Gleichungen umstellen

Eine Gleichung ist nichts anderes als die Behauptung, dass zwei Dinge gleich groß sind. Links vom Gleichheitszeichen steht ein Ausdruck, rechts ein anderer — und das „=“ sagt: Diese beiden haben denselben Wert.

Bevor wir weitermachen, drei Begriffe sauber getrennt. Ein Term ist ein Rechenausdruck, etwa 3 · x + 5. Eine Variable ist ein Platzhalter für eine Zahl, meist ein Buchstabe wie x, U oder R. Eine Konstante ist ein fester Zahlenwert, der sich nicht ändert.

Das beste Bild für eine Gleichung ist eine Balkenwaage. Auf der linken Schale liegt der linke Term, auf der rechten Schale der rechte. Weil beide gleich schwer sind, steht die Waage exakt im Gleichgewicht. Genau dieses Gleichgewicht ist der Schlüssel zu allem, was folgt.

„Eine Gleichung nach einer Variablen umstellen“ heißt: Wir formen die Gleichung so um, dass die gesuchte Variable allein auf einer Seite steht und alles andere auf der anderen. Bei U = R · I ist U schon allein — die Gleichung ist nach U aufgelöst. Suchst du aber R, musst du arbeiten.

Damit das Gleichgewicht der Waage erhalten bleibt, gibt es eine eiserne Regel: Was du auf der einen Seite tust, musst du auf der anderen genauso tun. Eine Umformung, die das Gleichgewicht — und damit die Lösung — nicht verändert, heißt Äquivalenzumformung. „Äquivalent“ bedeutet gleichwertig: Vorher und nachher beschreiben dieselbe Aussage.

Es gibt vier solche Grundoperationen. Auf beiden Seiten darfst du:

Bei Multiplikation und Division gibt es eine wichtige Einschränkung: Du darfst niemals durch null dividieren. Division durch null ist nicht definiert. Das klingt theoretisch, wird aber in Kapitel 4 sehr praktisch, sobald eine Variable im Nenner steht.

In der Technik schreibt man die Umformung sauber mit einem senkrechten Strich rechts neben der Zeile auf. Dahinter steht, was man gerade tut. Ein Beispiel mit der Gleichung x + 7 = 12:

x + 7 = 12 | − 7
x = 5

Wir haben auf beiden Seiten 7 abgezogen. Links bleibt x übrig, rechts 12 − 7 = 5. Die Lösung steht da. Diese Schreibweise wirkt penibel, hat aber einen Grund: Du kannst jeden Schritt später nachvollziehen und Fehler schnell finden.

Beim Umstellen willst du die gesuchte Variable freistellen — alles andere muss von ihr „weg“. Dafür nutzt du Umkehroperationen: die Gegenoperation zu dem, was die Variable gerade festhält.

Jede Rechenoperation hat eine Umkehrung:

Steht also + 7 bei der Variablen, beseitigst du es mit − 7. Steht · 3, beseitigst du es mit : 3. Quadrat und Wurzel sowie Potenz und Logarithmus sind ebenfalls Umkehrpaare — diese beiden Paare brauchst du beim Umstellen seltener und sie werden in einem eigenen Beitrag ausführlich behandelt.

Entscheidend ist die Reihenfolge. Beim Auflösen arbeitest du dich von außen nach innen vor — also genau umgekehrt zur normalen Rechenreihenfolge. Normalerweise gilt Punkt vor Strich. Beim Umstellen drehst du das um: Zuerst beseitigst du, was per Strichrechnung (+, −) an der Variablen hängt, danach die Punktrechnung (·, :).

Schau dir 3 · x + 5 = 20 an. An x klebt zuerst · 3, dann + 5. Beim Auflösen gehst du von außen: zuerst die + 5 weg (mit − 5), dann die · 3 weg (mit : 3).

3 · x + 5 = 20 | − 5
3 · x = 15 | : 3
x = 5

Erst die äußere Schicht (das + 5), dann die innere (· 3). Wie beim Schälen einer Zwiebel von außen nach innen.

Jetzt wird es praktisch. Technische Formeln sind nichts anderes als Gleichungen — nur stehen statt x eben Größen wie U, R, I, P oder F. Die Spielregeln bleiben exakt dieselben.

Nehmen wir das Ohmsche Gesetz:

So wie es dasteht, ist es nach U aufgelöst. Brauchst du den Widerstand R, stellst du um. An R klebt · I, also teilst du beide Seiten durch I:

U = R · I | : I
U / I = R

Damit ist die Formel nach R aufgelöst: R = U / I. Genauso bekommst du den Strom, indem du durch R teilst: I = U / R. Aus einer einzigen Formel werden so drei.

Ein zweites Beispiel mit einer Größe, die schon im Nenner steht — der Druck:

Willst du nach A umstellen, steht A im Nenner und muss zuerst da heraus. Dafür multiplizierst du beide Seiten mit A, danach teilst du durch p:

p = F / A | · A
p · A = F | : p
A = F / p

Wichtig dabei: Führe die Einheiten immer mit. Wenn du F in Newton und p in Pascal einsetzt, kommt A automatisch in Quadratmeter heraus. Das ist eine gute Kontrolle — passt die Einheit am Ende nicht, steckt irgendwo ein Fehler.

Hinweis zur Bedienung: Du gibst Spannung und Strom ein, der Rechner liefert den umgestellten Widerstand R = U / I. Die zweite Ausgabe zeigt die eingegebene Spannung — multiplizierst du sie gedanklich mit dem Strom durch den Widerstand, landest du wieder bei genau dieser Spannung. So siehst du, dass die Umstellung aufgeht.

Bisher waren die Gleichungen überschaubar. In der Praxis treten aber drei Komplikationen auf: Klammern, Brüche und eine Variable, die auf beiden Seiten vorkommt. Für jede gibt es einen festen Griff.

Klammern auflösen. Steht ein Faktor vor einer Klammer, multiplizierst du ihn in die Klammer hinein — das ist das Distributivgesetz:

a · (b + c) = a · b + a · c

Aus 3 · (x + 4) wird also 3 · x + 12. Erst danach stellst du wie gewohnt um.

Brüche beseitigen. Stört ein Nenner, multiplizierst du die ganze Gleichung mit diesem Nenner. Aus x / 4 = 5 wird durch Multiplikation mit 4 die einfache Gleichung x = 20. Kommen mehrere Nenner vor, multiplizierst du mit dem Hauptnenner, also dem gemeinsamen Vielfachen aller Nenner.

Variablen auf beiden Seiten. Taucht die gesuchte Variable links und rechts auf, sortierst du: Alle Glieder mit der Variablen bringst du auf eine Seite, alles andere auf die andere. Bei 5 · x + 3 = 2 · x + 18 ziehst du 2 · x ab und kommst auf 3 · x + 3 = 18, dann weiter wie gewohnt.

Ein Sonderfall: Steht die gesuchte Variable nach dem Sortieren in mehreren Gliedern, klammerst du sie aus. Aus a · x + b · x wird x · (a + b), und durch diesen Klammerausdruck teilst du anschließend.