Potenzen, Wurzeln, Logarithmen

Wenn dieselbe Zahl immer wieder mit sich selbst multipliziert wird, wird die Schreibweise schnell unhandlich. Statt 2 * 2 * 2 * 2 * 2 schreibt man kurz 2^5. Das ist eine Potenz — eine verkürzte Schreibweise für eine wiederholte Multiplikation.

Jede Potenz besteht aus drei Teilen:

2^5 heißt also: die Basis 2 wird fünfmal als Faktor genommen, das ergibt den Potenzwert 32. Gesprochen wird das „zwei hoch fünf“.

Zwei Exponenten haben eigene Namen, weil sie ständig vorkommen. a^2 heißt Quadrat (von der Fläche eines Quadrats mit Seitenlänge a), a^3 heißt Kubik oder dritte Potenz (vom Volumen eines Würfels). Eine Geschwindigkeit in m/s² oder ein Querschnitt in mm² steckt also schon voller Potenzen.

Sonderfälle, die man kennen muss

Zwei Exponenten verhalten sich auf den ersten Blick eigenartig:

Dass a^1 = a ist, leuchtet ein: die Basis steht genau einmal da. Dass a^0 = 1 ergibt, wird im nächsten Kapitel über die Potenzgesetze sauber begründet. Für die Praxis gilt daher die feste Regel: Jede Zahl außer null hoch null ergibt eins.

Vorzeichen bei negativer Basis

Ist die Basis negativ, entscheidet der Exponent über das Vorzeichen des Ergebnisses. Bei einem geraden Exponenten heben sich die Minuszeichen paarweise auf, das Ergebnis ist positiv. Bei einem ungeraden Exponenten bleibt ein Minus übrig:

Wichtig ist die Klammer. -2^2 ohne Klammer bedeutet -(2^2) = -4, weil das Potenzieren vor dem Vorzeichen kommt. (-2)^2 bedeutet dagegen +4. Dieser kleine Unterschied führt in der Praxis regelmäßig zu Fehlern.

Die eigentliche Stärke der Potenzschreibweise zeigt sich, wenn man mit Potenzen rechnet, statt sie jedes Mal auszumultiplizieren. Dafür gibt es eine kleine Sammlung von Regeln — die Potenzgesetze. Alle lassen sich aus der Grundidee „Potenz heißt wiederholtes Multiplizieren“ herleiten.

Gleiche Basis multiplizieren — Exponenten addieren:

Das ist sofort einsichtig: 2^3 * 2^2 ist (2*2*2) * (2*2), also fünfmal die 2, das heißt 2^5.

Gleiche Basis dividieren — Exponenten subtrahieren:

Hier steckt auch die Begründung für a^0 = 1: Teilt man a^3 / a^3, ergibt das nach der Regel a^0. Da aber jede Zahl durch sich selbst geteilt 1 ergibt, muss a^0 = 1 sein.

Potenz einer Potenz — Exponenten multiplizieren:

Produkt potenzieren — jeder Faktor einzeln:

Daraus folgt etwa (2 * 5)^2 = 2^2 * 5^2 = 4 * 25 = 100, was exakt 10^2 entspricht. Ob man also zuerst multipliziert und dann potenziert oder umgekehrt, spielt für das Ergebnis keine Rolle.

Quotient potenzieren — Zähler und Nenner einzeln:

Ein Zahlenbeispiel: (6 / 2)^3 = 6^3 / 2^3 = 216 / 8 = 27, und das ist dasselbe wie 3^3. Der Exponent verteilt sich also sauber auf Zähler und Nenner.

Negative Exponenten

Setzt man die Divisionsregel fort, landet man bei negativen Exponenten. a^2 / a^5 = a^(2-5) = a^(-3). Da im Nenner mehr Faktoren stehen, ist das Ergebnis ein Kehrwert:

Ein negativer Exponent bedeutet also schlicht „eins durch die Potenz“. 10^(-3) ist 1 / 1000 = 0,001. Diese Regel ist die Grundlage für die kleinen Vorsätze wie Milli und Mikro im nächsten Kapitel.

