RLC-Reihenschaltung

Wer im Gleichstromkreis mehrere Widerstände in Reihe schaltet, addiert sie einfach: erst plus zweiter plus dritter, fertig. Im Wechselstromkreis funktioniert das nicht mehr, sobald eine Spule und ein Kondensator mit im Spiel sind. Dann liegen drei sehr unterschiedliche Bauteile in Reihe – ein Wirkwiderstand, ein induktiver Blindwiderstand und ein kapazitiver Blindwiderstand – und ihre Spannungen sind zeitlich gegeneinander verschoben. Genau deshalb darf man die Werte nicht stumpf zusammenzählen.

Dieser Beitrag zeigt, wie man aus den drei Einzelwiderständen die Gesamtimpedanz, den Phasenwinkel und die Teilspannungen einer Reihenschaltung aus Widerstand, Spule und Kondensator bestimmt – und warum dabei der Satz des Pythagoras wichtiger ist als die einfache Addition.

Vorwissen

Spule und Kondensator im Wechselstromkreis (Blindwiderstand)
Phasenverschiebung und Zeigerdiagramme
Wechselspannung und ihre Kenngrößen

Lernziele

Nach diesem Beitrag kannst du:

erklären, warum sich Wirk- und Blindwiderstände in einer Reihenschaltung nicht arithmetisch addieren lassen
das Spannungs- und Widerstandsdreieck einer RLC-Reihenschaltung zeichnen und deuten
die Gesamtimpedanz Z und den Phasenwinkel φ aus R, X_L und X_C berechnen
die Teilspannungen U_R, U_L und U_C bestimmen und das Phänomen der Spannungsüberhöhung erkennen
den Sonderfall der Resonanz qualitativ beschreiben

1. Warum man Widerstände im Wechselstromkreis nicht einfach addiert

In einer Reihenschaltung fließt durch jedes Bauteil derselbe Strom. Das ist der entscheidende Ausgangspunkt: Der Strom ist überall gleich groß und überall gleichphasig. Deshalb wird er zum gemeinsamen Bezug, an dem wir alles andere messen.

Die drei Bauteile reagieren auf diesen gemeinsamen Strom aber völlig unterschiedlich.

Beim Widerstand – dem Wirkwiderstand R – sind Strom und Spannung im Gleichtakt. Die Spannung U_R erreicht ihren Höchstwert genau dann, wenn auch der Strom seinen Höchstwert hat. Keine Verschiebung.

Bei der Spule ist es anders. Der induktive Blindwiderstand X_L sorgt dafür, dass die Spannung dem Strom um 90° vorauseilt. Anschaulich: Die Spule wehrt sich gegen Stromänderungen, die Spannung über ihr ist am größten, wenn sich der Strom am schnellsten ändert – also im Nulldurchgang des Stroms.

Beim Kondensator dreht sich das genau um. Der kapazitive Blindwiderstand X_C bewirkt, dass die Spannung dem Strom um 90° nacheilt. Spule und Kondensator wirken also in entgegengesetzte Richtungen.

Diese drei Spannungen haben jeweils dieselbe Frequenz, aber unterschiedliche Phasenlage. Man kann ihre Augenblickswerte nicht einfach addieren, weil sie ihre Höchstwerte zu verschiedenen Zeitpunkten erreichen. Genau hier setzt das Zeigerdiagramm an.

In einer RLC-Reihenschaltung wird der Strom als Bezugsgröße für das Zeigerdiagramm gewählt. Welche Begründung trifft zu?

a) Weil der Strom in allen Bauteilen gleich groß und gleichphasig ist
b) Weil der Strom in der Reihenschaltung den größten Zahlenwert hat
c) Weil der Strom immer der Spannung um 90° vorauseilt
d) Weil sich der Strom in jedem Bauteil unterschiedlich verhält

Richtig: a)

In einer Reihenschaltung fließt durch alle Bauteile derselbe Strom, daher eignet er sich als gemeinsamer Bezug für die Phasenlage aller Spannungen. Antwort b verwechselt Bezugsgröße mit Größtwert. Antwort c gilt nur für die reine Spule, nicht allgemein. Antwort d ist gerade falsch – der Strom ist überall gleich, nur die Spannungen verhalten sich unterschiedlich.

Wie verhalten sich die Spannungen an Spule und Kondensator zueinander, wenn man sie auf den gemeinsamen Strom bezieht?

a) Beide eilen dem Strom um 90° vor
b) Beide eilen dem Strom um 90° nach
c) Sie sind in Phase mit dem Strom
d) Sie sind um insgesamt 180° gegeneinander verschoben

Richtig: d)

Die Spulenspannung eilt um 90° vor, die Kondensatorspannung um 90° nach. Der Unterschied zwischen beiden beträgt also 180° – sie wirken genau gegeneinander. Antworten a und b beschreiben jeweils nur eines der beiden Bauteile. Antwort c gilt nur für den Wirkwiderstand.

