RLC-Parallelschaltung

Bei einer Parallelschaltung sind alle drei Bauteile mit denselben zwei Knotenpunkten verbunden. Daraus folgt eine einfache, aber zentrale Tatsache: An jedem der drei Zweige liegt die gleiche Spannung an. Die Spannung ist hier die gemeinsame Größe — sie ist überall in Betrag und Phase identisch.

Bei der Reihenschaltung ist es genau umgekehrt: Dort fließt durch alle Bauteile derselbe Strom, und die Spannungen teilen sich auf. Diese Reihenschaltung wird in einem eigenen Beitrag behandelt; hier reicht der Hinweis, dass man die beiden Schaltungen nicht durcheinanderbringen darf.

Weil bei der Parallelschaltung die Spannung die gemeinsame Größe ist, dreht man die ganze Betrachtung um: Man legt die Spannung als festen Bezug fest und schaut, welcher Strom in jedem Zweig fließt. Der Gesamtstrom ist die Summe der drei Zweigströme — allerdings keine einfache Summe, sondern eine geometrische. Warum das so ist, klärt sich im nächsten Kapitel.

Ein kurzer Ausblick: Wer mit Parallelschaltungen viel rechnet, steigt oft auf das Denken in Leitwerten um (Leitwert ist der Kehrwert des Widerstands). Das macht die Formeln eleganter. Für das Verständnis ist der Weg über die Ströme aber anschaulicher, und genau den gehen wir hier.

Schauen wir uns jeden Zweig einzeln an. Da die Spannung überall gleich ist, hängt der jeweilige Strom nur vom Widerstand des Zweiges ab — und vom Phasenverhalten des Bauteils.

Wirkwiderstand R: Durch den ohmschen Zweig fließt the Strom

Dieser Strom ist in Phase mit der Spannung. Steigt die Spannung, steigt der Strom im gleichen Takt. Es gibt keine zeitliche Verschiebung.

Spule (induktiver Zweig): Hier wirkt nicht R, sondern der induktive Blindwiderstand X_L. Der Strom beträgt

Der Strom durch die Spule eilt der Spannung um 90° nach. Die Spule wehrt sich gegen Stromänderungen, deshalb hinkt ihr Strom hinterher. (Wie sich X_L aus Induktivität und Frequenz ergibt, ist Thema des eigenen Beitrags zur Spule im Wechselstromkreis.)

Kondensator (kapazitiver Zweig): Hier wirkt der kapazitive Blindwiderstand X_C:

Der Strom durch den Kondensator eilt der Spannung um 90° voraus. Der Strom fließt in den Kondensator, um dessen Ladung und damit die Spannung zu ändern — der Strom ist also schon auf seinem Maximum, während die Spannung erst noch ansteigt.

Das Entscheidende: Spulenstrom und Kondensatorstrom verhalten sich genau gegensätzlich. Der eine eilt 90° nach, der andere 90° vor. Zwischen I_L und I_C liegen also volle 180° — sie zeigen in entgegengesetzte Richtungen und wirken einander entgegen. Diese Gegenläufigkeit ist der Schlüssel zur ganzen Schaltung.

Um die phasenverschobenen Ströme sauber zusammenzusetzen, zeichnet man sie als Zeiger. Ein Zeiger ist ein Pfeil, dessen Länge den Betrag des Stroms angibt und dessen Richtung die Phasenlage.

Als Bezugszeiger dient die Spannung U. Sie zeigt waagrecht nach rechts, weil sie die gemeinsame Größe ist und alle Phasenangaben sich auf sie beziehen.

Nun tragen wir die drei Ströme relativ zur Spannung ein:

• I_R liegt in Phase mit U und zeigt ebenfalls waagrecht nach rechts.
• I_L eilt 90° nach und zeigt deshalb senkrecht nach unten.
• I_C eilt 90° vor und zeigt senkrecht nach oben.

Da I_L und I_C auf derselben senkrechten Linie liegen, aber in entgegengesetzte Richtungen zeigen, ziehen wir sie zusammen. Übrig bleibt ein einziger senkrechter Zeiger, der resultierende Blindstrom:

Ist I_L größer als I_C, zeigt der Blindstrom nach unten — die Schaltung verhält sich induktiv. Ist I_C größer, zeigt er nach oben — die Schaltung verhält sich kapazitiv. Sind beide gleich groß, heben sie sich auf; das ist der Resonanzfall, den wir am Ende noch ansprechen.

Der Gesamtstrom I ergibt sich nun als Zeiger von der gemeinsamen Spitze aus: Er ist die geometrische Summe aus dem waagrechten Wirkstrom I_R und dem senkrechten Blindstrom I_b. Im Diagramm bildet er die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Katheten I_R und I_b sind.

Der Winkel zwischen dem Gesamtstrom I und der Spannung U ist der Phasenwinkel φ. Er sagt, wie stark der Gesamtstrom gegenüber der Spannung verschoben ist und in welche Richtung.

Jetzt setzen wir die Geometrie in Zahlen um. Aus dem rechtwinkligen Dreieck im Zeigerdiagramm folgt der Gesamtstrom über den Satz des Pythagoras:

Der Ausdruck in der Klammer ist der bereits bekannte resultierende Blindstrom I_b = I_L − I_C. Dass er quadriert wird, sorgt dafür, dass sein Vorzeichen für den Betrag des Gesamtstroms keine Rolle spielt — ob die Schaltung induktiv oder kapazitiv ist, der Gesamtstrom hat denselben Betrag, solange der Blindstrom gleich groß ist.

Den Phasenwinkel φ liefert das Verhältnis der beiden Katheten:

Das Vorzeichen verrät die Richtung: Ist I_L − I_C positiv (induktiv), eilt der Gesamtstrom der Spannung nach; ist es negativ (kapazitiv), eilt er vor. In der Praxis interessiert oft nur der Betrag des Winkels und die Angabe „induktiv“ oder „kapazitiv“.

Der Zusammenhang zwischen Gesamtstrom und dem Gesamtwiderstand der Schaltung — der Impedanz Z = U/I — wird in einem eigenen Beitrag zum Scheinwiderstand vertieft. Hier genügt es zu wissen, dass ein kleiner Gesamtstrom bei gegebener Spannung einer großen Impedanz entspricht und umgekehrt.

Ein besonderer Betriebszustand tritt ein, wenn der Spulenstrom und der Kondensatorstrom genau gleich groß sind: I_L = I_C. Dann wird der resultierende Blindstrom null, die beiden Blindströme heben sich vollständig auf. Übrig bleibt nur der Wirkstrom — die Schaltung verhält sich nach außen rein ohmsch, und der Gesamtstrom erreicht sein Minimum.

Dieser Zustand heißt Stromresonanz. Die Parallelschaltung aus L und C wird dabei auch als Parallelschwingkreis oder Sperrkreis bezeichnet, weil sie bei Resonanz den Gesamtstrom besonders klein hält. Was dabei im Inneren der Schaltung passiert, bei welcher Frequenz Resonanz eintritt und wozu man Schwingkreise nutzt, wird im eigenen Beitrag zu Resonanz und Schwingkreisen ausführlich behandelt. Für die RLC-Parallelschaltung reicht es zu wissen: Bei I_L = I_C ist die Schaltung in Resonanz, der Blindstrom verschwindet und der Gesamtstrom wird minimal.