Freikörperbild und Kräftegleichgewicht

Stell dir einen Stahlträger vor, der in eine Wand eingemauert ist und an seinem freien Ende eine Last trägt. Du sollst wissen, wie stark die Wand den Träger halten muss. Das Problem: Solange der Träger in der Wand steckt, siehst du nicht, welche Kräfte dort wirklich übertragen werden. Sie sind im Mauerwerk versteckt.

Der Trick heißt Freischneiden: Man löst das Bauteil gedanklich komplett aus seiner Umgebung heraus. Überall dort, wo vorher eine Verbindung war – eine Wand, ein Seil, ein Bolzen, der Boden – ersetzt man die Verbindung durch die Kraft, die sie ausübt. Was übrig bleibt, ist der „freie Körper“, an dem nur noch Kräfte und Momente angreifen, keine Bauteile mehr.

Das Ergebnis dieser Überlegung zeichnet man auf. Diese Skizze ist das Freikörperbild: eine Darstellung des isolierten Bauteils mit allen von außen angreifenden Kräften und Momenten, mit Richtung und Angriffspunkt. Bekannte Kräfte wie das Eigengewicht oder eine aufgebrachte Last trägt man mit ihrem Wert ein, unbekannte Reaktionskräfte zunächst mit einer angenommenen Richtung.

Die einzelnen Kräfte selbst – wie man sie zeichnerisch darstellt, in Komponenten zerlegt oder zu einer Resultierenden zusammensetzt – werden hier vorausgesetzt. Wenn du dabei unsicher bist, hilft der eigene Beitrag zu Darstellung, Zerlegung und Zusammensetzung von Kräften.

Der entscheidende Punkt: Jede physische Bindung wird durch eine Kraft ersetzt. Die Wand, die den Träger festhält, verschwindet aus dem Bild – an ihre Stelle treten die Kräfte, die sie auf den Träger ausübt. Genau dieser Übergang macht die versteckten Kräfte berechenbar.

Damit das Freikörperbild stimmt, muss man wissen, welche Kraft ein Auflager überhaupt übertragen kann. Ein Auflager, das nur senkrecht stützt, darf im Bild auch nur eine senkrechte Kraft bekommen. Genau hier entscheidet sich, ob die spätere Rechnung aufgeht.

Für die Praxis reichen drei Grundtypen. Sie unterscheiden sich darin, wie viele Bewegungen sie sperren – und damit, wie viele Reaktionsgrößen sie liefern.

Das Loslager stützt nur in einer Richtung, meist senkrecht zur Auflagerfläche. Es liefert genau eine Reaktionskraft. In der Richtung der Auflagerfläche kann sich das Bauteil frei verschieben – wie ein Balken, der auf einer Rolle liegt.

Das Festlager hält das Bauteil an einem Punkt fest, lässt aber Drehung zu. Es nimmt Kräfte in zwei Richtungen auf – waagrecht und senkrecht – und liefert damit zwei Reaktionskräfte. Ein Gelenkbolzen ist das typische Beispiel.

Die feste Einspannung sperrt alles: Verschiebung in beide Richtungen und Drehung. Sie liefert drei Reaktionsgrößen – zwei Kräfte und ein Moment. Der eingemauerte Träger aus Kapitel 1 ist eine feste Einspannung.

Ein Körper ist im Gleichgewicht, wenn er in Ruhe bleibt – er verschiebt sich nicht und er dreht sich nicht. Daraus folgen zwei Bedingungen. Erstens darf die Summe aller Kräfte keine resultierende Verschiebung erzeugen. Zweitens darf die Summe aller Drehwirkungen keine resultierende Drehung erzeugen.