2. Das Zeigerdiagramm der RLC-Reihenschaltung

Statt der zeitlich verschobenen Sinuskurven zeichnet man die Spannungen als Zeiger. Jeder Zeiger steht für den Effektivwert einer Spannung, seine Richtung für die Phasenlage. Der Strom liegt als waagrechter Bezugszeiger nach rechts.

Die drei Spannungszeiger ordnen sich dann so an:

U_R zeigt in dieselbe Richtung wie the Strom – waagrecht nach rechts.
U_L steht senkrecht nach oben, um 90° vorauseilend.
U_C steht senkrecht nach unten, um 90° nacheilend.

Weil U_L und U_C entgegengesetzt liegen, heben sie sich teilweise auf. Übrig bleibt die Differenz U_L − U_C als ein einziger senkrechter Zeiger. Ist die Spule dominanter, zeigt er nach oben; überwiegt der Kondensator, nach unten.

Jetzt sind nur noch zwei zueinander senkrechte Zeiger übrig: U_R waagrecht und (U_L − U_C) senkrecht. Ihre geometrische Summe – also der Zeiger vom Anfang zur Spitze – ist die Gesamtspannung U. Diese drei Zeiger bilden ein rechtwinkliges Dreieck, das Spannungsdreieck.

Weil das Dreieck rechtwinklig ist, gilt der Satz des Pythagoras:

U = √(U_R² + (U_L − U_C)²)

U … Gesamtspannung in V
U_R … Spannung am Widerstand in V
U_L … Spannung an der Spule in V
U_C … Spannung am Kondensator in V

Genau das ist der Grund, warum man nicht einfach addiert. Bei U_R = 3 V und einer Blindspannungsdifferenz von 4 V ergibt sich nicht 7 V, sondern √(3² + 4²) = √25 = 5 V. Die 7 V bekäme man nur, wenn alle Spannungen in dieselbe Richtung zeigten – tun sie aber nicht.

Spannungsdreieck der RLC-Reihenschaltung

Der Winkel zwischen U_R und der Gesamtspannung U is der Phasenwinkel φ. Er sagt dir, wie stark die Schaltung insgesamt vom rein ohmschen Verhalten abweicht. Damit beschäftigt sich das nächste Kapitel.

An einem Widerstand werden U_R = 6 V gemessen, die Differenz aus Spulen- und Kondensatorspannung beträgt 8 V. Wie groß ist die Gesamtspannung U?

a) 14 V
b) 10 V
c) 2 V
d) 7 V

Richtig: b)

Die Gesamtspannung ist die Hypotenuse im Spannungsdreieck: U = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 V. Antwort a (14 V) entsteht durch falsche arithmetische Addition 6 + 8. Antwort c (2 V) wäre die einfache Differenz. Antwort d ist ein typischer Schätzfehler. Nur die geometrische Addition liefert das richtige Ergebnis.

Warum ergibt sich bei U_R = 3 V und U_L − U_C = 4 V eine Gesamtspannung von 5 V und nicht von 7 V?

a) Weil die Messgeräte 2 V Verlust anzeigen
b) Weil U_R und die Blindspannung dieselbe Phasenlage haben
c) Weil U_R und die Blindspannung um 90° verschoben sind und geometrisch addiert werden
d) Weil sich Spulen- und Kondensatorspannung vollständig aufheben

Richtig: c)

U_R liegt in Phase mit dem Strom, die resultierende Blindspannung steht senkrecht dazu. Beide Zeiger bilden ein rechtwinkliges Dreieck, daher U = √(3² + 4²) = 5 V. Die 7 V (Antwort a-Logik bzw. einfache Addition) gälten nur bei gleicher Richtung – Antwort b beschreibt also genau den falschen Fall. Antwort d würde U_L − U_C = 0 bedeuten, was hier nicht zutrifft.

In einem Zeigerdiagramm zeigt der resultierende Blindspannungszeiger nach unten. Was bedeutet das?

a) Die Schaltung ist rein ohmsch
b) Spule und Kondensator sind kurzgeschlossen
c) Der induktive Anteil überwiegt den kapazitiven
d) Der kapazitive Anteil überwiegt den induktiven

Richtig: d)

U_L zeigt nach oben, U_C nach unten. Zeigt die Differenz nach unten, ist U_C größer als U_L – der Kondensator überwiegt, die Schaltung verhält sich kapazitiv. Antwort c beschreibt den umgekehrten Fall (Zeiger nach oben). Antwort a gälte nur, wenn der senkrechte Zeiger verschwindet. Antwort b ist physikalisch unsinnig.

