Zahlensysteme: binär, hexadezimal und BCD

Jedes Zahlensystem ist im Kern gleich aufgebaut: Es hat eine Basis (auch Radix genannt) und ein Stellenwertprinzip. Die Basis gibt an, wie viele verschiedene Ziffern es gibt. Das Stellenwertprinzip sagt: Jede Position einer Zahl steht für eine Potenz der Basis.

Am vertrauten Dezimalsystem sieht man das sofort. Die Zahl 4 729 zerlegt sich so:

4 729 = 4·10³ + 7·10² + 2·10¹ + 9·10⁰
= 4·1000 + 7·100 + 2·10 + 9·1

Jede Stelle hat ihren eigenen Wert. Die Ziffer ganz rechts ist die niederwertigste Stelle (Stellenwert 10⁰ = 1), jede Stelle weiter links wiegt zehnmal so viel. Genau dieses Prinzip funktioniert auch mit anderen Basen — nur dass dann nicht mit 10 multipliziert wird, sondern mit 2, 16 oder einer beliebigen anderen Zahl.

Im technischen Alltag spielen vier Systeme eine Rolle:

Eine einzelne binäre Stelle heißt Bit — die kleinste Informationseinheit, sie kennt nur 0 oder 1. Vier Bit werden zu einem Nibble zusammengefasst. Acht Bit ergeben ein Byte, die typische Verarbeitungsbreite vieler Steuerungen.

Die folgende Übersicht zeigt die Werte 0 bis 15 in allen vier Systemen:

Bei BCD springt die Sache schon ab dem Wert 10 auf zwei Nibbles — der Grund dafür folgt in Kapitel 4.

Das Binärsystem kommt mit zwei Ziffern aus: 0 und 1. Die Basis is 2, jede Stelle wiegt eine Zweierpotenz. Vom Stellenwertprinzip her ist es genauso aufgebaut wie das Dezimalsystem — nur dass die Stellenwerte 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, … sind statt 1, 10, 100, 1000, …

Binär nach Dezimal

Hier wird Stelle für Stelle der Stellenwert mit der Ziffer multipliziert und alles aufsummiert. Beispiel mit dem Byte 1011 0101:

Bit-Position: 7 6 5 4 3 2 1 0
Stellenwert: 128 64 32 16 8 4 2 1
Bitwert: 1 0 1 1 0 1 0 1
Beitrag: 128 0 32 16 0 4 0 1
Summe: 128 + 32 + 16 + 4 + 1 = 181 (dezimal).

Dezimal nach Binär

Die saubere Methode ist die Division mit Rest: Die Dezimalzahl wird wiederholt durch 2 geteilt, der Rest jeder Division ist ein Bit, beginnend bei der niederwertigen Stelle. Beispiel für 181:

181 : 2 = 90 Rest 1 (Bit 0)
90 : 2 = 45 Rest 0 (Bit 1)
45 : 2 = 22 Rest 1 (Bit 2)
22 : 2 = 11 Rest 0 (Bit 3)
11 : 2 = 5 Rest 1 (Bit 4)
5 : 2 = 2 Rest 1 (Bit 5)
2 : 2 = 1 Rest 0 (Bit 6)
1 : 2 = 0 Rest 1 (Bit 7)

Die Reste von unten nach oben gelesen: 1011 0101. Passt zu unserem Ausgangswert von oben.

Wertebereich

Die Bitbreite legt fest, wie groß die größte darstellbare Zahl wird. Bei n Bit lassen sich 2ⁿ verschiedene Werte darstellen, von 0 bis 2ⁿ − 1:

Wer mit Binärzahlen hantiert, merkt schnell: 8 oder 16 Stellen am Stück lesen sich miserabel. Das Hexadezimalsystem ist die Antwort darauf. Es hat die Basis 16, also 16 Ziffern: die bekannten 0 bis 9 und zusätzlich A, B, C, D, E, F für die Werte 10 bis 15. Jede Stelle wiegt eine Sechzehnerpotenz.

