Phasenverschiebung und Zeigerdiagramme

Zwei Wechselgrößen der gleichen Frequenz müssen nicht zur selben Zeit ihren Nulldurchgang haben. Wenn der Strom seinen Nulldurchgang erst eine Weile nach der Spannung erreicht, sind die beiden Größen zeitlich gegeneinander verschoben. Diese zeitliche Verschiebung nennt man Phasenverschiebung, ihre Größe wird als Phasenverschiebungswinkel φ angegeben.

Die folgende Darstellung zeigt zwei phasenverschobene Sinusgrößen: eine Spannung u(t) und einen Strom i(t). Beide haben die gleiche Frequenz, beide bewegen sich um die Nulllinie. Der Strom läuft hier der Spannung zeitlich hinterher — sein Nulldurchgang kommt um Δt später.

Aus dem zeitlichen Versatz Δt und der Periodendauer T lässt sich der Phasenverschiebungswinkel ablesen. Wichtig: Phasenverschiebung ist nur zwischen zwei Größen gleicher Frequenz definiert. Bei unterschiedlichen Frequenzen würde sich der Versatz ständig ändern — von einer festen Phasenverschiebung könnte man dann nicht mehr sprechen.

Üblicherweise wählt man eine der beiden Größen als Bezug. Im Wechselstromkreis ist das meistens die Spannung. Die andere Größe — meistens der Strom — wird relativ dazu betrachtet. Daraus ergeben sich vier typische Lagen:

In dieser Tabelle gilt die in der Wechselstromtechnik übliche Vorzeichenkonvention: φ ist positiv, wenn die betrachtete Größe der Bezugsgröße vorauseilt. Manche Bücher kehren diese Konvention um — beim Lesen also immer kurz prüfen, welche Festlegung gilt.

Den zeitlichen Versatz Δt gibt man in der Praxis selten als reine Zeitangabe an. Üblicher ist die Umrechnung in einen Winkel — und zwar wahlweise in Grad oder im Bogenmaß. Der Grund ist einfach: Eine volle Periode T entspricht genau einer vollen Umdrehung, also 360° bzw. 2π Radiant.

Daraus ergibt sich der Phasenwinkel über den Anteil, den Δt an der Periodendauer hat:

Im Bogenmaß lautet dieselbe Beziehung:

Wer schon mit der Kreisfrequenz ω rechnet, kann das noch kürzer schreiben. Mit ω = 2π/T folgt direkt:

Welche Variante man verwendet, ist Geschmackssache — solange man sauber zwischen Grad und Radiant unterscheidet. Beim Rechnen am Taschenrechner ist das eine häufige Fehlerquelle: Steht der Rechner auf „DEG“ oder auf „RAD“, liefert er für sin(1) völlig unterschiedliche Werte. Bei Berechnungen mit der Kreisfrequenz im Argument der Sinusfunktion (also u(t) = û·sin(ω·t)) ist immer das Bogenmaß gemeint.

Vorzeichen

Das Vorzeichen von φ folgt der Konvention aus Kapitel 1: positiv bedeutet vorauseilend, negativ bedeutet nachlaufend — jeweils bezogen auf die gewählte Bezugsgröße. Wenn der Strom in einem RL-Kreis der Spannung um Δt hinterherhinkt, ist sein Phasenwinkel negativ, weil er nachläuft.

Eine sinusförmige Wechselgröße lässt sich auch ganz anders darstellen: nicht als Kurve in einem Zeit-Diagramm, sondern als rotierender Pfeil — ein Drehzeiger. Dieser Zeiger hat eine feste Länge (entspricht der Amplitude) und dreht sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit gegen den Uhrzeigersinn um einen festen Punkt.

Trägt man die senkrechte Komponente der Zeigerspitze über der Zeit auf, ergibt sich genau die zugehörige Sinuskurve. Mathematisch ist das einfach die Definition der Sinusfunktion am Einheitskreis — nur erweitert um eine beliebige Länge und eine beliebige Drehgeschwindigkeit:

Die folgende Darstellung zeigt diesen Zusammenhang. Links rotiert der Zeiger im Kreis, rechts entsteht durch Projektion die Sinuskurve. Zur Zeit ω·t = 60° steht der Zeiger im linken Bild schräg nach oben rechts — die rote, gestrichelte Linie führt waagrecht zur entsprechenden Stelle auf der Sinuskurve, wo der Momentanwert genauso groß ist wie die senkrechte Komponente der Zeigerspitze.

