RL-Schaltung

Wo eine Spule am Wechselstrom hängt, ist meist auch ein Widerstand mit im Spiel — schon allein der ohmsche Widerstand der Kupferwicklung lässt sich nicht wegdiskutieren. Eine reine Induktivität gibt es in der Praxis nicht; sobald ein Strom durch eine Spule fließt, hat man immer eine RL-Schaltung vor sich. Aus dieser Kombination ergeben sich Phasenverschiebungen, eine zusammengesetzte Impedanz und ein Frequenzverhalten, das man rechnerisch klar in den Griff bekommt.

Im Folgenden wird das Verhalten von Widerstand und Spule in Reihen- und Parallelschaltung behandelt — mit Zeigerdiagrammen, Widerstands- und Leitwertdreieck sowie der Grenzfrequenz beim Einsatz als Filter.

Vorwissen

Lernziele

Nach diesem Beitrag kannst du:

  • die RL-Reihen- und Parallelschaltung im Wechselstromkreis erklären und in einem Zeigerdiagramm darstellen
  • Impedanz Z und Phasenwinkel φ für beide Schaltungsarten aus R und X_L berechnen
  • das Widerstandsdreieck und das Leitwertdreieck zur Lösung typischer Aufgaben anwenden
  • die Filterwirkung einer RL-Schaltung beschreiben und die Grenzfrequenz f_g bestimmen

1. Was ist eine RL-Schaltung?

Eine RL-Schaltung ist ein Wechselstromkreis, in dem ein ohmscher Widerstand R und eine Spule mit der Induktivität L gemeinsam betrieben werden. Beide Bauteile reagieren grundlegend verschieden auf Wechselstrom: am Widerstand sind Strom und Spannung gleichphasig, an der Spule eilt die Spannung dem Strom um 90° voraus. Werden R und L kombiniert, mischt sich dieses Verhalten — und genau das macht die RL-Schaltung interessant.

Je nach Anordnung gibt es zwei Grundformen:

  • Reihenschaltung: R und L hintereinander, gleicher Strom durch beide Bauteile, die Spannungen teilen sich auf.
  • Parallelschaltung: R und L nebeneinander an derselben Spannung, der Strom teilt sich auf die beiden Zweige auf.

Im Schaltbild taucht eine RL-Schaltung selten als „zwei extra eingebaute Bauteile“ auf. Sie ist meistens die Ersatzschaltung eines realen Bauteils oder einer realen Last:

  • Eine Drosselspule, Schützspule oder Magnetventilspule hat neben ihrer Induktivität immer einen Wicklungswiderstand.
  • Eine Asynchronmaschine verhält sich am Netz wie ein RL-Verbraucher: Wirkwiderstand durch die Wicklungen und Verluste, Induktivität durch das Magnetfeld.
  • In Vorschaltgeräten klassischer Leuchtstofflampen sitzt eine Drossel als RL-Element zur Strombegrenzung.
  • EMV-Filter und Netzdrosseln vor Frequenzumrichtern arbeiten ebenfalls als RL-Glieder.

Warum ist praktisch jede reale Spule am Wechselstromnetz eigentlich eine RL-Schaltung?

  • a) Weil parallel zur Spule immer ein Widerstand verbaut wird
  • b) Weil der Eisenkern als Widerstand wirkt
  • c) Weil der Wicklungsdraht selbst einen ohmschen Widerstand hat
  • d) Weil das Netz zusätzlich Wirkleistung erzwingt

Richtig: c)

Die Kupferwicklung hat einen endlichen Widerstand, der in Serie zur reinen Induktivität liegt. Antwort a) trifft nicht zu, weil kein zusätzlicher Widerstand verbaut werden muss. Der Eisenkern (b) wirkt magnetisch, nicht als ohmscher Widerstand. d) verwechselt Ursache und Wirkung — Wirkleistung entsteht durch den vorhandenen Widerstand, sie verursacht ihn nicht.

Welche Aussage über Reihen- und Parallelschaltung von R und L trifft zu?

  • a) In der Reihenschaltung ist der Strom durch R und L gleich, in der Parallelschaltung die Spannung an R und L gleich
  • b) In der Reihenschaltung ist die Spannung an R und L gleich, in der Parallelschaltung der Strom durch R und L gleich
  • c) In beiden Schaltungen sind sowohl Strom als auch Spannung gleich
  • d) In beiden Schaltungen sind weder Strom noch Spannung gleich

Richtig: a)

Reihenschaltung bedeutet identischer Strom durch alle Bauteile, Parallelschaltung bedeutet identische Spannung an allen Zweigen. Diese Grundregel gilt unverändert auch in Wechselstromschaltungen, allerdings müssen Spannungen und Ströme dort als Zeiger (vektoriell) zusammengefasst werden.

Eine Schützspule wird mit dem Multimeter im Gleichstrom-Widerstandsbereich gemessen und zeigt 1,5 kΩ. Im 230-V-Wechselstromnetz fließt ein deutlich kleinerer Strom als bei Anwendung des reinen Ohmschen Gesetzes erwartet. Warum?

  • a) Die Spannung sinkt durch das Anziehen des Schützes ab
  • b) Die Wicklung erwärmt sich und der Widerstand steigt schlagartig
  • c) Das Multimeter zeigt am Gleichstrom einen falschen Wert
  • d) Der induktive Blindwiderstand X_L tritt zum ohmschen Anteil hinzu und vergrößert die Gesamtimpedanz

Richtig: d)

Im Wechselstromkreis wirkt zusätzlich der induktive Blindwiderstand der Spule. Die Gesamtimpedanz Z ist größer als R, also fließt weniger Strom. a) ist nicht der Hauptgrund — die Netzspannung bleibt im Wesentlichen stabil. b) ist marginal, der Widerstand steigt zwar leicht mit der Temperatur, aber nicht in dieser Größenordnung. c) trifft nicht zu, das Multimeter misst korrekt — am Gleichstrom gibt es eben kein X_L.

