Scheinwiderstand (Impedanz)

Misst man eine Motorwicklung mit dem Multimeter im Widerstandsbereich, bekommt man oft nur ein paar Ohm angezeigt. Schließt man dieselbe Wicklung dann an 230 V Wechselspannung an, fließt aber nicht der Strom, den das Ohmsche Gesetz mit diesen wenigen Ohm vorhersagen würde — sondern ein viel kleinerer. Der Grund: Im Wechselstromkreis wirkt mehr als nur der ohmsche Widerstand.

Ein Wechselstromkreis kann gleichzeitig drei Arten von Widerstand enthalten:

• den Wirkwiderstand R, der die elektrische Energie tatsächlich in Wärme umsetzt
• den induktiven Blindwiderstand X_L einer Spule, der den Stromfluss begrenzt, ohne Energie zu verbrauchen
• den kapazitiven Blindwiderstand X_C eines Kondensators, der den Stromfluss ebenfalls begrenzt, ohne Energie zu verbrauchen

Diese drei Widerstände wirken zwar alle strombegrenzend, aber zu unterschiedlichen Zeitpunkten innerhalb einer Wechselstromperiode — sie sind phasenverschoben. Deshalb lassen sie sich nicht einfach addieren wie im Gleichstromkreis.

Der Scheinwiderstand Z ist die Größe, die alle drei zusammen erfasst. Er ist genau der Widerstand, den die Schaltung dem Wechselstrom insgesamt entgegensetzt. Sein Name kommt daher, dass er nur „scheinbar“ ein einzelner Widerstandswert ist — in Wirklichkeit setzt er sich aus den drei Anteilen geometrisch zusammen.

Damit lässt sich das Ohmsche Gesetz auf Wechselstromkreise verallgemeinern. Die Einheit ist dieselbe wie beim ohmschen Widerstand: das Ohm. Und genauso wie beim Gleichstrom ist Z eine reine Verhältniszahl zwischen Spannung und Strom — nur eben für Effektivwerte im Wechselstromkreis.

Bevor wir Z geometrisch zusammensetzen, hier eine kurze Wiederholung der drei Bausteine. Jeder hat sein eigenes Phasenverhalten — und genau das ist der Grund, warum man sie nicht direkt summieren kann.

Wirkwiderstand R — der „normale“ ohmsche Widerstand, etwa ein Heizdraht oder ein Lastwiderstand. Spannung und Strom sind phasengleich: Beide erreichen gleichzeitig ihren Maximalwert. R ist frequenzunabhängig und setzt elektrische Energie in Wärme um.

Induktiver Blindwiderstand X_L — der Widerstand, den eine Spule dem Wechselstrom entgegensetzt. Er steigt linear mit der Frequenz. Bei einer Spule eilt der Strom der Spannung um 90° nach. Anders gesagt: Die Spannung an der Spule liegt um 90° vor dem Strom.

Kapazitiver Blindwiderstand X_C — der Widerstand, den ein Kondensator dem Wechselstrom entgegensetzt. Er fällt mit steigender Frequenz. Beim Kondensator eilt der Strom der Spannung um 90° voraus.

Die drei Komponenten im direkten Vergleich:

Diese 90°-Versätze sind entscheidend: Während R seinen Spitzenwert hat, sind X_L und X_C gerade in einem anderen Zustand. Würde man die Widerstände einfach addieren, würde man Werte zusammenzählen, die zeitlich gar nicht gleichzeitig wirken. Stattdessen behandelt man sie wie Vektoren, die im rechten Winkel zueinander stehen — und genau das führt im nächsten Kapitel zum Impedanzdreieck.

Das geometrische Werkzeug, mit dem man R, X_L und X_C sauber zusammensetzt, heißt Impedanzdreieck. Es entsteht direkt aus den Phasenlagen der drei Komponenten.

Stellt man sich R als waagrechten Pfeil vor, dann steht X_L senkrecht nach oben darauf (weil X_L gegenüber R um 90° voreilt) und X_C senkrecht nach unten (weil X_C gegenüber R um 90° nacheilt). X_L und X_C zeigen also in entgegengesetzte Richtungen und können direkt voneinander abgezogen werden.

Übrig bleiben zwei Pfeile, die im rechten Winkel zueinander stehen: der waagrechte R und der senkrechte resultierende Blindwiderstand X. Verbindet man ihre Spitzen, entsteht das Impedanzdreieck — und Z ist die Hypotenuse.