3. Impedanz und Phasenwinkel berechnen

Das Spannungsdreieck lässt sich direkt in ein Widerstandsdreieck übersetzen. Teilt man jede Spannung durch den gemeinsamen Strom I, bleibt die Form des Dreiecks erhalten – nur die Größen heißen jetzt anders:

aus U_R wird der Wirkwiderstand R
aus U_L wird der induktive Blindwiderstand X_L
aus U_C wird der kapazitive Blindwiderstand X_C
aus U wird der Scheinwiderstand, die Impedanz Z

Die Impedanz ist der gesamte Wechselstromwiderstand der Reihenschaltung. Sie ergibt sich nach demselben Pythagoras-Schema wie die Gesamtspannung:

Z = √(R² + (X_L − X_C)²)

Z … Impedanz in Ω
R … Wirkwiderstand in Ω
X_L … induktiver Blindwiderstand in Ω
X_C … kapazitiver Blindwiderstand in Ω

Der Klammerausdruck (X_L − X_C) ist der gesamte Blindwiderstand X der Schaltung. Ist er positiv, überwiegt die Spule und die Schaltung wirkt induktiv. Ist er negativ, überwiegt der Kondensator und sie wirkt kapazitiv. Wird er null, bleibt nur R übrig – der Sonderfall der Resonanz.

Der Phasenwinkel φ beschreibt, wie weit Strom und Gesamtspannung auseinanderliegen. Aus dem rechtwinkligen Dreieck folgt er auf zwei Wegen.

Über den Tangens, wenn die Widerstände bekannt sind:

tan φ = (X_L − X_C) / R

φ … Phasenwinkel in Grad
X_L … induktiver Blindwiderstand in Ω
X_C … kapazitiver Blindwiderstand in Ω
R … Wirkwiderstand in Ω

Über den Kosinus, wenn man Wirkwiderstand und Impedanz hat:

cos φ = R / Z

φ … Phasenwinkel in Grad
R … Wirkwiderstand in Ω
Z … Impedanz in Ω

Der Kosinus des Phasenwinkels ist der Leistungsfaktor. Er gibt an, welcher Anteil der Schaltung wirklich Leistung umsetzt. Bei cos φ = 1 ist die Schaltung rein ohmsch, bei cos φ = 0 rein blind. Dieser Wert taucht später bei Wirk-, Blind- und Scheinleistung immer wieder auf – es lohnt sich, ihn hier sicher zu beherrschen.

Hat man die Impedanz, liefert das ohmsche Gesetz den Strom:

I = U / Z

I … Strom in A
U … Gesamtspannung in V
Z … Impedanz in Ω

Gelöstes Beispiel

Eine Reihenschaltung hat R = 30 Ω, X_L = 80 Ω und X_C = 40 Ω. Sie liegt an U = 230 V.

Gegeben: R = 30 Ω, X_L = 80 Ω, X_C = 40 Ω, U = 230 V

Gesucht: Impedanz Z in Ω, Phasenwinkel φ in Grad, Strom I in A

Lösungsweg:

Blindwiderstand: X = X_L − X_C = 80 Ω − 40 Ω = 40 Ω
Impedanz: Z = √(R² + X²) = √(30² + 40²) = √(900 + 1600) = √2500 = 50 Ω
Phasenwinkel: tan φ = X / R = 40 / 30 = 1,333 → φ = 53,13°
Kontrolle über den Kosinus: cos φ = R / Z = 30 / 50 = 0,6 → φ = 53,13°
Strom: I = U / Z = 230 V / 50 Ω = 4,6 A

Ergebnis: Z = 50 Ω, φ = 53,13° (induktiv), I = 4,6 A

Übungen

Eine RLC-Reihenschaltung hat R = 60 Ω, X_L = 100 Ω und X_C = 20 Ω. Berechne die Impedanz Z.

X = 100 − 20 = 80 Ω; Z = √(60² + 80²) = √(3600 + 6400) = √10000 = 100 Ω.

Berechne für R = 40 Ω, X_L = 30 Ω und X_C = 90 Ω den gesamten Blindwiderstand und gib an, ob die Schaltung induktiv oder kapazitiv wirkt.

X = 30 − 90 = −60 Ω; der negative Wert bedeutet, der kapazitive Anteil überwiegt – die Schaltung wirkt kapazitiv.