2. RL-Reihenschaltung: Spannungen und Zeigerdiagramm

In der Reihenschaltung fließt durch R und L derselbe Strom. Dieser Strom I wird daher als Bezugsgröße im Zeigerdiagramm gewählt — er liegt waagrecht.

Die Spannungen verhalten sich dagegen sehr unterschiedlich:

  • Die Spannung U_R am Widerstand ist mit dem Strom in Phase, ihr Zeiger zeigt in dieselbe Richtung wie I.
  • Die Spannung U_L an der Spule eilt dem Strom um 90° voraus, ihr Zeiger steht senkrecht auf dem Strom-Zeiger.

Daraus ergibt sich ein rechtwinkliges Spannungsdreieck. Die Gesamtspannung U_ges, die an der Reihenschaltung anliegt, ist die geometrische (vektorielle) Summe der beiden Teilspannungen.

U_ges = √(U_R² + U_L²)

  • U_ges … Gesamtspannung in V
  • U_R ….. Spannung am Widerstand in V
  • U_L ….. Spannung an der Spule in V

Der Phasenwinkel φ zwischen Gesamtspannung und Strom ergibt sich aus dem Verhältnis der beiden Teilspannungen:

tan φ = U_L / U_R

  • φ ….. Phasenwinkel zwischen U_ges und I in Grad
  • U_R … Spannung am Widerstand in V
  • U_L … Spannung an der Spule in V

Ein positives φ bedeutet hier: die Gesamtspannung eilt dem Strom voraus — die Schaltung wirkt induktiv. Je größer der induktive Anteil U_L im Vergleich zu U_R, desto näher rückt φ an 90° heran.

RL-Reihenschaltung U R U_R L U_L I Spannungs- zeigerdiagramm I (Referenz) U_R U_L U_ges φ

Gelöstes Beispiel

An einer Reihenschaltung aus Widerstand und Spule wird die Spannung U_R = 120 V am Widerstand und U_L = 160 V an der Spule gemessen. Berechne die Gesamtspannung U_ges und den Phasenwinkel φ.

Gegeben: U_R = 120 V; U_L = 160 V

Gesucht: U_ges in V, φ in Grad

Lösungsweg:

  1. Gesamtspannung: U_ges = √(U_R² + U_L²) = √(120² + 160²) = √(14 400 + 25 600) = √40 000 = 200 V
  2. Phasenwinkel: tan φ = U_L / U_R = 160 / 120 = 1,333; φ = arctan(1,333) ≈ 53,13°

Ergebnis: U_ges = 200 V, φ ≈ 53,13°

Übungen

An einer RL-Reihenschaltung liegen U_R = 90 V und U_L = 120 V. Berechne U_ges.

U_ges = √(90² + 120²) = √22 500 = 150 V

Gegeben sind U_ges = 230 V und U_R = 184 V. Berechne U_L.

U_L = √(U_ges² − U_R²) = √(230² − 184²) = √(52 900 − 33 856) = √19 044 ≈ 138,0 V

Bei U_R = 100 V und U_L = 100 V — berechne U_ges und φ.

U_ges = √(100² + 100²) = √20 000 ≈ 141,4 V; tan φ = 1 → φ = 45°

Eine Drossel zeigt bei einem Strom von 2 A am Wicklungswiderstand U_R = 30 V, an der Induktivität U_L = 96 V. Welche Gesamtspannung liegt an der Drossel?

U_ges = √(30² + 96²) = √(900 + 9 216) = √10 116 ≈ 100,6 V

An einer RL-Reihenschaltung liegt U_ges = 400 V bei einem Phasenwinkel φ = 60°. Berechne U_R und U_L.

U_R = U_ges · cos φ = 400 · 0,5 = 200 V; U_L = U_ges · sin φ = 400 · 0,866 ≈ 346,4 V

An einer RL-Reihenschaltung wird U_R = 120 V und U_L = 50 V gemessen. Wie groß ist die Gesamtspannung U_ges?

  • a) 170 V
  • b) 130 V
  • c) 70 V
  • d) 110 V

Richtig: b)

U_ges = √(120² + 50²) = √(14 400 + 2 500) = √16 900 = 130 V. a) wäre die arithmetische Addition (falsch im Wechselstromkreis), c) die Differenz (ebenfalls falsch), d) ein erfundener Zwischenwert.

Was beschreibt der Phasenwinkel φ in einer RL-Reihenschaltung?

  • a) den Winkel zwischen U_R und U_L
  • b) den Winkel zwischen Strom und Magnetfeld
  • c) den Winkel zwischen U_R und I
  • d) den Winkel zwischen Gesamtspannung U_ges und Strom I

Richtig: d)

φ misst die Phasenverschiebung zwischen der von außen anliegenden Gesamtspannung und dem durchfließenden Strom. a) ist immer 90° und wäre trivial, b) ist unsinnig, c) ist immer 0°, da U_R definitionsgemäß in Phase mit I liegt.

Eine RL-Reihenschaltung hat φ = 0°. Welche Aussage stimmt?

  • a) U_L ist null — die Schaltung verhält sich rein ohmsch
  • b) U_R ist null — die Schaltung verhält sich rein induktiv
  • c) U_R und U_L sind gleich groß
  • d) U_ges ist null

Richtig: a)

φ = 0° heißt: U_ges fällt mit U_R zusammen, also gibt es keinen induktiven Spannungsanteil und somit kein U_L. Die Schaltung wirkt wie ein reiner Widerstand. b) gilt für φ = 90°, c) gilt für φ = 45°, d) ist Unsinn.

