Wirkwiderstand im Wechselstromkreis

Ein Wirkwiderstand ist ein elektrischer Widerstand, der Energie aus dem Stromkreis aufnimmt und vollständig in Wärme umwandelt. Das Formelzeichen ist R, die Einheit das Ohm (Ω). Gleichbedeutende Bezeichnungen sind „ohmscher Widerstand“ und der etwas seltener gebrauchte Begriff „Resistanz“. Im gesamten Beitrag bleibt es bei Wirkwiderstand.

Das Besondere am Wirkwiderstand ist, dass er sich an Wechselspannung genauso verhält wie an Gleichspannung. Schließt man eine Heizpatrone an eine 24-V-Batterie an, fließt ein bestimmter Strom. Schließt man dieselbe Heizpatrone an eine Wechselspannung mit Effektivwert 24 V an, fließt derselbe Effektivstrom. Der Widerstandswert R hängt im Idealfall weder von der Frequenz noch von der Stromrichtung ab.

In der Praxis ist dieses Verhalten an Bauteilen anzutreffen, deren Geometrie und Material rein zur Verlustwärme ausgelegt sind: Heizdrähte aus Nickel-Chrom oder Konstantan, Festwiderstände aus Kohleschicht oder Metallschicht, Drahtwiderstände, Heizpatronen für Spritzgießwerkzeuge. Bei Netzfrequenz (50 Hz) verhalten sich diese Bauteile praktisch ideal ohmsch.

Davon abzugrenzen sind Bauteile, die zusätzlich Energie speichern und wieder zurückgeben — also Spulen und Kondensatoren. Sie haben einen frequenzabhängigen Widerstand, der nicht in Wärme umgesetzt wird. Dieser Anteil heißt Blindwiderstand und kommt in eigenen Beiträgen ausführlich zur Sprache: dem induktiven Blindwiderstand der Spule und dem kapazitiven Blindwiderstand des Kondensators.

Legt man eine sinusförmige Wechselspannung an einen Wirkwiderstand, dann folgt der Strom dieser Spannung ohne jede zeitliche Verschiebung. Zu jedem Zeitpunkt gilt das Ohmsche Gesetz in seiner einfachsten Form: i(t) = u(t) / R. Erreicht die Spannung ihr Maximum, ist im selben Moment auch der Strom maximal. Geht die Spannung durch null, geht auch der Strom durch null.

Das nennt man „Strom und Spannung sind in Phase“. Die Phasenverschiebung φ zwischen u(t) und i(t) beträgt 0°. Diese Eigenschaft ist der wichtigste Punkt im ganzen Kapitel — sie ist der Grund, warum am Wirkwiderstand keine Blindleistung auftritt.

Im Diagramm sieht das so aus: beide Kurven beginnen bei null, schwingen synchron nach oben, kreuzen die Nulllinie zur selben Zeit und schwingen synchron nach unten. Lediglich die Amplitudenwerte unterscheiden sich, weil û und î durch den Faktor R verknüpft sind:

Beide Sinuskurven haben gleiche Frequenz, gleiche Nullstellen und gleiche Lage der Extremstellen. Lediglich die Amplituden unterscheiden sich, denn û und î hängen über den Widerstand zusammen: î = û / R.

Sobald man von den Momentanwerten u(t) und i(t) zu rechnerisch handhabbaren Größen übergeht, verwendet man Effektivwerte. Sie sind die Werte, die in der Messpraxis am Multimeter angezeigt werden und mit denen alle weiteren Formeln in diesem Beitrag arbeiten. Bei sinusförmigen Größen gilt der bekannte Zusammenhang U_eff = û / √2 und entsprechend I_eff = î / √2.

Wer das Verhalten genauer auf der Zeitachse betrachten will — etwa wenn ein Wirkwiderstand zusammen mit einer Spule oder einem Kondensator in einer Schaltung sitzt — sollte den Beitrag Phasenverschiebung und Zeigerdiagramme anschauen. Dort wird gezeigt, wie sich Phasenwinkel bei gemischten Bauteilen darstellen und rechnen lassen.

Da Strom und Spannung am Wirkwiderstand stets im selben Verhältnis zueinander stehen, gilt das Ohmsche Gesetz unverändert. Es lässt sich auf drei verschiedene Wertebene anwenden, und es ist wichtig, sauber zu unterscheiden, welche Form gerade verwendet wird.

Auf Effektivwerte bezogen lautet die zentrale Gleichung im Wechselstromkreis:

Mit Spitzenwerten gilt analog:

Und auch für die Momentanwerte zu einem beliebigen Zeitpunkt t:

In der Praxis arbeitet man fast immer mit Effektivwerten. Wenn am Multimeter im AC-Bereich 230 V angezeigt werden, ist das ein Effektivwert. Wenn ein Heizgerät am Typenschild „230 V“ stehen hat, ist das ebenfalls als Effektivwert zu lesen. Erst wenn es um die Spannungsfestigkeit eines Bauelements geht — etwa bei der Auswahl eines Kondensators als Entstör- oder Glättungselement — wird der Spitzenwert relevant, der bei 230 V Netzspannung rund 325 V beträgt.

