Sinus, Cosinus, Tangens – Einheitskreis

Am rechtwinkligen Dreieck sind die drei Winkelfunktionen über die Seitenverhältnisse definiert: Sinus als Gegenkathete durch Hypotenuse, Cosinus als Ankathete durch Hypotenuse, Tangens als Gegenkathete durch Ankathete. Das ist für viele Aufgaben völlig ausreichend – solange der Winkel zwischen 0° und 90° liegt. Mehr passt in ein rechtwinkliges Dreieck nicht hinein.

Das Problem zeigt sich, sobald etwas rotiert. Eine Motorwelle bleibt bei 90° nicht stehen, sie dreht weiter über 180°, 270° und 360° hinaus. Ein Generator erzeugt eine Spannung, die nicht nur ansteigt, sondern auch negativ wird. Solche Vorgänge lassen sich am Dreieck nicht abbilden – ein Winkel von 210° oder ein negativer Sinuswert haben dort keinen Platz.

Es braucht also eine Sichtweise, die den Winkel als etwas Fortlaufendes begreift und die auch negative Werte zulässt. Diese Sichtweise ist der Einheitskreis.

Der Einheitskreis ist ein Kreis mit dem Radius r = 1 um den Ursprung eines Koordinatensystems. Die Einheit ist dabei bewusst dimensionslos – es geht um das Verhältnis, nicht um Zentimeter oder Meter.

Wir setzen einen Punkt P auf den Kreis und ziehen vom Ursprung eine Linie zu diesem Punkt. Der Winkel zwischen dieser Linie und der positiven x-Achse ist unser Winkel, üblicherweise mit alpha bezeichnet. Gezählt wird gegen den Uhrzeigersinn – das ist die mathematisch positive Drehrichtung.

Jetzt kommt der entscheidende Schritt. Der Punkt P hat eine x-Koordinate und eine y-Koordinate. Und genau diese beiden Koordinaten sind Cosinus und Sinus des Winkels:

Das passt nahtlos zur Dreiecksdefinition: Verbindet man P senkrecht mit der x-Achse, entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse r = 1. Die Gegenkathete (die y-Strecke) ist dann sin(alpha), die Ankathete (die x-Strecke) ist cos(alpha) – denn beim Teilen durch die Hypotenuse 1 ändert sich nichts. Der Einheitskreis ist also keine neue Definition, sondern eine Erweiterung der alten.

Der Tangens ergibt sich als Verhältnis der beiden Koordinaten:

Geometrisch lässt er sich als Strecke auf der senkrechten Tangente am rechten Kreisrand (bei x = 1) deuten. Daher der Name. An dieser Deutung erkennt man auch sofort, warum der Tangens bei 90° und 270° nicht existiert: Dort ist x = cos(alpha) = 0, und durch null kann man nicht teilen.

Die folgende Darstellung zeigt den Einheitskreis mit einem eingezeichneten Winkel und den zugehörigen Strecken für Sinus und Cosinus.

Bisher haben wir Winkel in Grad angegeben – ein Vollkreis hat 360°. Diese Einteilung ist historisch gewachsen und für die Anschauung praktisch. Für die technische Rechnung mit Schwingungen und Drehbewegungen ist sie aber unhandlich. Dort verwendet man das Bogenmaß.

Die Idee ist einfach und ergibt sich direkt aus dem Einheitskreis: Statt den Winkel in Grad zu zählen, misst man die Länge des Kreisbogens, den der Winkel am Einheitskreis abschneidet. Diese Bogenlänge ist das Bogenmaß, die Einheit heißt Radiant (rad).

Da der Einheitskreis den Radius 1 hat, beträgt sein Umfang 2π. Ein Vollkreis entspricht also dem Bogenmaß 2π. Daraus folgt direkt die Umrechnung:

Ein paar Werte sollte man im Kopf haben:

Der eigentliche Grund, warum das Bogenmaß in der Technik unverzichtbar ist, liegt in der Kreisfrequenz omega. Dreht sich etwas mit der Frequenz f (Umdrehungen pro Sekunde), so durchläuft es pro Sekunde den Winkel 2π·f im Bogenmaß. Diese Größe ist die Kreisfrequenz:

Die Periodendauer – also die Zeit für einen vollen Umlauf – ist der Kehrwert der Frequenz:

Mit der Kreisfrequenz lässt sich der Winkel direkt als Funktion der Zeit ausdrücken, und genau das brauchen wir, um eine Wechselgröße zu beschreiben. Darauf kommen wir in Kapitel 6 zurück.

