Das Ohmsche Gesetz

Im Jahr 1826 untersuchte der deutsche Physiker Georg Simon Ohm den Zusammenhang zwischen Stromstärke und Spannung in metallischen Leitern. Er stellte fest, dass bei einem festen Leiter und konstanter Temperatur die Stromstärke proportional zur anliegenden Spannung wächst. Verdoppelt man die Spannung, verdoppelt sich der Strom. Halbiert man sie, halbiert sich der Strom. Diese einfache Proportionalität trägt heute seinen Namen — und die Einheit des elektrischen Widerstands ebenfalls: 1 Ohm (Ω).

Ein anschauliches Bild dafür ist der Wasserkreislauf. Stell dir einen erhöhten Wassertank vor, von dem ein Rohr nach unten führt. Die Höhe des Wasserstands entspricht der Spannung — sie ist die treibende Kraft. Das Rohr hat eine bestimmte Engstelle, die dem Widerstand entspricht. Was durchfließt, ist der Strom. Hebt man den Tank höher, fließt mehr Wasser. Verengt man das Rohr, fließt weniger. Genau dieses Verhalten beschreibt das Ohmsche Gesetz für den elektrischen Stromkreis.

Mathematisch ausgedrückt heißt das:

Diese eine Gleichung steckt hinter praktisch jeder Berechnung im Gleichstromkreis. Sie sagt: Welche Spannung über einem Widerstand abfällt, hängt vom durchfließenden Strom und vom Widerstandswert ab — beides geht linear ein.

Aus U = R · I lassen sich durch einfaches Umstellen zwei weitere Formen ableiten. Welche du verwendest, hängt davon ab, was du suchst:

Ein bewährter Trick als Eselsbrücke ist das Ohmsche Dreieck: U steht oben, R und I stehen unten nebeneinander. Mit dem Finger auf die gesuchte Größe — die anderen beiden zeigen die Formel. Verdeckst du U, bleibt R · I übrig. Verdeckst du I, bleibt U / R. Verdeckst du R, bleibt U / I.

So einfach das ist — in der Praxis liegt der häufigste Fehler selten in der Formel selbst. Er liegt in den Einheiten.

Die Formeln gelten nur, wenn alle Werte in den SI-Grundeinheiten eingesetzt werden: Volt, Ampere und Ohm. Schlampig wird es bei Milliampere, Kiloohm oder Millivolt — diese müssen vorher umgerechnet werden:

• 1 mA = 0,001 A → mA durch 1000 teilen
• 1 kΩ = 1000 Ω → kΩ mit 1000 multiplizieren
• 1 mV = 0,001 V → mV durch 1000 teilen
• 1 MΩ = 1 000 000 Ω → MΩ mit 1 000 000 multiplizieren

Wer das übersieht, bekommt Ergebnisse, die um Faktoren wie 1000 oder mehr daneben liegen. Eine gute Gewohnheit: vor dem Rechnen alle Größen in V, A und Ω notieren — und dann erst einsetzen.

Eine Kennlinie zeigt grafisch, wie zwei Größen zusammenhängen. Bei der Strom-Spannungs-Kennlinie (auch I-U-Kennlinie genannt) wird der Strom in Abhängigkeit von der angelegten Spannung aufgetragen — Spannung auf der waagrechten Achse, Strom auf der senkrechten.

Bei einem ohmschen Widerstand ergibt sich immer eine Gerade durch den Ursprung. Das folgt direkt aus dem Ohmschen Gesetz: I = U / R. Setzt man U = 0, ist auch I = 0 — die Gerade beginnt im Nullpunkt. Mit jedem zusätzlichen Volt steigt der Strom um den gleichen Betrag, nämlich 1/R Ampere.

Die Steigung der Geraden hat damit eine direkte physikalische Bedeutung:

Je größer der Widerstand, desto flacher die Gerade. Je kleiner der Widerstand, desto steiler. Aus der Kennlinie kannst du den Widerstandswert direkt ablesen: Du suchst dir irgendeinen Punkt auf der Geraden, liest U und I ab und bildest R = U / I.

Im Diagramm siehst du drei Widerstände unterschiedlicher Größe. Der kleine 10-Ω-Widerstand lässt schon bei wenig Spannung viel Strom durch — die Gerade steigt steil an. Der 50-Ω-Widerstand begrenzt den Strom stärker, seine Gerade verläuft flach. Bei 10 V fließen durch den 10-Ω-Widerstand 1 A, durch den 50-Ω-Widerstand nur 0,2 A.

Bisher haben wir so getan, als würde sich jedes Bauteil brav an das Ohmsche Gesetz halten. Das ist eine bequeme Annahme — und sie stimmt für viele Anwendungen. Aber eben nicht immer.

Ein Bauelement nennt man ohmsch (oder linear), wenn sein Widerstand über den gesamten Betriebsbereich konstant bleibt. Egal welche Spannung anliegt oder welcher Strom fließt: R hat immer denselben Wert. Die Kennlinie ist eine perfekte Gerade durch den Ursprung.

Beispiele für ohmsches Verhalten:

• Festwiderstände aus Kohle-, Metallschicht- oder Drahtmaterial
• Heizleiter aus Konstantan oder ähnlichen Legierungen bei moderaten Temperaturen
• Kupferleitungen bei kleinen Strömen, solange die Eigenerwärmung gering bleibt

Demgegenüber stehen die nicht-ohmschen Bauelemente. Ihr Widerstand hängt vom Betriebspunkt ab — von der Spannung, vom Strom, von der Temperatur oder von der Polarität. Ihre Kennlinie ist gekrümmt, geknickt oder verläuft gar nicht durch den Ursprung.