Der entscheidende Trick: Eine Hex-Ziffer entspricht genau einem Nibble, also 4 Bit. Damit lässt sich eine Binärzahl in Hex umwandeln, indem man sie von rechts in Vierergruppen zerlegt und jede Gruppe für sich als Hex-Ziffer notiert.

Binär nach Hex und zurück

Beispiel mit dem 8-Bit-Wert 1011 0101:

Binär: 1011 0101
↓ ↓
Hex: B 5

Das obere Nibble 1011 hat den Wert 11 (= B), das untere Nibble 0101 hat den Wert 5. Die Hex-Schreibweise lautet also B5. Aus jedem Byte werden so zwei Hex-Ziffern — kompakt und gut lesbar.

Umgekehrt geht es genauso schnell: Jede Hex-Ziffer wird in ihre vier Bit übersetzt und die Nibbles werden aneinandergehängt.

Hex nach Dezimal

Auch hier gilt das Stellenwertprinzip, nur mit der Basis 16:

B5 hex = B·16¹ + 5·16⁰
= 11·16 + 5·1
= 176 + 5
= 181 dezimal

Es ist kein Zufall, dass die 181 schon im Kapitel zuvor aufgetaucht ist: Binär 1011 0101, hex B5 und dezimal 181 sind dieselbe Zahl in drei Schreibweisen.

Dezimal nach Hex

Methodisch identisch zur Binärumwandlung, nur dass durch 16 dividiert wird:

181 : 16 = 11 Rest 5 (Stelle 0 = 5)
11 : 16 = 0 Rest 11 (Stelle 1 = B)

Reste von unten nach oben: B5.

Schreibweisen in der Praxis

Damit klar ist, dass eine Zahl als Hex gemeint ist, gibt es mehrere Schreibweisen. In der SPS- und Mikrocontroller-Welt sind verbreitet:

Welche Schreibweise du benutzt, hängt vom System ab, in dem du arbeitest. Wichtig ist nur: Ohne Kennzeichnung lässt sich „10″ nicht von „16#10″ unterscheiden — das eine wäre dezimal zehn, das andere dezimal sechzehn.

BCD steht für Binary Coded Decimal und ist die direkte Übersetzung des Dezimalsystems in 4-Bit-Gruppen. Die Regel ist denkbar einfach: Jede einzelne Dezimalziffer wird für sich genommen in ein Nibble übersetzt. Aus 9 wird 1001, aus 4 wird 0100 — fertig.

Der Unterschied zum reinen Binär liegt darin, dass BCD nicht den Gesamtwert einer Zahl codiert, sondern jede Ziffer separat. Ein Beispiel macht das deutlich.

Die Dezimalzahl 25:

Reines Binär: 25 = 0001 1001
BCD: 25 = 0010 0101
↑ ↑
Ziffer 2 Ziffer 5

Beide Schreibweisen verwenden 8 Bit, aber das Ergebnis ist ein anderes. Das reine Binär ist die mathematisch kompakte Form (Wert 16 + 8 + 1 = 25), das BCD trennt sauber nach Ziffern (2 und 5).

Verbotene Codes

Eine BCD-Stelle kann nur die Werte 0 bis 9 annehmen. Die Bitkombinationen 1010, 1011, 1100, 1101, 1110 und 1111 (also dezimal 10 bis 15) sind im BCD-System Pseudotetraden und gelten als ungültig. Eine korrekt arbeitende BCD-Auswertung muss diese Codes erkennen und als Fehler behandeln.

Vor- und Nachteile

BCD hat eine ganz konkrete Stärke: Die Umwandlung zwischen einer angezeigten Dezimalzahl und ihrer internen Darstellung ist trivial — Ziffer für Ziffer, ohne Umrechnung. Das macht BCD ideal überall dort, wo Dezimalziffern direkt sichtbar oder eingegeben werden.

Der Preis dafür ist ein höherer Speicherbedarf. Ein Byte (8 Bit) reicht in reinem Binär bis 255, in BCD nur bis 99. Außerdem lässt sich mit BCD-Zahlen nicht ohne Weiteres rechnen — bei einer normalen binären Addition entstehen leicht Pseudotetraden, die einen Korrekturschritt erfordern.