3. Impedanz und Phasenwinkel der RL-Reihenschaltung

Das Spannungsdreieck lässt sich Schritt für Schritt in ein Widerstandsdreieck übersetzen, indem man jede Teilspannung durch den (gemeinsamen) Strom I dividiert. Aus den Spannungen werden so Widerstände — und zwar zwei verschiedene Arten:

  • U_R / I = R (Wirkwiderstand)
  • U_L / I = X_L (induktiver Blindwiderstand)
  • U_ges / I = Z (Scheinwiderstand, kurz Impedanz)

Da die Division durch eine reelle Zahl keine Winkel verändert, hat das Widerstandsdreieck genau dieselbe Form wie das Spannungsdreieck. R liegt waagrecht, X_L senkrecht darauf, Z bildet die Hypotenuse — und der Winkel zwischen R und Z ist wieder φ.

Z = √(R² + X_L²)

  • Z …. Impedanz in Ω
  • R …. Wirkwiderstand in Ω
  • X_L .. induktiver Blindwiderstand in Ω

Für den Phasenwinkel ergeben sich aus dem rechtwinkligen Dreieck die bekannten trigonometrischen Beziehungen:

tan φ = X_L / R
cos φ = R / Z
sin φ = X_L / Z

  • φ …. Phasenwinkel in Grad

Welche Variante man wählt, hängt davon ab, was gegeben ist. Sind R und X_L bekannt, ist tan φ am schnellsten. Sind R und Z bekannt, nimmt man cos φ. Das Ergebnis ist mathematisch immer dasselbe.

Widerstandsdreieck der RL-Reihenschaltung R X_L Z φ

Gelöstes Beispiel

Eine RL-Reihenschaltung besteht aus R = 60 Ω und X_L = 80 Ω. Berechne die Impedanz Z, den Phasenwinkel φ und den Strom bei U_ges = 230 V.

Gegeben: R = 60 Ω; X_L = 80 Ω; U_ges = 230 V

Gesucht: Z, φ, I

Lösungsweg:

  1. Impedanz: Z = √(R² + X_L²) = √(60² + 80²) = √(3 600 + 6 400) = √10 000 = 100 Ω
  2. Phasenwinkel: tan φ = X_L / R = 80 / 60 = 1,333; φ ≈ 53,13°
  3. Strom: I = U_ges / Z = 230 V / 100 Ω = 2,3 A

Ergebnis: Z = 100 Ω, φ ≈ 53,13°, I = 2,3 A

Übungen

Eine RL-Reihenschaltung hat R = 40 Ω und X_L = 30 Ω. Berechne die Impedanz Z.

Z = √(40² + 30²) = √2 500 = 50 Ω

Berechne den Phasenwinkel einer Reihenschaltung mit R = 100 Ω und X_L = 100 Ω.

tan φ = 100/100 = 1 → φ = 45°

Eine Drossel hat R = 5 Ω und L = 50 mH. Bei f = 50 Hz — wie groß ist die Impedanz?

X_L = 2π · 50 · 0,05 ≈ 15,71 Ω; Z = √(5² + 15,71²) ≈ √(25 + 246,8) ≈ √271,8 ≈ 16,49 Ω

Bei einer RL-Reihenschaltung mit Z = 250 Ω und R = 150 Ω — wie groß ist X_L und φ?

X_L = √(Z² − R²) = √(62 500 − 22 500) = √40 000 = 200 Ω; cos φ = R/Z = 0,6 → φ ≈ 53,13°

Eine Schützspule wird mit Gleichstrom gemessen: R = 1,2 kΩ. An 230 V / 50 Hz fließen 110 mA. Welcher induktive Blindwiderstand liegt vor?

Z = U/I = 230 / 0,110 ≈ 2 091 Ω; X_L = √(Z² − R²) = √(2 091² − 1 200²) = √(4 372 281 − 1 440 000) = √2 932 281 ≈ 1 712 Ω

Eine RL-Reihenschaltung hat R = 30 Ω und X_L = 40 Ω. Wie groß ist die Impedanz Z?

  • a) 10 Ω
  • b) 70 Ω
  • c) 50 Ω
  • d) 1200 Ω

Richtig: c)

Z = √(30² + 40²) = √2 500 = 50 Ω. a) wäre die Differenz, b) die arithmetische Summe, d) das Produkt — alle drei sind im Wechselstromkreis nicht zulässig.

Welche Beziehung gilt im Widerstandsdreieck der RL-Reihenschaltung?

  • a) R = √(Z² + X_L²)
  • b) cos φ = R / Z
  • c) Z = R − X_L
  • d) tan φ = R / X_L

Richtig: b)

Im rechtwinkligen Dreieck mit Hypotenuse Z liegt R als Ankathete zum Winkel φ — daher cos φ = R/Z. a) ist eine ungültige Umformung des Pythagoras, c) ignoriert den geometrischen Zusammenhang, d) verwechselt Gegen- und Ankathete — das gilt erst in der Parallelschaltung.

Bei welchem Verhältnis R/X_L wird der Phasenwinkel genau 45°?

  • a) R = X_L
  • b) R = 2 · X_L
  • c) R = X_L / 2
  • d) R = √2 · X_L

Richtig: a)

tan φ = X_L / R = 1 ergibt φ = 45°, also muss R = X_L sein. b) führt auf φ ≈ 26,6°, c) auf φ ≈ 63,4°, d) auf φ ≈ 35,3°.

4. RL-Parallelschaltung: Ströme und Zeigerdiagramm

In der Parallelschaltung liegen R und L an derselben Spannung U. Diese Spannung wird damit zur natürlichen Bezugsgröße im Zeigerdiagramm — der U-Zeiger liegt waagrecht.

Durch die beiden Zweige fließen unterschiedliche Ströme:

  • Der Strom I_R durch den Widerstand ist mit U in Phase, sein Zeiger zeigt in dieselbe Richtung wie U.
  • Der Strom I_L durch die Spule eilt der Spannung um 90° nach, sein Zeiger steht senkrecht zu U und zeigt nach unten.

Diese Nacheilung hat denselben physikalischen Hintergrund wie das Voreilen der Spannung gegenüber dem Strom in der Reihenschaltung — es ist nur dieselbe Beziehung aus dem anderen Blickwinkel betrachtet. An der Spule gilt immer: Spannung eilt dem Strom 90° voraus, gleichbedeutend mit: Strom eilt der Spannung 90° nach.

