Drehbewegung und Drehmoment

Stell dir einen Schlitten vor, der geradeaus über eine Schiene gleitet. Seine Bewegung beschreibst du mit dem zurückgelegten Weg, seiner Geschwindigkeit und der Kraft, die ihn antreibt. Das ist die translatorische Bewegung — eine Bewegung längs einer Geraden.

Jetzt nimm stattdessen ein Rad, das sich um seine Achse dreht. Es legt keinen Weg im üblichen Sinn zurück, sondern es überstreicht einen Winkel. Das ist die rotatorische Bewegung — eine Drehung um eine feste Drehachse.

Der Trick beim Lernen: Fast jede Größe der geradlinigen Bewegung hat ein direktes Gegenstück bei der Drehung. Diese Tabelle ist der rote Faden für den ganzen Beitrag:

Der Drehwinkel im Bogenmaß

Einen Winkel kennst du in Grad: eine volle Umdrehung sind 360°. In der Technik rechnet man Drehungen aber meist im Bogenmaß mit der Einheit Radiant (rad). Das Bogenmaß misst den Winkel über die Länge des Kreisbogens, geteilt durch den Radius.

Eine volle Umdrehung entspricht dem gesamten Kreisumfang. Weil der Umfang 2·π·r beträgt und man durch r teilt, bleibt für eine volle Umdrehung der Wert 2·π ≈ 6,2832 rad.

Merke dir den Eckwert: Eine volle Umdrehung sind 2π rad, also rund 6,28 rad. Das Bogenmaß hat den großen Vorteil, dass es sich direkt mit dem Radius verrechnen lässt — genau das brauchen wir im nächsten Kapitel.

Bei der geradlinigen Bewegung sagt die Geschwindigkeit, wie viel Weg pro Zeit zurückgelegt wird. Bei der Drehung übernimmt das die Winkelgeschwindigkeit omega: Sie gibt an, welcher Drehwinkel pro Sekunde überstrichen wird, gemessen in rad/s.

In der Werkstatt spricht aber kaum jemand von rad/s. Dort zählt die Drehzahl n — die Anzahl der Umdrehungen pro Zeit. Auf Typenschildern und in Datenblättern steht sie fast immer in Umdrehungen pro Minute (1/min, oft als min⁻¹ oder U/min geschrieben).

Der Zusammenhang zwischen n und omega

Bei einer Umdrehung wird der Winkel 2π rad überstrichen. Dreht sich etwas n-mal pro Sekunde, ist die Winkelgeschwindigkeit also:

Aufpassen bei der Einheit: Diese Formel braucht die Drehzahl in Umdrehungen pro Sekunde (1/s). Steht die Drehzahl in 1/min, musst du zuerst durch 60 teilen. Das ist eine der häufigsten Fehlerquellen beim Rechnen mit Drehzahlen.

Umfangsgeschwindigkeit

Ein Punkt am Rand eines drehenden Rades bewegt sich tatsächlich durch den Raum — je weiter außen, desto schneller. Diese Umfangsgeschwindigkeit v ergibt sich aus Winkelgeschwindigkeit und Radius:

Hier zeigt sich der Nutzen des Bogenmaßes: Weil omega in rad/s vorliegt, kommt direkt eine Geschwindigkeit in m/s heraus, ohne Umrechnungsfaktor.

Bei der geradlinigen Bewegung ist die Kraft die Ursache jeder Bewegungsänderung. Bei der Drehung übernimmt diese Rolle das Drehmoment — die „Drehwirkung“ einer Kraft um eine Achse.

Jeder kennt das vom Schraubenschlüssel: Mit einem langen Schlüssel löst du eine festsitzende Schraube leichter als mit einem kurzen, obwohl du dieselbe Kraft aufwendest. Entscheidend ist nicht nur die Kraft, sondern auch der Abstand, an dem sie angreift — der Hebelarm.

Der Hebelarm ist der senkrechte Abstand zwischen der Wirkungslinie der Kraft und der Drehachse. Die Einheit des Drehmoments ist das Newtonmeter (Nm) — Kraft mal Länge.

Wenn die Kraft schräg angreift

Die einfache Formel M = F·r gilt nur, wenn die Kraft genau senkrecht zum Hebelarm wirkt. In der Praxis ist das oft nicht der Fall — denk an einen Kurbeltrieb oder einen Pedalhebel, bei dem die Kraft je nach Stellung schräg ansetzt.

Wirkt die Kraft unter einem Winkel alpha zum Hebelarm, dreht nur die senkrechte Komponente der Kraft. Diese Tangentialkraft berechnet sich über den Sinus:

Das Drehmoment ergibt sich dann aus dieser Tangentialkraft und dem Hebelarm:

Bei alpha = 90° ist sin(90°) = 1, and es bleibt die einfache Form M = F·r. Bei alpha = 0° (Kraft längs des Hebels) ist sin(0°) = 0 — dann entsteht kein Drehmoment, egal wie groß die Kraft ist. Das deckt sich mit der Erfahrung: Wer am Schraubenschlüssel in Richtung der Achse zieht, dreht die Schraube nicht.

Jetzt kommt der Zusammenhang, der die ganze Antriebstechnik trägt. Bei der geradlinigen Bewegung ist die Leistung Kraft mal Geschwindigkeit. Bei der Drehung entsprechend Drehmoment mal Winkelgeschwindigkeit:

Weil omega = 2π·n ist, lässt sich die Leistung auch direkt aus der Drehzahl berechnen:

Auch hier gilt: n in 1/s einsetzen. Steht die Drehzahl in 1/min, vorher durch 60 teilen.

Warum das so wichtig ist

Diese eine Formel erklärt eine Beobachtung, die zunächst überrascht: Zwei Motoren können dieselbe Leistung haben und sich trotzdem völlig unterschiedlich verhalten. Der eine dreht schnell und liefert wenig Moment, der andere dreht langsam und liefert viel Moment. Weil das Produkt aus beidem gleich bleibt, ist ihre Leistung identisch.

Genau das nutzt ein Getriebe: Es tauscht Drehzahl gegen Drehmoment. Ein Getriebe, das die Drehzahl halbiert, verdoppelt das Drehmoment — die Leistung bleibt (von Verlusten abgesehen) gleich. Wie das im Detail funktioniert, ist Thema des eigenen Beitrags zu Zahnrädern und Getrieben.

Massenträgheit kurz erklärt

Ein letzter Begriff rundet das Bild ab. So wie eine Masse einer geradlinigen Beschleunigung Widerstand entgegensetzt, widersetzt sich eine drehende Masse einer Drehzahländerung. Dieses „Beharrungsvermögen bei der Drehung“ heißt Massenträgheitsmoment und hängt nicht nur von der Masse ab, sondern auch davon, wie weit sie von der Drehachse entfernt liegt — je weiter außen, desto stärker die Wirkung. Deshalb laufen schwere Schwungräder mit viel Masse am Rand nach dem Abschalten lange nach. Die genaue Berechnung gehört in einen eigenen Vertiefungsbeitrag der Physik; für die Praxis reicht das Verständnis, dass große rotierende Massen jede Drehzahländerung verzögern.