Eine Schaltung hat R = 25 Ω and Z = 50 Ω. Berechne den Leistungsfaktor cos φ und den Phasenwinkel φ.

cos φ = R / Z = 25 / 50 = 0,5; φ = 60°.

An einer RLC-Reihenschaltung mit Z = 80 Ω liegen U = 400 V. Berechne den Strom I und anschließend die Spannung U_R, wenn R = 48 Ω beträgt.

I = U / Z = 400 / 80 = 5 A; U_R = I · R = 5 · 48 = 240 V.

Für R = 12 Ω, X_L = 25 Ω und X_C = 9 Ω und einen Strom von I = 8 A: Berechne Z, die Gesamtspannung U und den Phasenwinkel φ.

X = 25 − 9 = 16 Ω; Z = √(12² + 16²) = √(144 + 256) = √400 = 20 Ω; U = I · Z = 8 · 20 = 160 V; tan φ = 16/12 = 1,333 → φ = 53,13° (induktiv).

Eine RLC-Reihenschaltung hat R = 30 Ω, X_L = 60 Ω und X_C = 20 Ω. Wie groß ist die Impedanz Z?

a) 110 Ω
b) 70 Ω
c) 10 Ω
d) 50 Ω

Richtig: d)

X = X_L − X_C = 60 − 20 = 40 Ω; Z = √(30² + 40²) = √2500 = 50 Ω. Antwort a (110 Ω) entsteht durch falsches Addieren aller drei Werte. Antwort b (70 Ω) durch R + X. Antwort c ist die bloße Differenz aus R und X. Nur die geometrische Verknüpfung ergibt 50 Ω.

Bei einer Schaltung ist R = 40 Ω und Z = 50 Ω. Welcher Leistungsfaktor cos φ ergibt sich?

a) 0,6
b) 1,25
c) 0,8
d) 0,5

Richtig: c)

cos φ = R / Z = 40 / 50 = 0,8. Antwort b (1,25) ist der Kehrwert Z/R und damit physikalisch unmöglich, weil cos φ nie größer als 1 sein kann. Antwort a entspräche R/Z bei anderen Werten. Antwort d wäre R = 25 Ω. Der Leistungsfaktor 0,8 ist hier korrekt.

Der Blindwiderstand einer Reihenschaltung errechnet sich zu X_L − X_C = −35 Ω. Was sagt das negative Vorzeichen aus?

a) Die Schaltung wirkt kapazitiv
b) Es handelt sich um einen Rechenfehler, Widerstände sind nie negativ
c) Die Impedanz ist negativ
d) Die Schaltung befindet sich in Resonanz

Richtig: a)

Ein negativer Blindwiderstand bedeutet X_C > X_L – der kapazitive Anteil überwiegt, die Schaltung verhält sich kapazitiv, der Strom eilt der Spannung voraus. Antwort b ist falsch, weil das Vorzeichen physikalisch sinnvoll die Wirkrichtung angibt. Die Impedanz selbst (Antwort c) bleibt durch das Quadrieren stets positiv. Resonanz (Antwort d) läge nur bei X = 0 vor.

4. Teilspannungen und der Sonderfall Resonanz

Sobald der Strom bekannt ist, lassen sich die einzelnen Spannungen über das ohmsche Gesetz für jedes Bauteil berechnen. Der Strom ist ja in allen Bauteilen gleich.

U_R = I · R
U_L = I · X_L
U_C = I · X_C

U_R, U_L, U_C … Teilspannungen in V
I … Strom in A
R, X_L, X_C … Widerstände in Ω

Jetzt kommt ein überraschender Punkt. Man würde erwarten, dass keine Teilspannung größer sein darf als die angelegte Gesamtspannung. In der RLC-Reihenschaltung stimmt das nicht. U_L und U_C können einzeln deutlich größer werden als U. Das nennt man Spannungsüberhöhung.

Der Grund liegt wieder in der Phasenlage. U_L und U_C zeigen im Zeigerdiagramm in entgegengesetzte Richtungen und ziehen sich rechnerisch ab. Die Gesamtspannung sieht nur die Differenz. Misst man dagegen an Spule oder Kondensator einzeln, bekommt man den vollen, ungekürzten Wert – und der kann die Gesamtspannung übersteigen. Ein Messgerät an der Spule zeigt also unter Umständen mehr Volt an als die Steckdose liefert.

Am stärksten wird dieser Effekt, wenn induktiver und kapazitiver Blindwiderstand gleich groß sind, also X_L = X_C. Dann heben sich die beiden Blindwiderstände vollständig auf. Es bleibt nur noch R übrig, die Impedanz wird minimal (Z = R), der Strom maximal und der Phasenwinkel null – die Schaltung verhält sich rein ohmsch. Dieser Zustand heißt Resonanz. Wie es dazu kommt und welche Frequenz dafür nötig ist, behandelt der eigene Beitrag zu Resonanz und Schwingkreisen ausführlich; hier genügt das Bild: Bei Resonanz tut die Schaltung von außen so, als wären Spule und Kondensator gar nicht da.