Aus dem Impedanzdreieck folgt mit dem Satz von Pythagoras direkt die Formel für den Scheinwiderstand. Der Winkel zwischen R und Z heißt Phasenwinkel φ. Er gibt an, um welchen Winkel die Spannung gegenüber dem Strom verschoben ist. Aus dem Dreieck lassen sich drei nützliche Beziehungen ablesen.

Der Phasenwinkel verrät auch das Schaltungsverhalten:

• X_L > X_C → X ist positiv → φ ist positiv → die Schaltung verhält sich induktiv (Strom eilt nach)
• X_L < X_C → X ist negativ → φ ist negativ → die Schaltung verhält sich kapazitiv (Strom eilt vor)
• X_L = X_C → X = 0 → φ = 0 → die Schaltung verhält sich rein ohmsch (das ist der Resonanzfall)

In einer Reihenschaltung aus Widerstand, Spule und Kondensator fließt durch alle drei Bauteile derselbe Strom. Das macht den Strom zur natürlichen Bezugsgröße: An ihm „hängen“ die Spannungen der drei Komponenten mit ihren jeweiligen Phasenversätzen. Setzt man die Widerstände in das Impedanzdreieck ein, ergibt sich für die Reihenschaltung direkt eine Formel für den Scheinwiderstand.

Mit dieser Formel und dem Ohmschen Gesetz Z = U/I lässt sich der Effektivwert des Stroms aus der angelegten Wechselspannung berechnen — egal ob die Schaltung nur R und L (X_C = 0), nur R und C (X_L = 0) oder alle drei zusammen enthält.

Wie sich die Schaltung verhält, hängt vom Vorzeichen der Differenz X_L − X_C ab:

• X_L > X_C → Z hat einen induktiven Anteil, φ positiv, Strom eilt der Spannung nach
• X_L < X_C → Z hat einen kapazitiven Anteil, φ negativ, Strom eilt der Spannung vor
• X_L = X_C → Z = R, φ = 0, Strom und Spannung sind in Phase (Resonanzfall)

Weiterführend: Wie sich Z und die Spannungsaufteilung in einer kompletten RLC-Schaltung im Detail verhalten — inklusive Zeigerdiagramm der Spannungen —, behandeln die Beiträge RLC-Reihenschaltung und RLC-Parallelschaltung. Bei der Parallelschaltung wird Z über andere Beziehungen berechnet (Ströme statt Widerstände werden geometrisch addiert) — die Formel aus diesem Kapitel gilt dort nicht direkt.

Der Scheinwiderstand einer Schaltung mit Spule und Kondensator ist keine feste Größe — er hängt davon ab, mit welcher Frequenz der Wechselstrom fließt. Der Grund liegt in den beiden Blindwiderständen, die gegenläufig auf die Frequenz reagieren:

• X_L = 2πfL wächst mit steigender Frequenz
• X_C = 1/(2πfC) fällt mit steigender Frequenz

Bei einer RLC-Reihenschaltung gibt es deshalb eine Frequenz, bei der X_L und X_C exakt gleich groß werden. Dort ist X = X_L − X_C = 0, und der Scheinwiderstand wird minimal: Z = R. Diese besondere Frequenz heißt Resonanzfrequenz f_0. Unterhalb davon dominiert X_C, oberhalb davon dominiert X_L.

Im Diagramm sieht man drei Linien: X_L wächst linear mit f, X_C fällt hyperbolisch, und Z hat genau dort ein Minimum, wo sich die beiden schneiden — bei der Resonanzfrequenz f_0. Oberhalb wirkt die Schaltung induktiv (X_L dominiert), unterhalb kapazitiv (X_C dominiert).

Dieser Effekt ist die Grundlage für Schwingkreise, etwa in Filtern, Empfängern oder Antennen. Wie genau f_0 berechnet wird und welche Rolle die Bandbreite und die Güte eines Schwingkreises spielen, wird im Beitrag Resonanz und Schwingkreise behandelt.

Eng verbunden mit Z und φ sind die drei Leistungsarten im Wechselstromkreis: Wirkleistung P, Blindleistung Q und Scheinleistung S. Sie folgen einem ganz ähnlichen geometrischen Aufbau wie das Impedanzdreieck — nur diesmal mit Leistungen statt Widerständen. Details dazu finden sich im Beitrag Wirk-, Blind- und Scheinleistung.