Der Gesamtstrom ergibt sich wieder aus der geometrischen Addition:

I_ges = √(I_R² + I_L²)

  • I_ges … Gesamtstrom in A
  • I_R ….. Strom durch den Widerstand in A
  • I_L ….. Strom durch die Spule in A

Der Phasenwinkel zwischen Gesamtstrom und Spannung berechnet sich aus den beiden Teilströmen:

tan φ = I_L / I_R

  • φ ….. Phasenwinkel zwischen U und I_ges in Grad
  • I_R … Strom durch den Widerstand in A
  • I_L … Strom durch die Spule in A
RL-Parallelschaltung U R I_R L I_L I_ges Stromzeigerdiagramm U (Referenz) I_R I_L I_ges φ

Gelöstes Beispiel

An einer RL-Parallelschaltung mit U = 230 V werden die Teilströme I_R = 5 A und I_L = 12 A gemessen. Berechne den Gesamtstrom I_ges und den Phasenwinkel φ.

Gegeben: I_R = 5 A; I_L = 12 A; U = 230 V

Gesucht: I_ges, φ

Lösungsweg:

  1. Gesamtstrom: I_ges = √(I_R² + I_L²) = √(25 + 144) = √169 = 13 A
  2. Phasenwinkel: tan φ = I_L / I_R = 12 / 5 = 2,4; φ ≈ 67,38°

Ergebnis: I_ges = 13 A, φ ≈ 67,38°

Übungen

Eine RL-Parallelschaltung hat I_R = 6 A und I_L = 8 A. Berechne I_ges.

I_ges = √(36 + 64) = √100 = 10 A

Bei einer Parallelschaltung sind I_ges = 15 A und I_R = 9 A bekannt. Wie groß ist I_L?

I_L = √(I_ges² − I_R²) = √(225 − 81) = √144 = 12 A

An U = 400 V liegt eine RL-Parallelschaltung mit R = 80 Ω und X_L = 60 Ω. Berechne I_R, I_L und I_ges.

I_R = 400 / 80 = 5 A; I_L = 400 / 60 ≈ 6,67 A; I_ges = √(25 + 44,44) ≈ 8,33 A

Eine RL-Parallelschaltung hat I_R = I_L. Berechne den Phasenwinkel φ.

tan φ = 1 → φ = 45°

Eine Maschine ist als RL-Parallelersatzschaltung modelliert: R = 50 Ω, X_L = 25 Ω, U = 230 V. Berechne den Gesamtstrom und den Phasenwinkel.

I_R = 4,6 A; I_L = 9,2 A; I_ges = √(4,6² + 9,2²) = √(21,16 + 84,64) = √105,8 ≈ 10,29 A; tan φ = 9,2/4,6 = 2 → φ ≈ 63,43°

In welcher Phasenlage steht der Strom durch die Spule zur Spannung in einer RL-Parallelschaltung?

  • a) gleichphasig mit U
  • b) 180° gegenphasig zu U
  • c) 90° vor U
  • d) 90° nach U

Richtig: d)

An jeder Spule gilt: die Spannung eilt dem Strom 90° voraus, gleichbedeutend mit: der Strom eilt der Spannung 90° nach. a) gilt nur für den Widerstand, b) wäre ein Generator-Verbraucher-Wechsel, c) ist die Phasenlage am Kondensator.

I_R = 8 A und I_L = 6 A. Wie groß ist I_ges?

  • a) 14 A
  • b) 10 A
  • c) 7 A
  • d) 2 A

Richtig: b)

I_ges = √(64 + 36) = √100 = 10 A. a) wäre die arithmetische Summe (im Wechselstromkreis ungültig), c) ein erfundener Wert, d) die Differenz.

Wie wirkt sich eine Verkleinerung von X_L (bei gleichem R und gleichem U) auf den Phasenwinkel der RL-Parallelschaltung aus?

  • a) φ bleibt unverändert
  • b) φ wird kleiner
  • c) φ wird größer
  • d) φ kann nicht berechnet werden

Richtig: c)

Kleineres X_L → größerer I_L → tan φ = I_L/I_R steigt → φ wächst. a) ignoriert die Abhängigkeit, b) kehrt die Wirkung um, d) ist falsch — die Formel funktioniert weiterhin.

5. Impedanz und Phasenwinkel der RL-Parallelschaltung

In der Reihenschaltung haben wir das Spannungsdreieck durch den gemeinsamen Strom geteilt und damit ein Widerstandsdreieck erhalten. In der Parallelschaltung geht der analoge Schritt anders: hier ist die Spannung gemeinsam, und wenn man das Stromdreieck durch U teilt, kommen statt Widerständen Leitwerte heraus.

Die drei zentralen Leitwerte:

G = 1 / R

  • G …. Wirkleitwert in S (Siemens)
  • R …. Wirkwiderstand in Ω

B_L = 1 / X_L

  • B_L .. induktiver Blindleitwert in S
  • X_L .. induktiver Blindwiderstand in Ω

Y = √(G² + B_L²)

  • Y …. Scheinleitwert (Admittanz) in S
  • G …. Wirkleitwert in S
  • B_L .. induktiver Blindleitwert in S

Diese drei bilden ein rechtwinkliges Leitwertdreieck, geometrisch genauso aufgebaut wie das Widerstandsdreieck — nur mit anderen Größen. Aus Y folgt unmittelbar die Gesamtimpedanz der Parallelschaltung:

Z = 1 / Y

  • Z …. Impedanz der Parallelschaltung in Ω
  • Y …. Scheinleitwert in S

Wenn nur R und X_L bekannt sind und keine Strom- oder Spannungswerte vorliegen, lässt sich Z auch direkt berechnen:

Z = (R · X_L) / √(R² + X_L²)

  • Z …. Impedanz der Parallelschaltung in Ω
  • R …. Wirkwiderstand in Ω
  • X_L .. induktiver Blindwiderstand in Ω

Für den Phasenwinkel dreht sich gegenüber der Reihenschaltung das Verhältnis um. In der Reihe galt tan φ = X_L / R, in der Parallele gilt:

tan φ = B_L / G = R / X_L

  • φ …. Phasenwinkel zwischen U und I_ges in Grad
  • R …. Wirkwiderstand in Ω
  • X_L .. induktiver Blindwiderstand in Ω

Anschaulich: in der Parallele ist X_L die „Ankathete“ zum induktiven Verhalten, R die „Gegenkathete“. Je kleiner X_L im Vergleich zu R, desto stärker zieht die Spule den Gesamtstrom in die induktive Richtung — φ wird größer.

