RC- und RL-Schaltungen

Im Gleichstromkreis ist die Reihenschaltung unkompliziert: Liegen zwei Widerstände hintereinander, addieren sich ihre Teilspannungen direkt zur Gesamtspannung. 6 Volt plus 4 Volt ergeben 10 Volt – fertig.

Im Wechselstromkreis funktioniert das nur, solange ausschließlich ohmsche Widerstände im Spiel sind. An einem reinen Wirkwiderstand laufen Strom und Spannung im Gleichtakt: Beide erreichen ihren Höchstwert zur selben Zeit, beide gehen gleichzeitig durch null. Man sagt, sie sind in Phase.

Anders bei Kondensator und Spule. An einem Kondensator eilt die Spannung dem Strom um eine Viertelperiode nach, an einer Spule eilt sie um eine Viertelperiode vor – in beiden Fällen eine Verschiebung von 90°. Diese Bauteile setzen dem Wechselstrom einen Blindwiderstand entgegen: einen Widerstand, der keine Wirkleistung verbraucht, sondern Energie nur zwischenspeichert und wieder abgibt.

Schaltet man nun einen Widerstand und einen solchen Blindwiderstand in Reihe, fließt durch beide derselbe Strom. Aber ihre Teilspannungen erreichen ihre Höchstwerte zu unterschiedlichen Zeitpunkten. Genau hier scheitert das einfache Zusammenzählen: Zwei Spannungen von 6 V und 8 V, die um 90° gegeneinander verschoben sind, ergeben eben nicht 14 V.

Der Ausweg ist die zeigerhafte Darstellung. Man zeichnet jede Spannung als Pfeil (Zeiger), dessen Länge dem Spannungswert entspricht und dessen Richtung die Phasenlage angibt. Spannungen, die um 90° verschoben sind, stehen dann senkrecht aufeinander. Die Gesamtspannung ist nicht die summe der Längen, sondern die geometrische Summe – also die Diagonale im rechtwinkligen Dreieck. Und für rechtwinklige Dreiecke gibt es ein vertrautes Werkzeug: den Satz des Pythagoras.

Das ist die ganze Idee hinter RC- und RL-Schaltungen. Alles Weitere ist die saubere Anwendung dieses Gedankens auf zwei konkrete Fälle.

Wir schalten einen ohmschen Widerstand R in Reihe mit einem Kondensator C und legen Wechselspannung an. Da es eine Reihenschaltung ist, fließt durch beide der gleiche Strom. Diesen Strom nimmt man als Bezugsgröße – an ihm orientieren sich die Spannungen.

Am Widerstand ist die Spannung U_R in Phase mit dem Strom. Am Kondensator eilt die Spannung U_C dem Strom um 90° nach. Im Zeigerdiagramm zeichnet man deshalb U_R waagrecht (in Stromrichtung) und U_C um 90° nach unten gedreht. Beide Zeiger stehen senkrecht aufeinander, und die Gesamtspannung U ist die Diagonale dieses rechtwinkligen Dreiecks – das sogenannte Spannungsdreieck.

Damit ergibt sich die Gesamtspannung über den Satz des Pythagoras:

Teilt man jede dieser Spannungen durch den gemeinsamen Strom, erhält man die zugehörigen Widerstände – und dasselbe Dreieck noch einmal, nur in Ohm statt in Volt. Der Scheinwiderstand Z (auch Impedanz genannt) ist der Gesamtwiderstand der Schaltung:

Der kapazitive Blindwiderstand X_C hängt von der Frequenz und der Kapazität ab – je höher die Frequenz, desto kleiner X_C. Wie man X_C selbst berechnet, ist Thema des Beitrags über den Kondensator im Wechselstromkreis; hier setzen wir den Wert als gegeben voraus.

Der Phasenwinkel φ gibt an, um wie viel Grad die Gesamtspannung gegenüber dem Strom verschoben ist. Im Spannungsdreieck ist er der Winkel zwischen U_R und U:

Bei der RC-Schaltung ist der Strom der Spannung voraus – die Gesamtspannung „hinkt“ hinterher. Man spricht von einem kapazitiven Verhalten.

Jetzt tauschen wir den Kondensator gegen eine Spule: R in Reihe mit L. Wieder fließt durch beide derselbe Strom, wieder nehmen wir ihn als Bezug. Der Unterschied steckt allein in der Richtung der Phasenverschiebung.

An der Spule eilt die Spannung U_L dem Strom um 90° vor – genau umgekehrt zum Kondensator. Im Zeigerdiagramm zeichnet man U_R wieder in Stromrichtung, U_L aber um 90° nach oben. Das Spannungsdreieck ist damit das Spiegelbild des RC-Falls: Die Gesamtspannung kippt zur anderen Seite.

Die Rechnung bleibt strukturell identisch. Die Gesamtspannung:

Der Scheinwiderstand:

Der induktive Blindwiderstand X_L verhält sich gegenläufig zu X_C: Mit steigender Frequenz wird er größer. Die Herleitung von X_L gehört zum Beitrag über die Spule im Wechselstromkreis; hier ist der Wert gegeben.

Der Phasenwinkel:

Der entscheidende Unterschied zur RC-Schaltung: Bei der RL-Schaltung eilt die Spannung dem Strom voraus, der Strom hinkt hinterher. Das nennt man induktives Verhalten. Wer sich die Richtung merken will: Bei der Spule kommt die Spannung „zuerst“, beim Kondensator „zuletzt“.

Bis hierher haben wir bei einer festen Frequenz gerechnet. Spannend wird es, wenn man die Frequenz verändert – denn X_C und X_L hängen von ihr ab. Dadurch wird aus einer simplen Reihenschaltung ein Filter: eine Schaltung, die manche Frequenzen durchlässt und andere abschwächt.

Der Trick liegt darin, an welchem Bauteil man die Ausgangsspannung abgreift. Greift man bei einem RC-Glied die Spannung über dem Kondensator ab, sinkt der Ausgang mit steigender Frequenz (weil X_C kleiner wird) – tiefe Frequenzen kommen durch, hohe werden gedämpft. Das ist ein Tiefpass. Greift man stattdessen über dem Widerstand ab, dreht sich das Verhalten um: ein Hochpass.

Beim RL-Glied ist es spiegelbildlich, weil X_L gegenläufig zur Frequenz läuft. Spannung über der Spule ergibt einen Hochpass, Spannung über dem Widerstand einen Tiefpass.

Der Übergang zwischen „durchlassen“ und „dämpfen“ ist fließend. Als Kennwert dient die Grenzfrequenz f_g – die Frequenz, bei der Wirkwiderstand und Blindwiderstand gleich groß sind (R = X). An diesem Punkt ist die Ausgangsspannung auf etwa 70,7 % der Eingangsspannung abgesunken.

Für das RC-Glied:

Für das RL-Glied: