Gemischte Schaltungen

Eine gemischte Schaltung ist eine Schaltung, in der Reihen- und Parallelteile in einem Stromkreis kombiniert vorkommen. Das einfachste Beispiel: ein Widerstand R1, der mit einer Parallelschaltung aus R2 und R3 in Reihe liegt – versorgt aus einer Quelle mit der Spannung U.

Die beiden Bausteine sind aus den vorigen Beiträgen bekannt: In einer Reihenschaltung fließt durch alle Bauteile derselbe Strom, die Spannung teilt sich auf. In einer Parallelschaltung liegt an allen Zweigen dieselbe Spannung, der Strom teilt sich auf. Diese beiden Eigenschaften sind das Werkzeug, mit dem wir jede gemischte Schaltung in den Griff bekommen.

Das Ziel der Analyse ist meist dasselbe: zuerst den Ersatzwiderstand der gesamten Schaltung finden – jenen einzigen Widerstandswert, den die Quelle U „sieht“, wenn sie die Gesamtschaltung speist. Die Punkte A und B im Schaltbild sind die Knotenpunkte, an denen sich der Strom in den Parallelblock aufteilt und wieder zusammenführt – sie markieren Einstieg und Ausstieg des Parallelteils, nicht die Klemmen der Gesamtschaltung. Aus dem Ersatzwiderstand folgt mit dem Ohmschen Gesetz der Gesamtstrom, und von dort aus lassen sich Schritt für Schritt alle Teilspannungen und Teilströme bestimmen.

Wie kommt man jetzt vom Schaltplan zum Ersatzwiderstand? Die Strategie ist immer dieselbe: Man sucht die innerste zusammenfassbare Gruppe – also einen Reihen- oder Parallelblock, der für sich alleine steht – und fasst diese zu einem einzigen Ersatzwiderstand zusammen. Damit hat sich die Schaltung um eine Ebene vereinfacht. Mit der nun einfacheren Schaltung wiederholt man das Verfahren, bis nur noch ein einziger Widerstand übrig ist: R_ges.

Beim Zerlegen ist die wichtigste Frage: Was ist parallel, was ist in Reihe?

• Zwei Widerstände sind in Reihe, wenn zwischen ihnen ein Punkt liegt, an dem kein weiterer Leiter abzweigt – derselbe Strom fließt durch beide.
• Zwei Widerstände sind parallel, wenn ihre beiden Anschlüsse jeweils am selben Knotenpaar hängen – an beiden liegt dieselbe Spannung.

Für die beiden Bausteine gelten die bekannten Formeln:

Für genau zwei Widerstände in Parallelschaltung lässt sich die Formel auf eine kürzere Form bringen, die in der Praxis schneller geht:

Wendet man das auf die Beispielschaltung aus Kapitel 1 an, läuft die Reduktion in zwei Stufen ab: zuerst R2 und R3 zu einem Parallel-Ersatzwiderstand R_23 zusammenfassen, dann R1 mit R_23 als reine Reihenschaltung zum Gesamt-Ersatzwiderstand R_ges kombinieren.

Die Schreibweise R_23 für „R2 und R3 parallel zusammengefasst“ ist üblich und macht das Mitführen langer Formeln einfacher. Wenn eine Schaltung viele Ebenen tief verschachtelt ist, hilft es, jede Zwischenstufe eindeutig zu benennen: R_45 für die nächste Parallelgruppe, R_123 für eine größere Untergruppe, und so weiter.

Den Ersatzwiderstand haben wir – jetzt geht es rückwärts zu den einzelnen Strömen und Spannungen. Das Vorgehen läuft immer in derselben Reihenfolge ab:

1. Gesamtstrom mit dem Ohmschen Gesetz aus U_ges und R_ges berechnen.
2. Spannung am Reihenteil bestimmen (auch wieder mit dem Ohmschen Gesetz).
3. Mit der Maschenregel die Spannung am Parallelteil ermitteln.
4. Mit der Knotenregel die Teilströme im Parallelteil berechnen.

Das wendet man auf die Schaltung aus Kapitel 1 an (R1 in Reihe zur Parallelschaltung von R2 und R3):

Dieser Gesamtstrom fließt durch alle Bauteile, die in Reihe mit der Gesamtschaltung liegen – hier also durch R1. Die Spannung an R1 ergibt sich aus dem Ohmschen Gesetz:

Die Spannung am Parallelblock folgt aus der Maschenregel. Wandert man die Hauptmasche entlang (Quelle → R1 → Parallelblock → zurück), addieren sich alle Spannungsabfälle zur Quellenspannung:

Diese Spannung U_23 liegt an beiden Parallelwiderständen gleichzeitig. Die Teilströme folgen für jeden Zweig wieder mit dem Ohmschen Gesetz:

Als Kontrolle muss die Knotenregel erfüllt sein: An dem Knoten zwischen R1 und dem Parallelblock fließt I_ges hinein, und I_2 sowie I_3 fließen wieder heraus. Also gilt I_ges = I_2 + I_3. Stimmt das nicht, hat sich irgendwo ein Rechenfehler eingeschlichen.

Zwei wichtige Spezialfälle für die Aufteilung von Spannung und Strom haben eigene Beiträge: Wenn nur die Verteilung der Spannung auf zwei in Reihe liegende Widerstände interessiert, hilft die kompakte Formel des Spannungsteilers. Geht es um die Verteilung des Stroms auf zwei parallele Zweige, ist die Formel des Stromteilers der schnellere Weg.

In der Praxis sind Schaltpläne nicht immer übersichtlich von links nach rechts gezeichnet. Bauteile sitzen dort, wo sie auf der Leiterplatte räumlich passen, und die elektrische Verschaltung muss man aus dem Liniennetz herauslesen. Zwei Tests helfen bei der Strukturierung:

Wenn das Auge die Struktur nicht sofort erfasst, hilft das Umzeichnen: Alle Knotenpunkte werden im Schaltplan markiert und nummeriert. Anschließend zeichnet man die Schaltung sauber neu – die Knoten in eine logische Reihenfolge und die Widerstände dazwischen. Wichtig ist dabei nur, dass die Topologie unverändert bleibt: Welcher Anschluss hängt an welchem Knoten? Solange das stimmt, ist die neue Zeichnung elektrisch identisch mit der alten, aber meist deutlich leichter zu zerlegen.

Grenze der Methode: Brückenschaltungen

Es gibt Schaltungen, die sich grundsätzlich nicht in reine Reihen- und Parallelblöcke zerlegen lassen. Klassischer Vertreter ist die Brückenschaltung – vier Widerstände in Rautenform mit einem Querzweig in der Mitte. Wegen dieses Querzweigs sind die vier Außenwiderstände weder paarweise parallel noch in zwei sauber trennbaren Reihenpfaden angeordnet. Für die Analyse braucht es erweiterte Verfahren wie das direkte Aufstellen aller Knoten- und Maschengleichungen oder die Stern-Dreieck-Umwandlung. In der Praxis trifft man die Brückenschaltung vor allem in der Messtechnik – ihre wichtigste Anwendung ist beim Dehnungsmessstreifen (DMS).