Gelöstes Beispiel

Durch eine RLC-Reihenschaltung fließt ein Strom von I = 3 A. Die Bauteile haben R = 20 Ω, X_L = 70 Ω und X_C = 30 Ω.

Gegeben: I = 3 A, R = 20 Ω, X_L = 70 Ω, X_C = 30 Ω

Gesucht: Teilspannungen U_R, U_L, U_C in V und Gesamtspannung U in V

Lösungsweg:

Teilspannungen:
U_R = I · R = 3 · 20 = 60 V
U_L = I · X_L = 3 · 70 = 210 V
U_C = I · X_C = 3 · 30 = 90 V
Gesamtspannung:
U = √(U_R² + (U_L − U_C)²) = √(60² + (210 − 90)²) = √(3600 + 14400) = √18000 = 134,16 V

Ergebnis: U_R = 60 V, U_L = 210 V, U_C = 90 V, U = 134,16 V — die Spulenspannung (210 V) ist deutlich größer als die Gesamtspannung (134,16 V).

Übungen

Durch eine Reihenschaltung fließen I = 4 A bei R = 15 Ω. Berechne U_R.

U_R = I · R = 4 · 15 = 60 V.

Bei I = 2,5 A betragen X_L = 48 Ω und X_C = 16 Ω. Berechne U_L und U_C.

U_L = 2,5 · 48 = 120 V; U_C = 2,5 · 16 = 40 V.

Eine Schaltung hat U_R = 80 V und eine Blindspannungsdifferenz von U_L − U_C = 60 V. Berechne die Gesamtspannung U.

U = √(80² + 60²) = √(6400 + 3600) = √10000 = 100 V.

Bei I = 5 A gilt R = 12 Ω, X_L = 90 Ω und X_C = 26 Ω. Berechne alle drei Teilspannungen und beurteile, ob eine Spannungsüberhöhung vorliegt.

U_R = 60 V; U_L = 450 V; U_C = 130 V; U = √(60² + (450 − 130)²) = √(3600 + 102400) = √106000 = 325,58 V. U_L (450 V) ist größer als U – es liegt Spannungsüberhöhung vor.

In einer Reihenschaltung gilt X_L = X_C = 55 Ω und R = 18 Ω bei I = 6 A. Bestimme U_L, U_C, die Gesamtspannung U und begründe das Ergebnis.

U_L = 6 · 55 = 330 V; U_C = 6 · 55 = 330 V; U = √(U_R² + (U_L − U_C)²) = √((6·18)² + 0²) = √(108²) = 108 V. Da X_L = X_C, liegt Resonanz vor: Die Blindspannungen heben sich auf, U ergibt sich allein aus U_R.

Durch eine RLC-Reihenschaltung fließen I = 2 A. Die Spule hat X_L = 120 Ω, der Kondensator X_C = 40 Ω. Wie groß ist die Spannung an der Spule?

a) 80 V
b) 320 V
c) 240 V
d) 160 V

Richtig: c)

U_L = I · X_L = 2 · 120 = 240 V. Die Spulenspannung hängt nur vom Strom und vom induktiven Blindwiderstand ab, nicht von X_C. Antwort a (80 V) verwendet die Differenz X_L − X_C. Antwort d entstünde aus I · (X_L − X_C). Antwort b verdoppelt fälschlich.

Warum kann an einer Spule eine Spannung gemessen werden, die größer ist als die angelegte Gesamtspannung?

a) U_L und U_C heben sich teilweise auf, sodass die Gesamtspannung nur die Differenz zeigt
b) Das Messgerät ist falsch kalibriert
c) Die Spule erzeugt zusätzliche Energie
d) Die Gesamtspannung wird in der Spule verstärkt

Richtig: a)

Spannungsüberhöhung entsteht, weil U_L und U_C gegenphasig sind und sich in der Summe teilweise aufheben. Die einzelne Spulenspannung bleibt voll erhalten und kann U übersteigen. Antwort c verstößt gegen die Energieerhaltung – es wird nichts erzeugt, nur Energie zwischen Spule und Kondensator hin- und hergeschoben. Antwort b und d beschreiben keine realen physikalischen Vorgänge.