Sobald die Darstellung sitzt, taucht die nächste Frage auf: Wie rechnet man eigentlich mit Binärzahlen? Und wie bringt man negative Werte in einer Welt unter, die nur Nullen und Einsen kennt?

Binäre Addition

Die Spielregeln der Addition sind im Binärsystem fast langweilig — es gibt nur vier Fälle:

• 0 + 0 = 0
• 0 + 1 = 1
• 1 + 0 = 1
• 1 + 1 = 10 (also 0 mit Übertrag 1)

Der Übertrag (oft Carry genannt) entsteht, wenn die Summe einer Stelle nicht mehr in ein Bit passt. Er wandert zur nächsthöheren Stelle und wird dort mit aufaddiert — genau wie der Zehnerübertrag im Dezimalsystem.

Beispiel: 0101 1010 + 0011 1100

1 1 1 1 1 ← Überträge
0 1 0 1 1 0 1 0
+ 0 0 1 1 1 1 0 0
─────────────────
1 0 0 1 0 1 1 0

Probe in Dezimal: 90 + 60 = 150 — passt.

Überlauf

Bei begrenzter Bitbreite kann eine Addition über den Wertebereich hinauslaufen. Wenn man 8 Bit hat (Bereich 0–255), wird aus 200 + 100 nicht 300, sondern (300 mod 256) = 44. Das nennt sich Überlauf (Overflow). In SPS und Mikrocontrollern setzt ein solches Ereignis meist ein dediziertes Statusbit, damit das Programm reagieren kann.

Negative Zahlen mit dem Zweierkomplement

Das Zweierkomplement ist die Standardmethode, negative Zahlen binär darzustellen. Die Idee dahinter: Statt ein eigenes „Vorzeichenbit“ wie ein Schalter zu behandeln, wird der höchsten Stelle ein negativer Stellenwert gegeben.

Bei einer 8-Bit-Zahl im Zweierkomplement bedeutet das:

Stellenwerte: -128 64 32 16 8 4 2 1
↑
negativer Stellenwert (Vorzeichenbit)

Das oberste Bit (MSB für Most Significant Bit, hier Bit 7) heißt deshalb auch Vorzeichenbit. Ist es 0, ist die Zahl positiv oder null. Ist es 1, ist die Zahl negativ. Das niederwertigste Bit ganz rechts heißt entsprechend LSB (Least Significant Bit).

Den Wert einer signed-Binärzahl liest man genauso ab wie bisher — nur dass beim obersten Bit der Stellenwert mit Minuszeichen gewichtet wird.

Beispiel für 1111 1011:

-128·1 + 64·1 + 32·1 + 16·1 + 8·0 + 4·0 + 2·1 + 1·1
= -128 + 64 + 32 + 16 + 0 + 0 + 2 + 1
= -5

Zweierkomplement bilden

Um den negativen Wert einer Zahl zu bekommen, gibt es ein simples Rezept:

1. Alle Bits invertieren (Einerkomplement)
2. Eins addieren

Beispiel: −5 aus +5 herstellen.

+5 = 0000 0101
invertieren → 1111 1010 (Einerkomplement)
+ 1 = 1111 1011

Das ist genau die Bitfolge, die wir oben als −5 abgelesen haben.

Wertebereiche signed vs. unsigned

Mit dem Zweierkomplement teilt sich der Wertebereich einer Bitbreite auf:

Dieselbe Hardware kann beide Sichtweisen liefern — der Unterschied liegt darin, wie das Programm die Bits interpretiert. SPS-Datentypen wie INT (16 Bit signed) oder DINT (32 Bit signed) arbeiten standardmäßig im Zweierkomplement, der Datentyp WORD (16 Bit unsigned) sieht dieselben Bits als positive Zahl.

Subtraktion durch Addition

Ein praktischer Nebeneffekt des Zweierkomplements: Eine Subtraktion lässt sich als Addition des Zweierkomplements ausführen. Statt 14 − 5 rechnet die Maschine 14 + (−5). Das spart Hardware-Aufwand, weil dieselbe Addier-Schaltung beides erledigt.