Ein konkretes Beispiel: An einer Heizpatrone mit R = 50 Ω liegt eine sinusförmige Netzspannung von 230 V (Effektivwert) an. Der durchfließende Effektivstrom beträgt:

Der Spitzenwert des Stromes ist um √2 größer: î = 4,6 A · √2 ≈ 6,51 A. Dieser Spitzenstrom tritt zwei Mal pro Periode auf, jeweils zum Zeitpunkt der maximalen positiven und negativen Halbwelle.

Die elektrische Leistung am Wirkwiderstand wird vollständig in Wärme umgesetzt. Da Strom und Spannung in Phase sind, ist die Momentanleistung p(t) = u(t) · i(t) zu jedem Zeitpunkt positiv — Energie fließt also durchgehend in den Widerstand hinein, niemals heraus. Aus dieser Überlegung ergibt sich, dass am reinen Wirkwiderstand keine Blindleistung auftritt: die Wirkleistung P ist gleich der Scheinleistung, der Leistungsfaktor cos φ ist 1.

Berechnet wird die Wirkleistung aus Effektivwerten. Dafür gibt es drei gleichwertige Formen, die je nach gegebenen Größen verwendet werden:

Alle drei Formeln liefern denselben Wert — welche zum Einsatz kommt, hängt nur davon ab, was gegeben ist. Wenn Spannung und Widerstand bekannt sind, ist P = U²/R am direktesten. Sind Strom und Widerstand bekannt, eignet sich P = I²·R. Bei bekannten Effektivwerten von Spannung und Strom genügt P = U·I.

Für einen Wasserkocher mit R = 21 Ω an 230 V ergibt sich beispielsweise:

Das entspricht der typischen Leistungsaufnahme eines kleinen Haushaltsgeräts.

Vom Wirkwiderstand ist es nur ein kleiner Schritt zu den allgemeinen Leistungsarten — der Wirkleistung, der Blindleistung und der Scheinleistung. Diese unterscheiden sich bei gemischten Bauteilen (Motoren, Trafos, Drosseln mit ohmschem Anteil) erheblich. Die Details dazu stehen im Beitrag Wirk-, Blind- und Scheinleistung.

Geräte, die sich im Wechselstromkreis praktisch wie ein reiner Wirkwiderstand verhalten, haben fast immer einen einzigen Zweck: Wärme erzeugen. Der elektrische Strom fließt durch einen Heizdraht aus Konstantan, Nickel-Chrom oder ähnlichen Widerstandslegierungen, dessen Geometrie und Material so ausgelegt sind, dass die gewünschte Verlustleistung als Wärme entsteht.

Typische Beispiele aus dem industriellen und privaten Alltag sind Tauchsieder, Wasserkocher, Heizpatronen in Spritzgießwerkzeugen, Heizmanschetten an Extruder-Zylindern, Heizstäbe in Boilern und Backöfen, sowie elektrische Bügeleisen. In allen Fällen ist die Last ohmsch — Strom und Spannung sind in Phase, der Leistungsfaktor ist 1, und die ganze aufgenommene Energie wird in Wärme umgewandelt.

Auch klassische Festwiderstände aus Kohleschicht oder Metallschicht zählen zu den Wirkwiderständen. Sie werden allerdings selten mit hohen Wechselleistungen betrieben, sondern dienen in Steuerungen, Messschaltungen oder elektronischen Baugruppen zur Strombegrenzung, Spannungsteilung oder als Messwiderstand (Shunt).

Eine wichtige Eigenschaft vieler Wirkwiderstände in der Praxis ist die Temperaturabhängigkeit des Widerstandswerts. Bei Heizdrähten aus Nickel-Chrom ist sie eher gering, bei reinen Metallen wie Wolfram oder Kupfer dagegen deutlich. Eine kalte Wolframwendel hat einen Widerstand von wenigen Ohm — im glühenden Zustand kann er auf das Zehnfache ansteigen. Das ist auch der Grund, warum klassische Glühlampen beim Einschalten kurz einen sehr hohen Stromimpuls ziehen.

Die Glühlampe selbst spielt in der heutigen Beleuchtung praktisch keine Rolle mehr — Allgebrauchs-Glühlampen sind in der EU seit Jahren nicht mehr im Handel. Wo das Glühlampenprinzip weiterhin vorkommt, sind Spezialanwendungen: Backofenlampen, Kühlschrankleuchten, manche Halogen-Stiftsockellampen sowie Wärmestrahler. Das Lehrbuchbeispiel „Glühlampe“ zur Veranschaulichung der Temperaturabhängigkeit bleibt dennoch nützlich, weil der Effekt dort sehr ausgeprägt ist.

Vom Wirkwiderstand klar abzugrenzen sind alle Geräte, in denen Wickelinduktivitäten oder Kapazitäten eine wesentliche Rolle spielen: Asynchronmotoren, Transformatoren, Vorschaltgeräte für Entladungslampen, Stromrichter, Schaltnetzteile. In diesen Lasten tritt eine Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung auf, und der Gesamtwiderstand ist nicht mehr rein ohmsch, sondern eine Kombination aus Wirk- und Blindwiderstand. Wie man damit rechnet, behandelt der Beitrag Scheinwiderstand (Impedanz).