Leitwertdreieck der RL-Parallelschaltung G B_L Y φ

Gelöstes Beispiel

Eine RL-Parallelschaltung besteht aus R = 60 Ω und X_L = 80 Ω. Berechne G, B_L, Y, Z und φ.

Gegeben: R = 60 Ω; X_L = 80 Ω

Gesucht: G, B_L, Y, Z, φ

Lösungsweg:

  1. Leitwerte: G = 1 / R = 1 / 60 ≈ 0,01667 S; B_L = 1 / X_L = 1 / 80 = 0,0125 S
  2. Scheinleitwert: Y = √(G² + B_L²) = √(0,01667² + 0,0125²) ≈ √(0,000278 + 0,000156) ≈ √0,000434 ≈ 0,02083 S
  3. Impedanz: Z = 1 / Y = 1 / 0,02083 ≈ 48 Ω. Kontrolle direkt: Z = (60 · 80) / √(60² + 80²) = 4 800 / 100 = 48 Ω ✓
  4. Phasenwinkel: tan φ = R / X_L = 60 / 80 = 0,75; φ ≈ 36,87°

Ergebnis: G ≈ 0,01667 S, B_L = 0,0125 S, Y ≈ 0,02083 S, Z = 48 Ω, φ ≈ 36,87°

Übungen

Eine Parallelschaltung hat R = 100 Ω und X_L = 100 Ω. Berechne Z.

Z = (100 · 100) / √(100² + 100²) = 10 000 / √20 000 ≈ 70,71 Ω

Berechne den Phasenwinkel einer RL-Parallelschaltung mit R = 40 Ω und X_L = 30 Ω.

tan φ = R/X_L = 40/30 ≈ 1,333 → φ ≈ 53,13°

Eine Drossel ist als RL-Parallelersatzschaltung mit R = 200 Ω und X_L = 50 Ω modelliert. Berechne G, B_L und Y.

G = 1/200 = 0,005 S; B_L = 1/50 = 0,02 S; Y = √(0,005² + 0,02²) = √(0,000 025 + 0,0004) = √0,000 425 ≈ 0,02062 S

Bei einer Parallelschaltung mit R = 50 Ω wird Z = 40 Ω gemessen. Welches X_L liegt vor?

Aus Z = R·X_L/√(R²+X_L²) folgt 1/Z² = 1/R² + 1/X_L² → 1/X_L² = 1/Z² − 1/R² = 1/1600 − 1/2500 = (2500 − 1600)/(1600 · 2500) = 900/4 000 000 = 2,25·10⁻⁴ → X_L² ≈ 4 444 → X_L ≈ 66,67 Ω

R = 80 Ω, X_L = 60 Ω an U = 230 V. Berechne den Gesamtstrom über Y und vergleiche mit der Berechnung aus den Teilströmen.

Y = √((1/80)² + (1/60)²) = √(0,000 156 + 0,000 278) = √0,000 434 ≈ 0,02083 S; I_ges = U·Y = 230 · 0,02083 ≈ 4,79 A. Kontrolle: I_R = 230/80 = 2,875 A; I_L = 230/60 ≈ 3,833 A; I_ges = √(2,875² + 3,833²) ≈ √(8,266 + 14,69) ≈ √22,96 ≈ 4,79 A ✓

Welche Einheit hat der Scheinleitwert Y?

  • a) Siemens (S)
  • b) Ohm (Ω)
  • c) Volt pro Ampere (V/A)
  • d) Henry (H)

Richtig: a)

Leitwerte sind Kehrwerte von Widerständen und werden in Siemens (1 S = 1/Ω) angegeben. b) ist die Einheit des Widerstands, c) ist physikalisch identisch mit Ohm, d) ist die Einheit der Induktivität.

Welche Formel berechnet die Impedanz einer RL-Parallelschaltung direkt aus R und X_L?

  • a) Z = R + X_L
  • b) Z = √(R² + X_L²)
  • c) Z = (R · X_L) / √(R² + X_L²)
  • d) Z = R · X_L / (R + X_L)

Richtig: c)

Die Formel folgt aus Y = √(G² + B_L²) und Z = 1/Y nach Einsetzen und Vereinfachen. a) ignoriert die Phasenverschiebung, b) ist die Formel der Reihenschaltung, d) ist die Formel für die Parallelschaltung zweier gleichartiger ohmscher Widerstände — bei R und X_L gilt sie nicht.

R = 60 Ω, X_L = 60 Ω in Parallelschaltung. Welcher Phasenwinkel ergibt sich?

  • a) 0°
  • b) 30°
  • c) 60°
  • d) 45°

Richtig: d)

tan φ = R/X_L = 1 → φ = 45°. a) gilt für X_L → ∞, b) und c) wären nur bei R ≠ X_L plausibel — bei Gleichheit greift exakt die 45°-Symmetrie.

6. Frequenzverhalten und Filterwirkung

Der induktive Blindwiderstand der Spule hängt von der Frequenz ab:

X_L = 2 · π · f · L

  • X_L … induktiver Blindwiderstand in Ω
  • f ….. Frequenz in Hz
  • L ….. Induktivität in H

Daraus ergibt sich das Frequenzverhalten jeder RL-Schaltung von selbst: Bei niedrigen Frequenzen ist X_L klein, R dominiert — die Schaltung verhält sich nahezu ohmsch. Bei hohen Frequenzen wird X_L groß und übernimmt das Verhalten — die Schaltung wirkt überwiegend induktiv.