Gebrochene Exponenten — die Brücke zur Wurzel

Ein Exponent muss keine ganze Zahl sein. Ein gebrochener Exponent ist die Verbindung zwischen Potenz und Wurzel — darauf bauen wir in Kapitel 4 auf:

Vorerst genügt es zu wissen: ein Exponent von 1/2 ist dasselbe wie eine Quadratwurzel. Warum das so sein muss, ergibt sich aus der Regel „Potenz einer Potenz“: (a^(1/2))^2 = a^1 = a, und genau das tut die Wurzel — sie wird durch Quadrieren rückgängig gemacht.

In der Technik tauchen ständig sehr große und sehr kleine Zahlen auf — die Lichtgeschwindigkeit, ein Isolationswiderstand im Gigaohm-Bereich, eine Kapazität von wenigen Pikofarad. Solche Zahlen mit allen Nullen auszuschreiben ist fehleranfällig. Die wissenschaftliche Schreibweise löst das mit Zehnerpotenzen.

Die idée: Jede Zahl wird als Produkt aus einer Zahl zwischen 1 und 10 und einer Zehnerpotenz dargestellt.

Das Komma wird hierbei um vier Stellen nach rechts verschoben, was durch den negativen Exponenten -4 ausgedrückt wird. Allgemein zählt der Exponent einfach die Stellen, um die das Komma verschoben wird. Positive Exponenten stehen für große Zahlen, negative für kleine — der negative Exponent ist nach Kapitel 2 ja nichts anderes als ein Kehrwert.

Bezug zu den SI-Vorsätzen

Die gebräuchlichen Vorsätze sind direkt bestimmte Zehnerpotenzen. Auf der Ebene der Schreibweise sieht das so aus:

Mehr braucht es an dieser Stelle nicht. Wie man mit diesen Vorsätzen sauber zwischen Einheiten umrechnet, also etwa kΩ in Ω oder mA in A, ist ein eigenes Thema und wird im Beitrag zu den SI-Einheiten und der Einheitenumrechnung ausführlich behandelt. Hier geht es nur um den Zusammenhang Zehnerpotenz–Vorsatz als Schreibweise.

Bisher ging es vorwärts: Basis und Exponent sind bekannt, gesucht ist der Potenzwert. Beim Wurzelziehen wird die Frage umgedreht. Bekannt sind Ergebnis und Exponent, gesucht ist die Basis. „Welche Zahl ergibt, mit sich selbst multipliziert, 49?“ — das ist die Frage nach der Quadratwurzel.

Die Bestandteile heißen: Radikand die Zahl unter der Wurzel, Wurzelexponent die kleine Zahl in der Kerbe (bei der Quadratwurzel meist weggelassen, sie ist dann 2).

Höhere Wurzeln drehen entsprechend höhere Potenzen um. Die dritte Wurzel (Kubikwurzel) fragt: „Welche Zahl ergibt, dreimal mit sich selbst multipliziert, den Radikanden?“

Wurzel als gebrochener Exponent

Hier schließt sich der Kreis zu Kapitel 2. Eine Wurzel ist nur eine andere Schreibweise für eine Potenz mit gebrochenem Exponenten:

Das ist mehr als eine Spielerei: In dieser Form gelten für Wurzeln automatisch alle Potenzgesetze. Eine Wurzel rechnet sich damit genauso wie eine Potenz, man muss sich keine getrennten Regeln merken.

Wurzelgesetze

Aus den Potenzgesetzen folgen direkt die Regeln für Wurzeln:

Produkte und Quotienten lassen sich also unter einer gemeinsamen Wurzel zusammenfassen oder aufteilen. Praktisch beim Überschlagen: √200 lässt sich als √(100*2) = √100 * √2 = 10 * √2 schreiben, und √2 kennt man als ungefähr 1,41.

Interaktiv: Potenz-Wurzel-Logarithmus-Rechner

Das ganze Thema dreht sich um einen einzigen Zusammenhang: a^b = c. Sind zwei der drei Werte bekannt, ist der dritte eindeutig bestimmt — über Potenz, Wurzel oder Logarithmus. Dieser Rechner bildet alle drei Richtungen ab. Man gibt Basis und Exponent ein und erhält das Ergebnis (Potenz), zieht aus Ergebnis und Exponent die Basis (Wurzel) oder bestimmt aus Basis und Ergebnis den Exponenten (Logarithmus). Den Logarithmus dazu vertieft das nächste Kapitel.

