PI-Regler

Bei einem Regler hängt die Stellgröße davon ab, wie groß die Regelabweichung ist – also die Differenz zwischen dem gewünschten Sollwert und dem tatsächlichen Istwert. Beim Proportionalregler ist dieser Zusammenhang einfach: Je größer die Abweichung, desto kräftiger stellt der Regler nach. Das macht ihn schnell. Es führt aber zu einem grundsätzlichen Problem.

Damit ein P-Regler überhaupt eine Stellgröße ausgibt, braucht er eine Abweichung ungleich null. Wäre die Abweichung exakt null, wäre auch die Stellgröße null – und dann fehlt oft die Stellgröße, die nötig ist, um den Istwert auf dem Sollwert zu halten. Das Ergebnis ist eine bleibende Regelabweichung: ein kleiner Rest, der dauerhaft übrig bleibt. (Die genaue Herleitung dieses Effekts wird im eigenen Beitrag zum P-Regler behandelt.)

Der Integralregler löst dieses Problem auf andere Weise. Er summiert die Abweichung über die Zeit auf und stellt so lange weiter, wie eine Abweichung besteht – auch dann noch, wenn sie schon sehr klein ist. Dadurch verschwindet die bleibende Regelabweichung vollständig. Allein eingesetzt ist der I-Regler allerdings träge: Bis er reagiert, vergeht Zeit, und das macht den Regelkreis langsam und schwingungsanfällig. (Details dazu im Beitrag zum I-Regler.)

Damit liegt die Idee auf der Hand: Man kombiniert beide. Der P-Anteil sorgt für die schnelle erste Reaktion, der I-Anteil räumt die verbleibende Abweichung über die Zeit auf. Genau das ist der PI-Regler.

Der PI-Regler besteht aus zwei parallel arbeitenden Anteilen, deren Ausgangsgrößen addiert werden. Der P-Anteil reagiert sofort proportional auf die aktuelle Regelabweichung. Der I-Anteil summiert die Regelabweichung über die Zeit auf. Beide zusammen ergeben die Stellgröße – das Signal, mit dem der Regler auf die Strecke einwirkt.

In der Praxis – etwa beim Parametrieren von Industriesteuerungen – wird der PI-Regler fast immer in der parallelen Idealform mit den beiden Kennwerten Proportionalbeiwert und Nachstellzeit beschrieben. Im Zeitbereich sieht die Reglergleichung so aus:

Der Ausdruck in der Klammer makes die Struktur deutlich: Der erste Summand e(t) ist der proportionale Teil, der zweite Summand mit dem aufsummierten Verlauf ist der integrale Teil. Der gemeinsame Faktor Proportionalbeiwert wirkt auf beide. Das ist wichtig zu verstehen: Wer den Proportionalbeiwert verändert, verstellt nicht nur den P-Anteil, sondern skaliert auch den I-Anteil mit.

Die Nachstellzeit steckt im Nenner des I-Anteils. Eine kleine Nachstellzeit bedeutet einen großen Faktor 1/Tn und damit einen kräftig wirkenden I-Anteil. Eine große Nachstellzeit schwächt den I-Anteil ab. Was die Nachstellzeit anschaulich bedeutet, sehen wir uns im nächsten Kapitel genauer an.

Wenn man nur die konstanten Anteile betrachtet – also eine Regelabweichung, die sich nicht ändert – lassen sich die beiden Terme getrennt aufschreiben:

Der P-Anteil ist bei konstanter Abweichung ebenfalls konstant. Der I-Anteil dagegen wächst linear mit der Zeit – er läuft immer weiter hoch, solange die Abweichung besteht.

Die Nachstellzeit ist der Kennwert, der bei vielen am Anfang für Verwirrung sorgt. Eine anschauliche Deutung hilft: Die Nachstellzeit ist die Zeit, die der I-Anteil braucht, um genauso viel zur Stellgröße beizutragen wie der P-Anteil – bei einer konstanten, sprungförmigen Regelabweichung.

Das lässt sich direkt aus den Formeln ablesen. Der P-Anteil ist yP = Kp · e, konstant. Der I-Anteil ist yI = Kp · (1/Tn) · e · t, er wächst mit der Zeit. Setzt man beide gleich, kürzen sich Kp und e heraus, und es bleibt schlicht t = Tn. Egal wie groß Proportionalbeiwert oder Abweichung sind: Nach genau einer Nachstellzeit hat der I-Anteil den P-Anteil eingeholt. Daher der Name – der Regler „stellt nach“.

Daraus ergibt sich die praktische Bedeutung der Einstellung:

• 1/Tn … Gewichtung des I-Anteils
• kleine Tn -> grosser Faktor -> kraeftiger, schneller I-Anteil
• grosse Tn -> kleiner Faktor -> schwacher, langsamer I-Anteil

Eine kleine Nachstellzeit macht den Regler aggressiv: Die bleibende Regelabweichung wird schnell ausgeregelt, aber der Kreis neigt zu Überschwingen und kann instabil werden. Eine große Nachstellzeit macht ihn gutmütig: Der Istwert nähert sich ruhig dem Sollwert, braucht dafür aber länger. Die richtige Einstellung ist immer ein Kompromiss zwischen Schnelligkeit und Stabilität.

Schaut man sich die Sprungantwort an – also die Stellgröße als Reaktion auf einen Sprung der Regelabweichung –, wird das Zusammenspiel sichtbar. Im Moment des Sprungs springt der P-Anteil sofort auf seinen Wert. Von da an steigt die Gesamtstellgröße als Gerade weiter an, weil der I-Anteil linear dazukommt. Die anfängliche Stufe ist der P-Anteil, die Steigung danach kommt vom I-Anteil.

Hier die Sprungantwort eines PI-Reglers schematisch dargestellt:

Im Diagramm ist gut zu sehen: Die senkrechte Stufe bei t = 0 ist der P-Anteil. Danach läuft die Stellgröße als Gerade weiter hoch – das ist der I-Anteil, der sich aufsummiert. Nach genau einer Nachstellzeit (Tn) hat sich die Stellgröße verdoppelt, weil dann der I-Anteil so groß ist wie der P-Anteil.

Der PI-Regler ist in der Automatisierungstechnik der meistgenutzte Reglertyp – er ist gewissermaßen das Arbeitspferd unter den Reglern. Der Grund: Die meisten technischen Strecken brauchen genau das, was er bietet. Eine schnelle Reaktion auf Störungen und am Ende keine bleibende Abweichung. Ein reiner Differentialanteil, wie ihn der PID-Regler zusätzlich hat, lohnt sich nur bei Strecken mit ausgeprägter Trägheit; für viele Anwendungen genügt PI.

Für die Einstellung der beiden Kennwerte gibt es systematische Verfahren, mit denen man Proportionalbeiwert und Nachstellzeit aus dem beobachteten Streckenverhalten ableitet. Eines der bekanntesten ist das Verfahren nach Ziegler und Nichols. Die genaue Vorgehensweise dazu wird in einem eigenen Beitrag behandelt.

Eine Eigenheit muss man beim PI-Regler aber kennen, weil sie in realen Anlagen regelmäßig Probleme macht. Sie hängt damit zusammen, dass jedes echte Stellglied eine Grenze hat.