Drei typische Beispiele:

Glühlampe. Im kalten Zustand hat der Wolframdraht einen sehr kleinen Widerstand. Sobald Strom fließt, erwärmt sich der Draht, und sein Widerstand steigt deutlich an — beim Betriebspunkt kann er das 10- bis 15-fache des Kaltwiderstands erreichen. Die I-U-Kennlinie krümmt sich entsprechend: bei kleiner Spannung steile Steigung (kalt, kleiner R), bei großer Spannung flachere Steigung (heiß, großer R).

Diode. Unterhalb der Schwellspannung (bei Silizium-Dioden etwa 0,7 V) fließt praktisch kein Strom — die Kennlinie verläuft fast flach entlang der Spannungsachse. Danach steigt der Strom exponentiell an. Eine Diode ist also weit von einem ohmschen Bauteil entfernt; ihre Kennlinie hat einen klaren Knick.

NTC- und PTC-Widerstände. Heißleiter (NTC) verringern ihren Widerstand mit steigender Temperatur, Kaltleiter (PTC) erhöhen ihn. Beide werden gezielt für temperaturabhängige Funktionen eingesetzt — etwa als Temperatursensor, Übertemperaturschutz oder Einschaltstrombegrenzer.

Bei nicht-ohmschen Bauteilen muss man zwei Widerstandsbegriffe sauber auseinanderhalten. Das absolute Verhältnis R = U / I in einem Arbeitspunkt nennt man statischen Widerstand. Er gibt an, wie sich der Arbeitspunkt insgesamt verhält. Davon zu unterscheiden ist der differentielle Widerstand r = dU / dI. Er entspricht der Steigung der Tangente an die Kennlinie im jeweiligen Arbeitspunkt und beschreibt, wie stark sich der Strom bei einer kleinen Spannungsänderung verändert. Bei rein linearen, ohmschen Bauelementen sind beide Größen identisch — die Gerade durch den Ursprung hat überall die gleiche Steigung. Bei gekrümmten Kennlinien (Diode, Glühlampe, NTC) weichen statischer und differentieller Widerstand voneinander ab. Für die Auslegung von Halbleiter-Schaltungen — etwa der Spannungsstabilisierung mit Z-Diode — ist der differentielle Widerstand die entscheidende Größe.

Das Ohmsche Gesetz ist keine universelle Wahrheit, sondern eine Modellannahme — eine Vereinfachung, die unter bestimmten Bedingungen gut zutrifft und unter anderen nicht. Drei Voraussetzungen sind dabei zentral:

Konstante Temperatur. Der Widerstand eines metallischen Leiters hängt von der Temperatur ab. Erwärmt sich der Leiter durch Stromfluss selbst (Joulesche Wärme), ändert sich sein Widerstand — und damit auch die Linearität. Für Praxisrechnungen ist das oft unproblematisch, weil die Erwärmung bei typischen Bauteilen klein bleibt. Bei Glühlampen, Heizdrähten und Sicherungsdrähten ist sie aber zentral. Wie genau Temperatur und Widerstand zusammenhängen, behandelt der Beitrag Elektrischer Widerstand und spezifischer Widerstand ausführlich.

Lineares Bauelement. Das Ohmsche Gesetz beschreibt einen linearen Zusammenhang. Halbleiterbauelemente (Diode, Transistor, Z-Diode) sind dezidiert nicht-linear — ihre Kennlinien folgen Exponentialfunktionen oder haben Knickpunkte. Hier ist das Ohmsche Gesetz allenfalls in kleinen Arbeitsbereichen näherungsweise gültig.

Gleichstrombetrieb oder rein ohmsche Verhältnisse. Solange wir mit Gleichspannung an reinen Widerständen arbeiten, ist die Welt einfach. Sobald Wechselspannung ins Spiel kommt, treten zusätzlich Blindwiderstände auf — kapazitive bei Kondensatoren, induktive bei Spulen. Diese Themen folgen in den Beiträgen zur Wechselstromtechnik. Das Ohmsche Gesetz bleibt dort die Basis, wird aber um den Begriff der Impedanz erweitert.

In der täglichen Praxis bedeutet das: Für jeden klassischen Widerstand in einem Gleichstromkreis kannst du das Ohmsche Gesetz bedenkenlos einsetzen. Sobald Halbleiter, Wechselstrom oder starke Temperatureffekte ins Spiel kommen, lohnt sich ein zweiter Blick auf die Voraussetzungen.

Eine der häufigsten Anwendungen des Ohmschen Gesetzes ist die Berechnung eines Vorwiderstands. Ein typischer Fall: Eine Leuchtdiode (LED) soll an eine Spannungsquelle angeschlossen werden, die deutlich höher ist als die LED-Flussspannung. Würde man die LED direkt anschließen, würde der Strom unbegrenzt ansteigen und die LED zerstören. Der Vorwiderstand begrenzt den Strom auf den zulässigen Wert.

Die allgemeine Formel für den Vorwiderstand:

Zwei Punkte sind dabei kritisch. Erstens: An jedem Widerstand fällt Leistung in Form von Wärme ab. Bei größeren Spannungsunterschieden oder höheren Strömen kann das schnell mehr werden, als ein kleiner 1/4-Watt-Widerstand verträgt. Die Verlustleistung muss kontrolliert werden — die Details dazu behandelt der Beitrag Elektrische Leistung und Arbeit.

Zweitens: In der Werkstatt folgt auf die Berechnung immer die Messung. Der berechnete Vorwiderstand wird mit dem Multimeter überprüft, und nach Einbau wird auch der tatsächliche Strom kontrolliert — entweder direkt mit einem in den Stromkreis eingeschleiften Multimeter oder über den Spannungsabfall am Vorwiderstand. Die Grundlagen dazu liefert der Beitrag Multimeter: Spannung, Strom, Widerstand messen.