Genau dieses Verhalten macht die RL-Reihenschaltung zu einem einfachen Filter. Welche Filterart entsteht, hängt davon ab, wo der Ausgang abgegriffen wird:

  • Ausgang über R (Tiefpass): Bei niedrigen Frequenzen fällt fast die gesamte Eingangsspannung über R ab — das Signal kommt durch. Bei hohen Frequenzen sperrt die Spule (X_L groß), der Großteil der Spannung fällt über L ab und am Widerstand bleibt nur noch wenig übrig.
  • Ausgang über L (Hochpass): Genau umgekehrt. Bei niedrigen Frequenzen lässt die Spule fast keinen Spannungsabfall zu, das Signal wird gedämpft. Bei hohen Frequenzen liegt die meiste Spannung an der Spule an — das Signal passiert.

Den Übergang zwischen den beiden Bereichen markiert die Grenzfrequenz f_g. Sie ist definiert als die Frequenz, bei der X_L genauso groß wie R ist:

f_g = R / (2 · π · L)

  • f_g … Grenzfrequenz in Hz
  • R ….. Wirkwiderstand in Ω
  • L ….. Induktivität in H

Bei f = f_g gilt X_L = R, also Z = R · √2 und tan φ = 1 → φ = 45°. Die Ausgangsspannung am gewählten Bauteil ist auf den Faktor 1/√2 ≈ 0,707 der Eingangsspannung abgesunken — das entspricht einer Dämpfung von etwa 3 dB. Aus diesem Grund nennt man f_g auch die −3-dB-Frequenz.

Für eine vollständige Betrachtung der Leistungsaufnahme einer RL-Schaltung gehören die Wirk-, Blind- und Scheinleistung sowie der Leistungsfaktor cos φ dazu. Diese Themen werden in den Beiträgen Wirk-, Blind- und Scheinleistung und Leistungsfaktor cos φ behandelt. Wie sich der durch die Spule erzwungene induktive Blindstromanteil im Netz reduzieren lässt, zeigt der Beitrag Blindleistungskompensation.

Gelöstes Beispiel

Eine RL-Schaltung wird als Filter eingesetzt: R = 220 Ω, L = 50 mH. Berechne die Grenzfrequenz und X_L bei f = 50 Hz.

Gegeben: R = 220 Ω; L = 50 mH = 0,05 H; f = 50 Hz

Gesucht: f_g, X_L bei 50 Hz

Lösungsweg:

  1. Grenzfrequenz: f_g = R / (2π · L) = 220 / (2π · 0,05) = 220 / 0,3142 ≈ 700,3 Hz
  2. X_L bei 50 Hz: X_L = 2π · f · L = 2π · 50 · 0,05 ≈ 15,71 Ω

Ergebnis: f_g ≈ 700,3 Hz; bei 50 Hz ist X_L ≈ 15,71 Ω. Da X_L bei 50 Hz deutlich kleiner ist als R, dominiert das ohmsche Verhalten — die 50-Hz-Spannung passiert den Filter weitgehend ungehindert.

Übungen

Eine RL-Reihenschaltung hat R = 1 kΩ und L = 100 mH. Bestimme die Grenzfrequenz.

f_g = 1000 / (2π · 0,1) ≈ 1 591,5 Hz

Wie ändert sich die Grenzfrequenz, wenn L verdoppelt wird?

f_g halbiert sich (f_g ist umgekehrt proportional zu L).

Bei welcher Frequenz ist X_L einer Spule mit L = 200 mH genauso groß wie 50 Ω?

f = X_L / (2π · L) = 50 / (2π · 0,2) ≈ 39,79 Hz

Eine Netzdrossel hat R = 0,2 Ω und L = 2 mH. Wie groß ist die Grenzfrequenz und liegt 50 Hz darüber oder darunter?

f_g = 0,2 / (2π · 0,002) ≈ 15,92 Hz. 50 Hz liegt deutlich darüber — die Drossel dämpft also bereits bei Netzfrequenz nennenswert.

Eine RL-Schaltung soll bei f_g = 1 kHz mit R = 470 Ω arbeiten. Welche Induktivität ist nötig?

L = R / (2π · f_g) = 470 / (2π · 1000) ≈ 74,8 mH

Was geschieht mit X_L, wenn die Frequenz halbiert wird?

  • a) X_L vervierfacht sich
  • b) X_L halbiert sich
  • c) X_L bleibt gleich
  • d) X_L verdoppelt sich

Richtig: b)

X_L = 2π·f·L — die Beziehung ist linear in f. Halbe Frequenz → halbes X_L. a) wäre quadratisch falsch, c) ignoriert die Frequenzabhängigkeit, d) kehrt die Richtung um.

Welcher Zustand kennzeichnet die Grenzfrequenz einer RL-Schaltung?

  • a) X_L = 0
  • b) R = 0
  • c) X_L = 2 · R
  • d) X_L = R

Richtig: d)

Bei f = f_g gilt X_L = R, daraus folgt φ = 45° und die −3-dB-Dämpfung. a) wäre der Gleichstromfall, b) ist ein reines Spulenverhalten, c) ergibt einen anderen Phasenwinkel und entspricht nicht der Standarddefinition.

An welcher Stelle der RL-Reihenschaltung wird der Ausgang abgegriffen, um einen Hochpass zu erhalten?

  • a) am Widerstand R
  • b) zwischen R und L
  • c) an der gesamten Reihenschaltung
  • d) an der Spule L

Richtig: d)

Bei hohen Frequenzen liegt die Spannung überwiegend an der Spule — diese ist also für den Hochpass der richtige Abgriff. a) erzeugt einen Tiefpass, b) ist nicht eindeutig, c) entspricht dem gesamten Eingang und liefert keine Filterwirkung.