Was kennzeichnet den Resonanzfall einer RLC-Reihenschaltung?

a) Die Impedanz wird maximal und der Strom minimal
b) X_L und X_C sind gleich groß, die Impedanz wird minimal und gleich R
c) Der Phasenwinkel beträgt 90°
d) Der Wirkwiderstand wird null

Richtig: b)

Bei Resonanz gilt X_L = X_C, die Blindwiderstände heben sich auf, es bleibt Z = R. Damit wird die Impedanz minimal und der Strom maximal – Antwort a beschreibt genau das Gegenteil. Der Phasenwinkel wird null, nicht 90° (Antwort c). Der Wirkwiderstand R bleibt unverändert bestehen (Antwort d ist falsch).

5. RLC in der Praxis

Die Reihenschaltung aus Widerstand, Spule und Kondensator ist kein reines Lehrbuchkonstrukt. Sie steckt überall dort, wo eine bestimmte Frequenz gezielt durchgelassen oder unterdrückt werden soll.

Wozu wird eine RLC-Reihenschaltung in einem Antennenkreis typischerweise eingesetzt?

a) Zur Gleichrichtung der Wechselspannung
b) Zur Glättung einer Gleichspannung
c) Zur frequenzselektiven Filterung eines Signals
d) Zur Erhöhung des Wirkungsgrades eines Motors

Richtig: c)

Bei Resonanz wird die Impedanz der Reihen-RLC für eine bestimmte Frequenz minimal, der Strom dieser Frequenz maximal – damit lässt sich ein Signal gezielt heraussieben. Gleichrichtung (a) leisten Dioden, Glättung (b) übernimmt ein Kondensator allein, und mit Motorwirkungsgrad (d) hat die Filterwirkung nichts zu tun.

Warum ist die Spannungsüberhöhung im Resonanzfall ein sicherheitsrelevantes Thema?

a) Weil die Gesamtspannung unkontrolliert ansteigt
b) Weil der Strom auf null sinkt
c) Weil sich der Wirkwiderstand erhitzt und durchbrennt
d) Weil an Spule oder Kondensator ein Vielfaches der Versorgungsspannung auftreten kann

Richtig: d)

Bei Resonanz können die Teilspannungen an Spule und Kondensator weit über der Versorgungsspannung liegen; ist die Isolation dafür nicht ausgelegt, droht ein Durchschlag. Die Gesamtspannung selbst bleibt von der Quelle vorgegeben (Antwort a ist falsch). Der Strom wird bei Reihenresonanz maximal, nicht null (Antwort b). Antwort c beschreibt kein durch die Spannungsüberhöhung verursachtes Problem.

Abschlusstest

Aufgabe 1: Eine RLC-Reihenschaltung hat R = 80 Ω, X_L = 150 Ω und X_C = 90 Ω.

Gegeben: R = 80 Ω, X_L = 150 Ω, X_C = 90 Ω

Gesucht: Impedanz Z in Ω

Lösungsweg:

X = X_L − X_C = 150 − 90 = 60 Ω; Z = √(80² + 60²) = √(6400 + 3600) = √10000 = 100 Ω

Ergebnis: Z = 100 Ω

Aufgabe 2: Dieselbe Schaltung (R = 80 Ω, Z = 100 Ω) liegt an U = 230 V.

Gegeben: R = 80 Ω, Z = 100 Ω, U = 230 V

Gesucht: Strom I in A und Leistungsfaktor cos φ

Lösungsweg:

I = U / Z = 230 / 100 = 2,3 A; cos φ = R / Z = 80 / 100 = 0,8

Ergebnis: I = 2,3 A; cos φ = 0,8

Aufgabe 3: Berechne den Phasenwinkel für R = 30 Ω, X_L = 90 Ω und X_C = 50 Ω.

Gegeben: R = 30 Ω, X_L = 90 Ω, X_C = 50 Ω

Gesucht: Phasenwinkel φ in Grad

Lösungsweg:

X = 90 − 50 = 40 Ω; tan φ = 40 / 30 = 1,333; φ = 53,13°

Ergebnis: φ = 53,13° (induktiv)

Aufgabe 4: In einer Reihenschaltung fließen I = 4 A. Die Bauteile haben X_L = 60 Ω und X_C = 25 Ω.

Gegeben: I = 4 A, X_L = 60 Ω, X_C = 25 Ω

Gesucht: U_L und U_C in V

Lösungsweg:

U_L = I · X_L = 4 · 60 = 240 V; U_C = I · X_C = 4 · 25 = 100 V

Ergebnis: U_L = 240 V; U_C = 100 V

Aufgabe 5: Eine RLC-Reihenschaltung mit R = 9 Ω, X_L = 40 Ω und X_C = 28 Ω wird von I = 10 A durchflossen.