Der Einheitskreis teilt sich durch die beiden Achsen in vier Quadranten. Welches Vorzeichen Sinus und Cosinus haben, hängt allein davon ab, in welchem Quadranten der Punkt liegt – und das wiederum folgt direkt aus den Koordinaten. Rechts ist x positiv, links negativ; oben ist y positiv, unten negativ.

Daraus ergibt sich folgendes Bild:

Der Tangens ist positiv, wenn Sinus und Cosinus dasselbe Vorzeichen haben (Quadranten I und III), und negativ, wenn die Vorzeichen verschieden sind (Quadranten II und IV). Das ist keine Regel zum Auswendiglernen, sondern folgt zwingend aus tan = sin/cos.

Neben den Vorzeichen lohnt es sich, die Funktionswerte einiger besonderer Winkel parat zu haben:

Bei 90° und 270° ist der Cosinus null, deshalb existiert der Tangens dort nicht.

Bisher haben wir den Punkt auf dem Kreis betrachtet. Was passiert, wenn wir den Winkel kontinuierlich wachsen lassen und dabei nur die y-Koordinate – also den Sinuswert – über dem Winkel auftragen?

Man kann sich das als Abrollen des Einheitskreises vorstellen. Während der Punkt einmal herumläuft, zeichnet seine Höhe eine wellenförmige Kurve: die Sinuskurve. Sie startet bei 0, steigt bis zum Höchstwert 1 bei 90°, fällt zurück auf 0 bei 180°, weiter zum Tiefstwert −1 bei 270° und ist bei 360° wieder bei 0. Danach wiederholt sich alles – die Kurve ist periodisch mit der Periode 360° beziehungsweise 2π.

Trägt man stattdessen die x-Koordinate auf, erhält man die Cosinuskurve. Sie hat dieselbe Form, ist aber um 90° nach links verschoben: Der Cosinus startet bei seinem Höchstwert 1. Diese feste Verschiebung von 90° zwischen Sinus und Cosinus ist der erste Berührungspunkt mit dem Thema Phasenverschiebung, das in der Wechselstromtechnik eine zentrale Rolle spielt und dort eigenständig behandelt wird.

Drei Begriffe beschreiben jede solche Kurve vollständig. Die Amplitude ist der Höchstwert, hier 1. Die Periode ist die Länge, nach der sich der Verlauf wiederholt, hier 360° bzw. 2π. Und die Nullstellen sind die Punkte, an denen die Kurve die Achse schneidet – beim Sinus bei 0°, 180°, 360° und so weiter.

Jetzt fügen wir alle Bausteine zusammen. Bisher war das Argument der Sinusfunktion ein Winkel. In der Technik ändert sich dieser Winkel aber mit der Zeit – die Welle dreht, die Spannung läuft durch. Wir ersetzen den festen Winkel deshalb durch den zeitabhängigen Term omega · t.

Da der Winkel pro Sekunde um omega = 2π·f wächst, ist nach der Zeit t der durchlaufene Winkel genau omega · t. Setzt man das in die Sinusfunktion ein und multipliziert mit dem Höchstwert, erhält man den Momentanwert einer Wechselgröße. Vollständig lautet die Formel:

Der Scheitelwert ŷ (gesprochen „y-Dach“) ist der Höchstwert, den die Größe erreicht – bei einer Spannung also der Spitzenwert. Der Term omega · t liefert den momentan durchlaufenen Winkel. Und der Nullphasenwinkel phi gibt an, wo die Schwingung zum Zeitpunkt t = 0 startet. Ist phi = 0, beginnt die Sinusschwingung im Nulldurchgang. Ein von null verschiedenes phi verschiebt die gesamte Kurve entlang der Zeitachse.

Dieser Nullphasenwinkel ist in der Praxis der Normalfall, nicht die Ausnahme. In einem realen Wechselstromsystem sind Strom und Spannung fast immer gegeneinander verschoben – etwa wenn eine Spule oder ein Kondensator im Spiel ist. Genau diese Verschiebung wird über phi beschrieben. Wie man mehrere solcher Größen mit unterschiedlichem phi zueinander in Beziehung setzt, ist Thema der Phasenverschiebung und der Zeigerdiagramme und wird dort eigenständig behandelt. Wichtig ist hier nur: Der Nullphasenwinkel gehört von Anfang an zur vollständigen Formel dazu.

Achtung bei der Einheit: omega · t ergibt einen Winkel im Bogenmaß, also muss auch phi im Bogenmaß eingesetzt werden, wenn man beides addiert. Wird phi in Grad angegeben, ist vorher umzurechnen.