Abschlusstest

Aufgabe 1: Eine RL-Reihenschaltung wird mit U_ges = 230 V (50 Hz) versorgt. Sie besteht aus R = 100 Ω und L = 0,4 H. Berechne X_L, Z, I und φ.

Gegeben: U_ges = 230 V, f = 50 Hz, R = 100 Ω, L = 0,4 H

Gesucht: X_L, Z, I, φ

Lösungsweg:

  1. X_L = 2π · 50 · 0,4 ≈ 125,66 Ω
  2. Z = √(100² + 125,66²) = √(10 000 + 15 791) ≈ √25 791 ≈ 160,6 Ω
  3. I = U_ges / Z = 230 / 160,6 ≈ 1,432 A
  4. tan φ = 125,66 / 100 = 1,257 → φ ≈ 51,49°

Ergebnis: X_L ≈ 125,66 Ω; Z ≈ 160,6 Ω; I ≈ 1,43 A; φ ≈ 51,49°

Aufgabe 2: An einer RL-Reihenschaltung mit R = 50 Ω und X_L = 120 Ω liegt die Gesamtspannung U_ges = 260 V. Berechne U_R, U_L und I.

Gegeben: R = 50 Ω, X_L = 120 Ω, U_ges = 260 V

Gesucht: U_R, U_L, I

Lösungsweg:

  1. Z = √(50² + 120²) = √(2 500 + 14 400) = √16 900 = 130 Ω
  2. I = U_ges / Z = 260 / 130 = 2 A
  3. U_R = I · R = 2 · 50 = 100 V
  4. U_L = I · X_L = 2 · 120 = 240 V
  5. Kontrolle: √(100² + 240²) = √(10 000 + 57 600) = √67 600 = 260 V ✓

Ergebnis: U_R = 100 V; U_L = 240 V; I = 2 A

Aufgabe 3: Eine RL-Parallelschaltung mit R = 100 Ω und X_L = 75 Ω liegt an U = 400 V. Berechne I_R, I_L, I_ges, Z und φ.

Gegeben: R = 100 Ω, X_L = 75 Ω, U = 400 V

Gesucht: I_R, I_L, I_ges, Z, φ

Lösungsweg:

  1. I_R = U / R = 400 / 100 = 4 A
  2. I_L = U / X_L = 400 / 75 ≈ 5,333 A
  3. I_ges = √(4² + 5,333²) = √(16 + 28,44) ≈ √44,44 ≈ 6,667 A
  4. Z = U / I_ges = 400 / 6,667 = 60 Ω
  5. tan φ = R / X_L = 100 / 75 ≈ 1,333 → φ ≈ 53,13°

Ergebnis: I_R = 4 A; I_L ≈ 5,33 A; I_ges ≈ 6,67 A; Z = 60 Ω; φ ≈ 53,13°

Aufgabe 4: Eine RL-Schaltung soll als Tiefpass mit f_g = 500 Hz arbeiten. Die Induktivität beträgt L = 50 mH. Welcher Widerstand R wird benötigt?

Gegeben: f_g = 500 Hz, L = 0,05 H

Gesucht: R

Lösungsweg:

  1. R = 2π · f_g · L = 2π · 500 · 0,05 ≈ 157,08 Ω

Ergebnis: R ≈ 157,08 Ω

Aufgabe 5: Eine reale Drosselspule wird einmal mit Gleichstrom durchgemessen (R = 8 Ω) und einmal am Wechselstromnetz 230 V / 50 Hz betrieben, wobei ein Strom von 2,5 A fließt. Berechne X_L, L und den Phasenwinkel der Drossel.

Gegeben: R = 8 Ω, U = 230 V, I = 2,5 A, f = 50 Hz

Gesucht: X_L, L, φ

Lösungsweg:

  1. Z = U / I = 230 / 2,5 = 92 Ω
  2. X_L = √(Z² − R²) = √(92² − 8²) = √(8 464 − 64) = √8 400 ≈ 91,65 Ω
  3. L = X_L / (2π · f) = 91,65 / (2π · 50) ≈ 0,2917 H
  4. tan φ = 91,65 / 8 ≈ 11,46 → φ ≈ 85°

Ergebnis: X_L ≈ 91,65 Ω; L ≈ 0,292 H; φ ≈ 85°

Aufgabe 6: Bestimme die Grenzfrequenz und den Phasenwinkel einer RL-Reihenschaltung mit R = 470 Ω und L = 150 mH bei der Betriebsfrequenz f = 800 Hz.

Gegeben: R = 470 Ω, L = 0,15 H, f = 800 Hz

Gesucht: f_g, φ bei 800 Hz

Lösungsweg:

  1. f_g = R / (2π · L) = 470 / (2π · 0,15) ≈ 498,7 Hz
  2. X_L bei 800 Hz: X_L = 2π · 800 · 0,15 ≈ 754,0 Ω
  3. tan φ = X_L / R = 754 / 470 ≈ 1,604 → φ ≈ 58,06°

Ergebnis: f_g ≈ 498,7 Hz; bei 800 Hz φ ≈ 58,06°

Eine RL-Reihenschaltung hat R = 30 Ω und X_L = 40 Ω. Welcher Strom fließt bei U_ges = 250 V?

  • a) 8,3 A
  • b) 6,25 A
  • c) 5 A
  • d) 3,57 A

Richtig: c)

Z = √(30² + 40²) = 50 Ω; I = 250 / 50 = 5 A. a) ergäbe sich, wenn nur R berücksichtigt würde, b) und d) sind erfundene Werte.

Eine RL-Reihenschaltung hat einen Phasenwinkel von φ = 60° bei U_ges = 230 V. Wie groß ist U_R?

  • a) 115 V
  • b) 199 V
  • c) 230 V
  • d) 132,8 V

Richtig: a)

U_R = U_ges · cos φ = 230 · 0,5 = 115 V. b) wäre U_L, c) ignoriert die Phasenverschiebung, d) ist 230/√3 und passt zu Drehstromaufgaben.