Gegeben: R = 9 Ω, X_L = 40 Ω, X_C = 28 Ω, I = 10 A

Gesucht: Impedanz Z in Ω und Gesamtspannung U in V

Lösungsweg:

X = 40 − 28 = 12 Ω; Z = √(9² + 12²) = √(81 + 144) = √225 = 15 Ω; U = I · Z = 10 · 15 = 150 V

Ergebnis: Z = 15 Ω; U = 150 V

Aufgabe 6: Bei einer Schaltung mit U_R = 120 V, U_L = 200 V und U_C = 40 V soll die Gesamtspannung bestimmt werden.

Gegeben: U_R = 120 V, U_L = 200 V, U_C = 40 V

Gesucht: Gesamtspannung U in V

Lösungsweg:

U = √(U_R² + (U_L − U_C)²) = √(120² + (200 − 40)²) = √(14400 + 25600) = √40000 = 200 V

Ergebnis: U = 200 V

Welche Formel beschreibt die Impedanz einer RLC-Reihenschaltung korrekt?

a) Z = √(R² + (X_L − X_C)²)
b) Z = R + X_L + X_C
c) Z = √(R² + (X_L + X_C)²)
d) Z = R + (X_L − X_C)

Richtig: a)

Die Impedanz folgt aus dem rechtwinkligen Widerstandsdreieck mit dem Satz des Pythagoras, wobei der Blindwiderstand die Differenz X_L − X_C ist. Antwort b addiert alles arithmetisch und ignoriert die Phasenlage. Antwort c addiert die Blindwiderstände, obwohl sie gegeneinander wirken. Antwort d vergisst das Quadrieren.

Eine Schaltung hat R = 60 Ω, X_L = 25 Ω und X_C = 25 Ω. Wie verhält sie sich?

a) Rein induktiv
b) Rein kapazitiv
c) Rein ohmsch (Resonanz)
d) Die Impedanz wird unendlich

Richtig: c)

Wegen X_L = X_C heben sich die Blindwiderstände auf, es bleibt Z = R = 60 Ω – die Schaltung ist rein ohmsch, der Resonanzfall. Antworten a und b setzen ein Überwiegen eines Blindanteils voraus, das hier nicht vorliegt. Antwort d gilt für die Reihenresonanz gerade nicht – die Impedanz wird minimal, nicht unendlich.

Der Phasenwinkel einer Schaltung ist negativ. Was bedeutet das?

a) Die Schaltung wirkt kapazitiv
b) Die Schaltung wirkt induktiv
c) Die Schaltung ist in Resonanz
d) Der Leistungsfaktor ist größer als 1

Richtig: a)

Ein negativer Phasenwinkel entsteht, wenn X_C > X_L, also der kapazitive Anteil überwiegt – die Spannung eilt dem Strom nach. Induktives Verhalten (Antwort b) ergäbe einen positiven Winkel. Resonanz (Antwort c) bedeutet φ = 0. Ein Leistungsfaktor über 1 (Antwort d) ist physikalisch unmöglich.

Welcher Strom fließt durch eine RLC-Reihenschaltung mit Z = 46 Ω an U = 230 V?

a) 5 A
b) 0,2 A
c) 10580 A
d) 184 A

Richtig: a)

I = U / Z = 230 / 46 = 5 A. Antwort b vertauscht Zähler und Nenner. Antwort c multipliziert statt zu dividieren. Antwort d bildet die Differenz U − Z, was physikalisch sinnlos ist.

In einer Reihenschaltung ist U_C größer als U_L. Wohin zeigt der resultierende Blindspannungszeiger im Zeigerdiagramm?

a) Nach oben
b) Waagrecht nach rechts
c) Waagrecht nach links
d) Nach unten

Richtig: d)

U_L zeigt nach oben, U_C nach unten. Ist U_C größer, überwiegt der nach unten gerichtete Anteil – der resultierende Zeiger zeigt nach unten. Waagrechte Richtungen (Antworten b, c) sind dem Wirkanteil bzw. dem Strom vorbehalten, nicht der Blindspannung.

Eine RLC-Reihenschaltung hat den Leistungsfaktor cos φ = 1. Was folgt daraus?

a) Die Schaltung enthält keinen Widerstand
b) Der Blindwiderstand X_L − X_C ist null
c) Der Strom ist null
d) Die Spannung an der Spule ist maximal

Richtig: b)

cos φ = R/Z = 1 bedeutet Z = R, also X_L − X_C = 0 – der Resonanzfall. Antwort a ist falsch, weil gerade R die gesamte Impedanz bildet. Antwort c widerspricht der Resonanz, bei der der Strom maximal wird. Antwort d trifft nicht zwingend zu, da die Teilspannungen von den Absolutwerten der Blindwiderstände abhängen.