Vom Drehzeiger zum statischen Zeigerdiagramm

Wenn man mehrere Wechselgrößen gleicher Frequenz darstellt, drehen sich auch alle zugehörigen Zeiger mit derselben Kreisfrequenz ω. Das heißt: Die relative Lage der Zeiger zueinander bleibt konstant. Genau das nutzt man aus. Statt die Zeiger ständig mitlaufen zu lassen, friert man die ganze Szene zu einem beliebigen Zeitpunkt ein — meistens bei t = 0. Übrig bleibt ein Zeigerdiagramm: eine statische Momentaufnahme, in der nur noch die Längen und die Winkel zwischen den Zeigern interessieren.

Eine Konvention hat sich dabei durchgesetzt: Statt mit den Spitzenwerten û arbeitet man im Zeigerdiagramm meistens mit den Effektivwerten U. Die Effektivwerte sind kleiner als die Spitzenwerte (um den Faktor √2), aber sie sind genau die Werte, die ein Multimeter anzeigt. Damit lassen sich die Zeigerlängen direkt mit Messwerten vergleichen.

Phasenlage an R, L und C

In der Wechselstromtechnik trifft man fast überall auf drei Grundbauelemente: den ohmschen Widerstand, die Spule und den Kondensator. Jedes davon erzeugt ein eigenes typisches Verhalten zwischen Strom und Spannung. Im Zeigerdiagramm sieht das so aus:

Beim Widerstand sind Strom und Spannung in Phase. Die Zeiger zeigen in dieselbe Richtung, der Phasenwinkel ist null. Bei der Spule läuft der Strom der Spannung um 90° nach: Der I-Zeiger ist gegenüber dem U-Zeiger im Uhrzeigersinn um eine Viertelumdrehung zurückgedreht. Beim Kondensator ist es genau umgekehrt — der Strom eilt der Spannung um 90° voraus.

Warum das so ist und wie sich daraus die Begriffe Wirkwiderstand und Blindwiderstand ergeben, behandeln die jeweiligen Detail-Beiträge:

• Wirkwiderstand im Wechselstromkreis
• Spule im Wechselstromkreis – induktiver Blindwiderstand
• Kondensator im Wechselstromkreis – kapazitiver Blindwiderstand

In einer Reihenschaltung aus mehreren Bauelementen fällt an jedem Bauelement eine Teilspannung ab. Die Gesamtspannung ist nach Kirchhoff die Summe der Teilspannungen — bei Gleichstrom heißt das einfach U_ges = U_1 + U_2. Bei Wechselstrom ist das aber nur dann richtig, wenn die Teilspannungen in Phase sind. Sobald sie phasenverschoben sind, scheitert das einfache Addieren.

Ein konkretes Beispiel macht das deutlich: An einem Widerstand werden 60 V Effektivwert gemessen, an einer Spule 80 V, beide in derselben Reihenschaltung. Misst man die Gesamtspannung, zeigt das Multimeter aber nicht 140 V an, sondern 100 V. Wer rein arithmetisch addiert, kommt zu einem Ergebnis, das mit der Realität nichts zu tun hat.

Der Grund liegt in der Phasenverschiebung: Am Widerstand sind u_R und i in Phase, an der Spule eilt der Spannungszeiger U_L dem Strom um 90° voraus. U_R und U_L stehen damit im Zeigerdiagramm senkrecht aufeinander. Senkrechte Zeiger lassen sich nicht arithmetisch addieren — sie müssen geometrisch zusammengesetzt werden.

Geometrische Addition: Parallelogramm und Pythagoras

Zeiger werden wie Vektoren addiert: Zwei Zeiger spannen ein Parallelogramm auf, dessen Diagonale die Resultierende ist. Beim Sonderfall 90° Phasenversatz wird aus dem Parallelogramm ein Rechteck — und aus der Diagonalen die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks. Damit gilt der Satz des Pythagoras:

Der Phasenwinkel der Resultierenden gegenüber der Bezugsgröße ergibt sich aus dem Tangens:

Zurück zum Beispiel: U_R = 60 V, U_L = 80 V, beide stehen senkrecht aufeinander. Das Zeigerdiagramm dazu sieht so aus:

U_ges errechnet sich zu √(60² + 80²) = √(3600 + 6400) = √10000 = 100 V. Der Phasenwinkel beträgt arctan(80/60) = arctan(1,333) ≈ 53,13°. Die Gesamtspannung ist also nicht 140 V (arithmetisch), sondern 100 V (geometrisch) — und sie eilt dem Strom um rund 53° voraus.