Bei welcher Schaltungsart ist die Spannung Bezugsgröße im Zeigerdiagramm?

  • a) RL-Reihenschaltung
  • b) RL-Parallelschaltung
  • c) bei beiden
  • d) bei keiner

Richtig: b)

In der Parallelschaltung ist die Spannung an allen Zweigen gleich und daher die natürliche Referenz. a) hat den gemeinsamen Strom als Bezug, c) und d) sind falsch.

Welche Aussage über den Phasenwinkel φ einer RL-Schaltung trifft zu?

  • a) φ ist immer 0°
  • b) φ ist immer 90°
  • c) φ ist negativ
  • d) φ liegt zwischen 0° und 90°

Richtig: d)

Bei rein ohmschem Verhalten ist φ = 0°, bei rein induktivem 90°. Jede reale RL-Mischung liegt dazwischen. a) und b) sind die Grenzfälle, c) gilt für RC-Schaltungen, nicht für RL.

Eine RL-Parallelschaltung an U = 230 V hat I_R = 2 A und I_L = 1,5 A. Wie groß ist der Phasenwinkel φ?

  • a) 53,13°
  • b) 30°
  • c) 36,87°
  • d) 45°

Richtig: c)

tan φ = I_L / I_R = 1,5 / 2 = 0,75 → φ ≈ 36,87°. a) ist 90° − 36,87°, b) und d) sind erfundene Standardwerte.

Welcher Term beschreibt den Scheinleitwert einer RL-Parallelschaltung korrekt?

  • a) Y = √((1/R)² + (1/X_L)²)
  • b) Y = √(R² + X_L²)
  • c) Y = 1 / (R + X_L)
  • d) Y = R + X_L

Richtig: a)

Aus G = 1/R und B_L = 1/X_L folgt direkt das Leitwertdreieck und damit a). b) liefert die Impedanz der Reihenschaltung, c) und d) sind keine gültigen Formeln.

Eine Drosselspule wird im Wechselstromkreis als RL-Schaltung modelliert. Welche Größe entspricht in dieser Ersatzschaltung dem Wicklungswiderstand des Kupferdrahtes?

  • a) X_L
  • b) Z
  • c) Y
  • d) R

Richtig: d)

R steht für den ohmschen Wicklungswiderstand. a) ist der induktive Blindwiderstand, b) ist die Gesamtimpedanz, c) ist der Leitwert.

Wie verändert sich der Strom in einer RL-Reihenschaltung, wenn bei gleichbleibender Spannung die Frequenz erhöht wird?

  • a) er bleibt gleich
  • b) er wird kleiner
  • c) er wird größer
  • d) er wird negativ

Richtig: b)

X_L wächst mit f → Z wächst → I = U/Z sinkt. a) ignoriert die Frequenzabhängigkeit, c) kehrt sie um, d) ist physikalisch unsinnig.

Welche Formel gilt für die Impedanz einer RL-Reihenschaltung?

  • a) Z = R · X_L
  • b) Z = R + X_L
  • c) Z = √(R² + X_L²)
  • d) Z = R − X_L

Richtig: c)

Im rechtwinkligen Widerstandsdreieck ist Z die Hypotenuse aus R und X_L. a), b) und d) sind im Wechselstromkreis nicht anwendbar.

Bei der Grenzfrequenz einer RL-Schaltung ist die Ausgangsspannung am ausgewählten Bauteil auf welchen Anteil der Eingangsspannung abgesunken?

  • a) etwa 70,7 % (1/√2)
  • b) auf die Hälfte
  • c) auf 90 %
  • d) auf 10 %

Richtig: a)

Bei f_g ist X_L = R, also Z = R · √2. Die Spannung am ausgewählten Bauteil verhält sich wie R/Z = 1/√2 ≈ 0,707, das entspricht der −3-dB-Grenze. b) entspräche −6 dB, c) und d) sind keine standardisierten Grenzen.

Glossar

RL-Schaltung
Wechselstromkreis, in dem ein ohmscher Widerstand R und eine Spule mit der Induktivität L gemeinsam betrieben werden — entweder in Reihe oder parallel.
Spannungszeigerdiagramm
Darstellung der Spannungen einer Reihenschaltung als Vektoren in einer Ebene. Der Strom dient als Bezug, die Teilspannungen werden gemäß ihrer Phasenlage geometrisch addiert.
Stromzeigerdiagramm
Analoge Darstellung für die Parallelschaltung. Die Spannung dient als Bezug, die Teilströme werden geometrisch addiert.
Widerstandsdreieck
Rechtwinkliges Dreieck aus R, X_L und Z; entsteht durch Division des Spannungsdreiecks durch den Strom. Zeigt die Zusammensetzung der Impedanz und enthält den Phasenwinkel φ.
Leitwertdreieck
Rechtwinkliges Dreieck aus G, B_L und Y; das Pendant zum Widerstandsdreieck für die Parallelschaltung. Entsteht durch Division des Stromdreiecks durch die Spannung.
Wirkleitwert G
Kehrwert des Wirkwiderstands, G = 1/R, in Siemens (S). Beschreibt, wie leicht ein Wirkstrom durch den Zweig fließt.
Induktiver Blindleitwert B_L
Kehrwert des induktiven Blindwiderstands, B_L = 1/X_L, in Siemens (S). Beschreibt den Blindstromanteil durch den Spulenzweig.
Scheinleitwert Y
Auch Admittanz genannt; die geometrische Summe von G und B_L. Y = √(G² + B_L²), Kehrwert der Impedanz.
Phasenwinkel φ
Winkel zwischen Strom- und Spannungszeiger bei einer Wechselstromschaltung. In einer RL-Schaltung positiv (induktiv), Werte zwischen 0° (rein ohmsch) und 90° (rein induktiv).
Grenzfrequenz f_g
Frequenz, bei der bei einer RL-Schaltung X_L = R gilt. Markiert den Übergang vom ohmschen ins induktive Verhalten und entspricht der −3-dB-Frequenz beim Einsatz als Filter.
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