In der Ebene zerlegt man jede Kraft in eine waagrechte und eine senkrechte Komponente. Dadurch wird die Kräftebedingung zu zwei getrennten Gleichungen, dazu kommt die Momentenbedingung. Das ergibt die drei Gleichgewichtsbedingungen der Ebene:

Das Moment einer Kraft beschreibt ihre Drehwirkung um einen Punkt. Es ist das Produkt aus Kraft und senkrechtem Abstand des Punktes zur Wirkungslinie der Kraft:

Damit die Vorzeichen stimmen, legt man vorab Richtungen fest. Üblich ist: Kräfte nach rechts und nach oben positiv, Momente gegen den Uhrzeigersinn positiv. Die Wahl ist frei, sie muss nur innerhalb einer Aufgabe konsequent durchgehalten werden. Kommt für eine angenommene Reaktionskraft am Ende ein negativer Wert heraus, heißt das schlicht: die Kraft zeigt in Wirklichkeit andersherum als angenommen.

Drei Gleichungen können drei Unbekannte bestimmen. Deshalb ist eine Konstruktion mit genau drei unbekannten Reaktionsgrößen – etwa Loslager plus Festlager – sauber berechenbar.

Wenn sich die Wirkungslinien aller Kräfte in einem einzigen Punkt schneiden, spricht man vom zentralen Kraftsystem. Eine Lampe an zwei Seilen, ein Knotenpunkt eines Fachwerks, ein Ring, an dem mehrere Seile ziehen – immer laufen alle Kräfte durch denselben Punkt.

Der praktische Vorteil: Weil keine Kraft einen Hebelarm zum gemeinsamen Punkt hat, entsteht dort kein Moment. Die Momentenbedingung ist automatisch erfüllt. Es bleiben nur die beiden Kräftebedingungen:

Schräge Kräfte zerlegt man dafür in ihre waagrechte und senkrechte Komponente. Eine Kraft F unter dem Winkel alpha gegen die Waagrechte hat die Komponenten:

Hängt eine Last an zwei Seilen, hat jedes Seil seinen eigenen Winkel gegen die Waagrechte. Das linke Seil steht unter dem Winkel alpha, das rechte unter dem Winkel beta. Jede Seilkraft wird mit ihrem eigenen Winkel zerlegt – die senkrechte Komponente des linken Seils ist S_1 · sin(alpha), die des rechten S_2 · sin(beta). Stehen beide Seile symmetrisch, ist alpha = beta, und beide Seile tragen gleich viel. Im allgemeinen, unsymmetrischen Fall sind die Winkel verschieden, und das flachere Seil – der kleinere Winkel – trägt die größere Kraft.

Beim allgemeinen Kraftsystem greifen die Kräfte an verschiedenen Punkten an, ihre Wirkungslinien schneiden sich nicht in einem gemeinsamen Punkt. Der typische Fall ist ein Träger auf zwei Stützen, der irgendwo dazwischen belastet wird. Jetzt reichen die beiden Kräftebedingungen nicht mehr – die Lasten erzeugen Drehwirkungen, und man braucht die Momentenbedingung, um sie zu erfassen.

Hier zahlt sich die freie Wahl des Bezugspunkts aus. Legt man den Bezugspunkt für die Momentengleichung genau in ein Auflager, fällt dessen unbekannte Kraft aus der Gleichung (ihr Hebelarm is null). Übrig bleibt eine Gleichung mit nur einer Unbekannten – die andere Auflagerkraft. Danach liefert die Kräftebedingung in senkrechter Richtung die zweite.

Für eine Einzellast F im Abstand a vom linken Auflager A und b vom rechten Auflager B (Gesamtlänge l = a + b) ergibt die Momentenbedingung um A:

Streckenlasten

In der Realität wirkt die Last oft nicht punktförmig, sondern verteilt über eine Länge – das Eigengewicht eines Trägers, eine aufliegende Schüttung, eine durchgehende Auflast. Das nennt man Streckenlast, angegeben als Last pro Längeneinheit q in N/m.

Für das Freikörperbild gilt eine einfache Regel: Eine gleichmäßige Streckenlast wird durch eine resultierende Einzellast ersetzt. Ihr Betrag ist die Streckenlast mal die belastete Länge, und sie greift im Schwerpunkt der Lastfläche an – bei gleichmäßiger Last also in der Mitte der belasteten Strecke.

Mit dieser Ersatzkraft rechnet man dann genau wie mit einer normalen Einzellast weiter. Der Angriffspunkt – die Mitte der belasteten Strecke – liefert den Hebelarm für die Momentenbedingung.