Warum darf man die Beträge von R, X_L und X_C nicht einfach addieren, um Z zu erhalten?

a) Weil die Bauteile unterschiedlich groß sind
b) Weil die zugehörigen Spannungen unterschiedliche Phasenlagen haben
c) Weil R immer kleiner als X
d) Weil die Frequenz sich ständig ändert

Richtig: b)

Wirk- und Blindspannungen erreichen ihre Höchstwerte zu verschiedenen Zeitpunkten – sie sind phasenverschoben und müssen geometrisch verknüpft werden. Die Bauteilgröße (a) oder ein angebliches Größenverhältnis (c) ist nicht der Grund. Die Frequenz (d) ist in einem stationären Wechselstromkreis konstant.

Eine Schaltung mit R = 40 Ω hat eine Impedanz von Z = 50 Ω. Wie groß ist der gesamte Blindwiderstand X?

a) 10 Ω
b) 90 Ω
c) 45 Ω
d) 30 Ω

Richtig: d)

Aus Z = √(R² + X²) folgt X = √(Z² − R²) = √(2500 − 1600) = √900 = 30 Ω. Antwort a (10 Ω) ist die einfache Differenz Z − R. Antwort b addiert fälschlich. Antwort c ist ein Mittelwert ohne physikalische Grundlage.

Welche Aussage über die Spannungsüberhöhung ist richtig?

a) Sie bedeutet, dass U_L oder U_C größer als die Gesamtspannung sein kann
b) Sie tritt nur bei Gleichstrom auf
c) Sie verletzt den Energieerhaltungssatz
d) Sie entsteht nur, wenn R = 0 ist

Richtig: a)

Spannungsüberhöhung heißt, dass die einzelne Teilspannung an Spule oder Kondensator die Gesamtspannung übersteigt, weil sich U_L und U_C in der Summe teilweise aufheben. Gleichstrom (b) kennt keine Blindwiderstände. Der Energieerhaltungssatz bleibt gewahrt (c), da Energie nur zwischen Spule und Kondensator pendelt. Ein verschwindender Wirkwiderstand (d) ist keine Voraussetzung.

Bei einer RLC-Reihenschaltung steigt die Frequenz so weit, dass X_L deutlich größer wird als X_C. Wie verändert sich das Verhalten der Schaltung?

a) Sie wird zunehmend kapazitiv
b) Sie wird zunehmend induktiv
c) Sie bleibt immer rein ohmsch
d) Die Impedanz wird null

Richtig: b)

Mit steigender Frequenz wächst X_L und sinkt X_C. Überwiegt X_L, dominiert der induktive Anteil – die Schaltung wird induktiv, der Phasenwinkel positiv. Kapazitives Verhalten (a) läge bei überwiegendem X_C vor. Rein ohmsch (c) ist nur der Resonanzpunkt. Eine Impedanz von null (d) tritt nicht auf, da mindestens R bestehen bleibt.

Glossar

Impedanz (Scheinwiderstand): Der gesamte Wechselstromwiderstand einer Schaltung aus Wirk- und Blindwiderstand, geometrisch verknüpft: Z = √(R² + (X_L − X_C)²). Einheit Ohm.
Blindwiderstand: Sammelbegriff für den induktiven (X_L) und kapazitiven (X_C) Widerstand; in der Reihenschaltung zählt ihre Differenz X_L − X_C.
Spannungsdreieck: Rechtwinkliges Dreieck aus U_R, der Blindspannungsdifferenz und der Gesamtspannung, das die geometrische Addition der Teilspannungen veranschaulicht.
Widerstandsdreieck: Aus dem Spannungsdreieck durch Division mit dem Strom abgeleitetes Dreieck aus R, X_L − X_C und Z.
Phasenwinkel φ: Winkel zwischen Strom und Gesamtspannung; gibt an, wie stark die Schaltung vom rein ohmschen Verhalten abweicht.
Leistungsfaktor cos φ: Verhältnis von Wirkwiderstand zu Impedanz (cos φ = R/Z); beschreibt den Anteil der Schaltung, der tatsächlich Wirkleistung umsetzt.
Spannungsüberhöhung: Effekt, bei dem die Teilspannung an Spule oder Kondensator größer wird als die angelegte Gesamtspannung, weil sich U_L und U_C gegenphasig teilweise aufheben.
Resonanz: Betriebszustand bei X_L = X_C, in dem sich die Blindwiderstände aufheben, die Impedanz minimal (Z = R), der Strom maximal und der Phasenwinkel null wird.