Leistungsfaktor cos φ

Im reinen Gleichstromkreis ist die Sache einfach: Spannung mal Strom ergibt die Leistung, und alles davon ist Wirkleistung. Im Wechselstromkreis funktioniert das nur, solange der Verbraucher rein ohmsch ist. Sobald Spulen oder Kondensatoren im Spiel sind, läuft der Strom der Spannung zeitlich hinterher oder voraus — und das Produkt aus Effektivspannung und Effektivstrom liefert nicht mehr die wirklich nutzbare Leistung, sondern die Scheinleistung S in Voltampere.

Der Leistungsfaktor cos φ ist das Verhältnis aus tatsächlich genutzter Wirkleistung P und übertragener Scheinleistung S:

Anschaulich beantwortet cos φ die Frage: Wie viel von der ans Gerät angelieferten Scheinleistung wird wirklich in Wirkleistung umgesetzt?

Da P niemals größer als S werden kann, liegt cos φ immer zwischen 0 und 1. Zwei Grenzfälle:

• cos φ = 1: Wirk- und Scheinleistung sind gleich. Strom und Spannung sind in Phase. Typisch für reine Heizwiderstände, Glühlampen, klassische Boiler.
• cos φ = 0: Keine Wirkleistung, nur Pendelenergie. Theoretischer Grenzfall einer idealen Spule oder eines idealen Kondensators.

Reale Industrieverbraucher liegen meist zwischen 0,6 und 0,95. Ein Asynchronmotor unter Volllast erreicht typischerweise 0,85 bis 0,90.

Der griechische Buchstabe φ steht für den Phasenwinkel zwischen Strom und Spannung. Wo dieser Winkel herkommt, behandelt der Beitrag zur Phasenverschiebung ausführlich. Hier reicht die Kurzform:

• Ohmscher Widerstand: Strom und Spannung schwingen synchron, φ = 0°, cos φ = 1.
• Ideale Spule: Der Strom hinkt der Spannung um eine Viertelperiode nach, φ = +90°, cos φ = 0.
• Idealer Kondensator: Der Strom eilt der Spannung um eine Viertelperiode voraus, φ = −90°, cos φ = 0.

Reale Verbraucher haben immer auch einen ohmschen Anteil. Eine Motorwicklung ist etwa Spule (Induktivität) und Draht (Widerstand) zugleich — der Phasenwinkel liegt deshalb irgendwo zwischen 0° und 90°.

Der Leistungsfaktor ist genau der Cosinus dieses Winkels:

Das ist kein Zufall. Multipliziert man die Momentanwerte u(t) und i(t) eines verschobenen Sinussignals und mittelt über eine Periode, fällt aus der Mathematik genau der Faktor cos φ heraus. Mit anderen Worten: Der Cosinus des zeitlichen Versatzes zwischen Spannung und Strom ist exakt der Anteil, der „übrig bleibt“, wenn man von der scheinbaren Leistung U · I zur tatsächlichen Wirkleistung übergeht.

Daraus folgt eine wichtige Konsequenz für die Praxis: Je größer die Phasenverschiebung, desto schlechter der Leistungsfaktor — und desto mehr Strom muss fließen, um dieselbe Wirkleistung zu übertragen.

Aus der Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung folgt direkt, wie sich die übertragene Scheinleistung aufteilt: Ein Teil wird tatsächlich genutzt (Wirkleistung P in Watt), der andere pendelt nutzlos zwischen Quelle und Verbraucher (Blindleistung Q in var). Beide stehen senkrecht aufeinander und ergeben zusammen die Scheinleistung S in VA. Diese Beziehung lässt sich als rechtwinkliges Dreieck darstellen — das Leistungsdreieck.

Aus dem Leistungsdreieck folgen alle wichtigen Beziehungen direkt aus der Trigonometrie:

Und für die Hypotenuse gilt der Satz des Pythagoras:

Im Alltag kennt man oft nur zwei der vier Größen P, Q, S und cos φ — der Rest lässt sich daraus berechnen. Praktisch wichtig: Wenn am Motor-Typenschild Spannung U, Strom I und cos φ angegeben sind, berechnet sich die Wirkleistung im Drehstromnetz als P = √3 · U · I · cos φ. Im Einphasennetz fällt der Faktor √3 weg.

Der Leistungsfaktor allein sagt noch nichts darüber, welcher Art die Phasenverschiebung ist. cos(60°) und cos(−60°) ergeben beide 0,5 — der Cosinus ist eine gerade Funktion. In der Praxis muss zur Zahl deshalb dazu, ob es sich um eine induktive oder kapazitive Last handelt.

Übliche Kennzeichnung:

• induktiv (ind.): Strom eilt der Spannung nach. Die Last verhält sich „spulenartig“. Beispiele: Asynchronmotoren, Drosseln, Transformatoren, konventionelle Vorschaltgeräte.
• kapazitiv (kap.): Strom eilt der Spannung voraus. Die Last verhält sich „kondensatorartig“. Beispiele: Kompensationskondensatoren, lange unbelastete Kabel, manche elektronischen Schaltungen.

