Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck

Ein rechtwinkliges Dreieck hat einen Winkel von genau 90°. Dieser rechte Winkel ist der Bezugspunkt für alles Weitere. Die drei Winkel eines jeden Dreiecks ergeben zusammen 180°. Da einer davon schon 90° belegt, teilen sich die beiden übrigen – die spitzen Winkel – die restlichen 90° auf. Sie sind also immer kleiner als 90° und ergänzen sich gegenseitig.

Die Seiten haben feste Namen. Die längste Seite liegt dem rechten Winkel gegenüber und heißt Hypotenuse. Die beiden kürzeren Seiten, die den rechten Winkel einschließen, sind die Katheten.

Sobald man einen der spitzen Winkel betrachtet, bekommen die beiden Katheten zusätzliche Namen – und zwar abhängig davon, welchen Winkel man gerade meint. Die Kathete, die dem Winkel direkt gegenüberliegt, ist die Gegenkathete. Die Kathete, die am Winkel anliegt (und nicht die Hypotenuse ist), heißt Ankathete.

Das ist der häufigste Stolperpunkt am Anfang: Gegenkathete und Ankathete sind keine festen Seiten, sondern hängen davon ab, von welchem Winkel aus man schaut. Dieselbe Seite kann für den einen Winkel die Gegenkathete und für den anderen die Ankathete sein. Die Hypotenuse dagegen bleibt immer dieselbe.

Bevor die Winkelfunktionen ins Spiel kommen, braucht man oft eine fehlende Seitenlänge. Dafür gibt es im rechtwinkligen Dreieck eine feste Beziehung: den Satz des Pythagoras. Er verknüpft die drei Seitenlängen miteinander – ganz ohne Winkel.

In Worten: Die Summe der Flächen der beiden Kathetenquadrate ist gleich der Fläche des Hypotenusenquadrats. Kennt man zwei Seiten, lässt sich die dritte berechnen. Nach der Hypotenuse umgestellt:

Und wenn die Hypotenuse und eine Kathete bekannt sind, sucht man die zweite Kathete:

Wichtig: Der Satz gilt ausschließlich im rechtwinkligen Dreieck. Ohne rechten Winkel funktioniert die Beziehung nicht.

Jetzt kommen die Winkel ins Spiel. Die entscheidende Beobachtung: In einem rechtwinkligen Dreieck hängt das Verhältnis zweier Seiten nur vom Winkel ab – nicht von der Größe des Dreiecks. Vergrößert man ein Dreieck, ohne die Winkel zu ändern, wachsen alle Seiten im gleichen Verhältnis mit. Das Verhältnis Gegenkathete zu Hypotenuse bleibt für einen bestimmten Winkel immer gleich.

Genau dieses feste Verhältnis bekommt für jeden Winkel einen Namen. Drei Verhältnisse sind gebräuchlich:

Der Sinus setzt die Gegenkathete ins Verhältnis zur Hypotenuse, der Cosinus die Ankathete zur Hypotenuse, der Tangens die Gegenkathete zur Ankathete. Eine bewährte Merkhilfe sind die Anfangsbuchstaben: GeHi, AnHi, GeAn – Gegenkathete/Hypotenuse, Ankathete/Hypotenuse, Gegenkathete/Ankathete.

Dass diese Verhältnisse von der Dreiecksgröße unabhängig sind, ist der Kern der ganzen Trigonometrie. Zwei Dreiecke mit demselben spitzen Winkel sind ähnlich – sie haben dieselbe Form, nur eine andere Größe. Und ähnliche Dreiecke haben dieselben Seitenverhältnisse.

Beide Dreiecke teilen den Winkel α. Das große ist eine vergrößerte Kopie des kleinen. Obwohl die Seiten unterschiedlich lang sind, ist das Verhältnis der jeweiligen Gegenkathete zur Ankathete – also der Tangens von α – in beiden gleich.

Die Werte selbst liest man am Taschenrechner ab. Für α = 30° liefert der Sinus zum Beispiel 0,5: Die Gegenkathete ist halb so lang wie die Hypotenuse, egal wie groß das Dreieck ist.

Der praktische Nutzen zeigt sich, sobald ein Winkel und eine Seite bekannt sind und man die übrigen Seiten sucht. Dazu stellt man die Grunddefinitionen um. Aus sin(α) = Gegenkathete/Hypotenuse wird durch Umstellen:

Analog für Cosinus und Tangens, je nachdem welche Seiten beteiligt sind:

Welche Funktion man wählt, richtet sich danach, welche Seiten gegeben und gesucht sind. Ist die Hypotenuse im Spiel, kommt Sinus oder Cosinus zum Einsatz; geht es nur um die beiden Katheten, nimmt man den Tangens.

Ein wichtiger Point bei der Arbeit mit dem Taschenrechner: Er muss im Gradmodus (DEG) stehen, wenn man Winkel in Grad eingibt. Steht er auf RAD (Bogenmaß), kommen falsche Werte heraus. Das ist eine der häufigsten Fehlerquellen überhaupt.

Bisher war der Winkel bekannt. Oft ist es umgekehrt: Zwei Seiten sind gemessen, der Winkel ist gesucht. Dafür gibt es die Umkehrfunktionen – am Taschenrechner als sin⁻¹, cos⁻¹ und tan⁻¹ beschriftet, fachlich Arkussinus (arcsin), Arkuscosinus (arccos) und Arkustangens (arctan).

Sie kehren die Grundfunktionen um: Während sin(α) aus dem Winkel ein Verhältnis macht, macht arcsin aus dem Verhältnis wieder den Winkel.

Welche Umkehrfunktion man nimmt, hängt wieder davon ab, welche zwei Seiten bekannt sind. Sind beide Katheten gegeben, führt der Arkustangens am schnellsten zum Ziel.

Am rechtwinkligen Dreieck liegen alle Winkel zwischen 0° und 90°, und in diesem Bereich ist die Zuordnung eindeutig. Wie sich Sinus, Cosinus und Tangens für größere Winkel verhalten und warum sie periodisch sind, lässt sich über den Einheitskreis herleiten – dazu gibt es einen eigenen Beitrag.

Die Trigonometrie ist kein reines Schulthema – sie steckt in vielen alltäglichen Berechnungen. Das wichtigste Beispiel in der Mechanik ist die Kraftzerlegung an der schiefen Ebene.

Je steiler die Rampe, desto größer der Anteil, der das Werkstück hinabzieht, und desto kleiner der Anteil, der auf die Fläche drückt. Bei α = 0° (waagrecht) ist die Hangabtriebskraft null, die gesamte Gewichtskraft wirkt als Normalkraft. Das deckt sich mit der Anschauung.

Dasselbe Prinzip steckt in der Höhen- und Entfernungsbestimmung. Misst man von einem Standpunkt aus den Winkel zur Spitze eines Masts und kennt die waagrechte Entfernung, ergibt sich die Höhe über den Tangens – ganz ohne Klettern.