Glied nötig sind. Bei vielen Mikrocontrollern der schnellste Weg zu einer „analogen“ Ausgangs­spannung. Begrenzung: Die Filterzeit­konstante macht den Wandler langsam.