Jetzt fehlt nur noch die dritte Ecke des Dreiecks. Bei der Potenz ist der Potenzwert gesucht, bei der Wurzel die Basis. Beim Logarithmus ist der Exponent die Unbekannte: „Mit welchem Exponenten muss ich die Basis potenzieren, um das Ergebnis zu bekommen?“

In Worten: Der Logarithmus von c zur Basis a ist der Exponent b, mit dem man a potenzieren muss, um c zu erhalten. log_2(8) = 3, weil 2^3 = 8. Der Logarithmus ist also die Antwort auf die Frage „der wievielte Schritt der Verdopplung ist das?“.

Die drei gebräuchlichen Basen

Drei Basen kommen in der Technik immer wieder vor und haben eigene Kurzschreibweisen:

Der Zehnerlogarithmus steckt hinter den Dezibel im nächsten Kapitel. Der natürliche Logarithmus mit der Basis e taucht bei Lade- und Entladevorgängen, Abklingkurven und überall dort auf, wo etwas exponentiell wächst oder fällt. Der Logarithmus zur Basis 2 spielt in der Digitaltechnik eine Rolle, etwa beim Zusammenhang zwischen Bitanzahl und Zustandszahl.

Die Logarithmengesetze

Die Logarithmengesetze sind das Spiegelbild der Potenzgesetze. Weil ein Logarithmus ein Exponent ist und beim Multiplizieren von Potenzen die Exponenten addiert werden, wird beim Logarithmus aus einem Produkt eine Summe:

Das dritte Gesetz ist in der Praxis besonders nützlich: Eine Potenz im Argument wird zu einem einfachen Faktor vor dem Logarithmus. Genau das macht die dB-Rechnung handlich.

Für den Wechsel zwischen Basen gibt es eine Umrechnung, die auch der Rechner aus Kapitel 4 nutzt:

Damit lässt sich jeder Logarithmus auf den natürlichen oder den Zehnerlogarithmus zurückführen — praktisch, weil Taschenrechner meist nur lg und ln direkt anbieten.

Logarithmen wirken zunächst abstrakt, sind aber in der Praxis allgegenwärtig — am deutlichsten beim Dezibel (dB). Verstärker, Dämpfungsglieder, Antennen, Audiotechnik: überall werden Verhältnisse in dB angegeben. Der Grund ist der Logarithmus.

Verhältnisse in der Technik überspannen oft viele Größenordnungen, vom Tausendstel bis zum Millionenfachen. Trägt man sie linear auf, wird die Darstellung unbrauchbar. Der Logarithmus staucht diesen riesigen Bereich auf handliche Zahlen zusammen. Ein Faktor 10 wird zu 10 dB, ein Faktor 100 zu 20 dB — aus Multiplizieren wird Addieren.

dB als Verhältnis

Für ein Leistungsverhältnis gilt:

Für ein Spannungsverhältnis steht eine 20 statt der 10 vor dem Logarithmus, weil Leistung quadratisch von der Spannung abhängt (P ~ U^2) und das Quadrat nach dem Logarithmengesetz als Faktor 2 vorgezogen wird:

Ein paar Werte, die man im Kopf haben sollte: ein Spannungsverhältnis von 2 sind rund 6 dB, ein Faktor 10 sind genau 20 dB. Bei Leistung sind 10 dB ein Faktor 10 und 3 dB eine Verdopplung.

Absolute Pegel mit Bezugsgröße

In der Praxis stehen auf Datenblättern selten nackte Verhältnisse, sondern feste Pegelangaben. Dafür wird das Verhältnis auf eine genormte Bezugsgröße bezogen. Das macht der kleine Buchstabe hinter dem dB deutlich:

• dBm — Bezug auf 1 mW. 0 dBm sind also genau 1 mW. Standard in der Hochfrequenz- und Netzwerktechnik.
• dBu — Bezug auf 0,775 V (die Spannung, die an 600 Ω genau 1 mW erzeugt). Üblich in der professionellen Audio- und Studiotechnik.
• dBV — Bezug auf 1 V. 0 dBV sind genau 1 V.

Der Rechentrick bleibt derselbe, nur ist eine der beiden Größen jetzt fest. Für dBm zum Beispiel: