Kräfte: Darstellung, Zerlegung und Zusammensetzung

Eine Kraft ist eine gerichtete Größe. Das bedeutet: Es reicht nicht zu wissen, wie stark sie ist — man muss auch wissen, wohin sie wirkt. Gemessen wird der Betrag in Newton (N). Eine Größe, die nur einen Zahlenwert hat (etwa eine Masse oder eine Temperatur), nennt man skalar; eine Größe mit zusätzlicher Richtung ist vektoriell. Die Kraft gehört zur zweiten Sorte.

Für die Statik sind drei Eigenschaften einer Kraft entscheidend:

• Betrag — wie stark die Kraft ist, in Newton.
• Richtung — die Orientierung im Raum, festgelegt durch die Wirkungslinie (die gedachte Gerade, auf der die Kraft liegt) und den Richtungssinn entlang dieser Linie.
• Angriffspunkt — der Punkt am Körper, an dem die Kraft eingeleitet wird, immer auf der Wirkungslinie gelegen.

Die Pfeildarstellung

Gezeichnet wird eine Kraft als Pfeil. Die Länge des Pfeils steht für den Betrag, die Lage für die Wirkungslinie, die Pfeilspitze für den Richtungssinn. Damit Längen und Kräfte vergleichbar werden, legt man einen Kräftemaßstab fest, zum Beispiel 1 cm ≙ 100 N. Eine Kraft von 350 N wäre dann ein 3,5 cm langer Pfeil.

Der Maßstab ist der Schlüssel zur zeichnerischen Lösung: Man konstruiert die Aufgabe maßstäblich, misst die gesuchte Pfeillänge ab und rechnet über den Maßstab zurück auf Newton.

Linienflüchtigkeit

Eine Besonderheit der Kraft am starren Körper ist die Linienflüchtigkeit: Eine Kraft darf entlang ihrer Wirkungslinie beliebig verschoben werden, ohne dass sich ihre Wirkung auf den Körper ändert. Ob ich an einem Wagen vorne ziehe oder hinten in gleicher Richtung schiebe — solange beide Kräfte auf derselben Wirkungslinie liegen und gleich groß sind, bewegt sich der Wagen identisch. Der Angriffspunkt ist also nicht fix an einer Stelle festgenagelt, sondern frei auf der Wirkungslinie wählbar. Das macht das Verschieben von Pfeilen beim Konstruieren erst erlaubt.

Der einfachste Fall: Alle Kräfte liegen auf einer Geraden. Dann braucht man kein Parallelogramm und keine Trigonometrie, sondern nur Vorzeichen. Man legt eine positive Richtung fest — typischerweise nach rechts oder nach oben — und versieht jede Kraft mit dem passenden Vorzeichen. Kräfte in positiver Richtung zählen positiv, Kräfte in Gegenrichtung negativ.

Die Resultierende ist die Summe dieser vorzeichenbehafteten Beträge. Sie ist die eine Ersatzkraft, die in ihrer Wirkung genau alle Einzelkräfte zusammen ersetzt.

Ein positives Ergebnis bedeutet: Die Resultierende zeigt in die festgelegte positive Richtung. Ein negatives Ergebnis kehrt den Richtungssinn um. Wird die Summe null, heben sich die Kräfte gegenseitig auf — der Körper ist in diese Richtung im Gleichgewicht.

Sobald zwei Kräfte unter einem Winkel zueinander an einem Punkt angreifen, reicht die einfache Addition nicht mehr. Jetzt kommt das Kräfteparallelogramm ins Spiel: Man trägt beide Kraftpfeile maßstäblich vom gemeinsamen Angriffspunkt aus auf, ergänzt das Parallelogramm und zieht die Diagonale vom Angriffspunkt aus. Diese Diagonale ist die Resultierende — nach Betrag und Richtung.

Dieselbe Resultierende erhält man mit dem Krafteck (auch Kräftedreieck genannt): Man hängt den zweiten Pfeil mit seinem Anfang an die Spitze des ersten. Der Pfeil vom Anfang des ersten zur Spitze des zweiten schließt das Dreieck und ist die Resultierende. Das Krafteck ist beim Zeichnen oft schneller, weil man keine Parallelen konstruieren muss.

Greifen mehr als zwei Kräfte an, reiht man im Kraftpolygon (Krafteck mit mehreren Gliedern) alle Pfeile der Reihe nach aneinander. Die Verbindung vom ersten Anfangspunkt zur letzten Spitze ist die Gesamtresultierende. Schließt sich das Polygon von selbst — Spitze trifft Anfang — ist die Resultierende null und das Kräftesystem im Gleichgewicht.

Zeichnen ist anschaulich, aber ungenau. Für zwei Kräfte unter dem Zwischenwinkel liefert der Kosinussatz den exakten Betrag der Resultierenden. Maßgeblich ist der von den beiden Kräften am Angriffspunkt eingeschlossene Winkel α.

Mit dem von den beiden Kräften eingeschlossenen Winkel α steht im Wurzelausdruck ein Pluszeichen vor dem Kosinusterm. Stehen die Kräfte rechtwinklig (α = 90°), wird cos(90°) = 0, und die Formel vereinfacht sich zum Satz des Pythagoras:

Das Zerlegen ist die Umkehrung des Zusammensetzens. Statt zwei Kräfte zu einer zusammenzufassen, ersetzt man eine Kraft durch zwei Teilkräfte — die Komponenten. Praktisch wählt man fast immer zwei rechtwinklige Komponenten entlang einer x- und einer y-Achse, weil sich damit am bequemsten rechnen lässt. Eine Kraft F, die unter dem Winkel α zur x-Achse wirkt, zerfällt in:

Der umgekehrte Weg führt von den Komponenten zurück zur Kraft. Hat man Fx und Fy, ergeben sich Betrag und Richtung über:

Beim Richtungswinkel ist Vorsicht geboten: Der Taschenrechner liefert mit dem Arcustangens nur den Hauptwert zwischen −90° und +90°. In welchem Quadranten die Kraft tatsächlich liegt, muss man anhand der Vorzeichen von Fx und Fy zusätzlich beurteilen. Zeigt Fx etwa nach links (negativ), liegt der echte Winkel im zweiten oder dritten Quadranten, und man addiert 180° zum Hauptwert.

Genau dieses Zerlegen in Komponenten ist auch der Königsweg, um mehrere beliebig gerichtete Kräfte zusammenzufassen: Man zerlegt jede Kraft in ihre x- und y-Anteile, summiert alle x-Anteile und alle y-Anteile getrennt, und setzt aus den beiden Summen die Gesamtresultierende wieder zusammen.

Die schiefe Ebene

Der klassische Anwendungsfall ist die schiefe Ebene. Ein Körper auf einer um den Winkel α geneigten Fläche wird von seiner Gewichtskraft nach unten gezogen. Diese Gewichtskraft zerlegt man sinnvollerweise in zwei Komponenten entlang der Ebene: die Hangabtriebskraft parallel zur Fläche (sie zieht den Körper hangabwärts) und die Normalkraft senkrecht zur Fläche (sie drückt ihn auf die Unterlage).