Wer eine Vorzeichenkonvention für φ verwendet, schreibt typischerweise φ > 0 für induktive und φ < 0 für kapazitive Lasten — der cos φ bleibt davon unberührt positiv. Eine Angabe wie „cos φ = 0,85 ind.“ ist daher in Praxis-Unterlagen erst die vollständige Information.

Bisher wurde stillschweigend vorausgesetzt, dass Strom und Spannung perfekte 50-Hz-Sinusschwingungen sind. Das stimmt im klassischen Netz mit Motoren, Trafos und Heizungen ganz gut. Sobald aber Geräte mit Leistungselektronik im Spiel sind — Schaltnetzteile, Frequenzumrichter, LED-Treiber ohne aktive Leistungsfaktorkorrektur, USV-Anlagen — ist der Strom kein reiner Sinus mehr, sondern enthält Oberschwingungen mit dem zwei-, drei- oder fünffachen der Netzfrequenz.

In diesem Fall reicht die bisherige Definition von cos φ nicht mehr aus, denn dieser bezieht sich streng genommen nur auf die 50-Hz-Grundschwingung. Neben der Verschiebung zwischen U und I gibt es jetzt zusätzlich eine Verzerrung der Stromkurve, die ebenfalls Blindleistung erzeugt — die sogenannte Verzerrungsblindleistung.

Zur Unterscheidung gilt:

• cos φ ist der Verschiebungsleistungsfaktor. Er berücksichtigt nur die Grundschwingung.
• λ (auch PF — Power Factor) ist der Wirkfaktor. Er bezieht die gesamte Wirkleistung auf die gesamte Scheinleistung, also einschließlich aller Oberschwingungen:

Bei reinem Sinus gilt λ = cos φ. Bei nichtlinearen Lasten ist immer λ ≤ cos φ. Ein PC-Netzteil ohne Leistungsfaktorkorrektur kann zum Beispiel einen cos φ nahe 1 aufweisen — denn die Grundschwingung von Strom und Spannung ist in Phase — und gleichzeitig einen Wirkfaktor von nur 0,5 bis 0,7, weil der Strom in kurzen, hohen Spitzen fließt und damit stark oberschwingungshaltig ist.

Anschaulich erweitert sich dabei das gewohnte Leistungsdreieck zu einer Leistungspyramide: Neben Wirkleistung P und Grundschwingungs-Blindleistung Q₁ tritt die Verzerrungsblindleistung D als dritte, senkrecht stehende Komponente hinzu. Die Gesamt-Scheinleistung S ergibt sich dann nach S² = P² + Q₁² + D² und ist entsprechend größer als die rein aus cos φ ableitbare Scheinleistung.

Für die Praxis heißt das: Moderne Energie- und Netzanalysatoren zeigen häufig den Wirkfaktor λ (gelegentlich auch „PF“ beschriftet), nicht den klassischen cos φ. Wer beide gleichsetzt, kann sich um Faktoren verschätzen.

Bisher war cos φ vor allem ein Verhältnis aus zwei Leistungen. Praktisch wirkt er sich aber sehr handfest aus — über den Strom, der durch die Leitungen fließt. Aus dem Leistungsdreieck und P = U · I · cos φ folgt:

Im Drehstromnetz mit der Außenleiterspannung U gilt entsprechend:

Eine 10-kW-Maschine an 400 V Drehstrom zieht bei cos φ = 0,9 rund 16 A. Sinkt der Leistungsfaktor auf 0,7, fließen für dieselbe abgegebene Wirkleistung etwa 21 A — fast 30 % mehr Strom, ohne dass die Maschine ein einziges Watt mehr leistet. Die Folgen ziehen sich durch die ganze Anlage:

• Größere Leiterquerschnitte oder höhere Erwärmung bestehender Leitungen
• Höhere ohmsche Verluste in Zuleitung und Trafo (Verluste wachsen mit dem Quadrat des Stroms)
• Schlechtere Auslastung des speisenden Transformators
• Höhere Spannungsabfälle entlang der Leitung

Genau deshalb interessiert sich der Netzbetreiber für den cos φ seiner Industriekunden. In Österreich verlangen die Verteilnetzbetreiber bei größeren Anlagen üblicherweise einen Mindest-cos-φ von rund 0,9. Wird dieser unterschritten, kommen Blindarbeitszähler ins Spiel. Verrechnet wird die Blindarbeit typischerweise, sobald sie etwa 50 % der bezogenen Wirkarbeit übersteigt — das entspricht in der Energiebilanz einem cos φ unterhalb von etwa 0,9 (bzw. tan φ größer als 0,5). Die genauen Schwellen stehen in den Allgemeinen Verteilnetzbedingungen des jeweiligen Netzbetreibers.

Verbessern lässt sich der cos φ durch Blindleistungskompensation. Im einfachsten Fall wird parallel zu induktiven Lasten ein Kondensator geschaltet, der die Blindleistung lokal bereitstellt, statt sie aus dem Netz zu beziehen. Wie eine solche Kompensation im Detail aufgebaut, dimensioniert und betrieben wird — Einzel-, Gruppen- und Zentralkompensation, verdrosselte Anlagen, automatische Reglerstufen — behandelt der Beitrag Blindleistungskompensation.