Zulässige Spannung und Sicherheitsfaktor
Einleitungstext…
Ein Bauteil hält genau so viel aus, wie sein Werkstoff zulässt — keinen Newton mehr. In der Praxis baut man aber nie bis an diese Grenze. Zwischen der Spannung, die tatsächlich im Bauteil auftritt, und der Spannung, bei der es versagt, bleibt immer ein Abstand. Wie groß dieser Abstand sein muss, legt der Sicherheitsfaktor fest. Daraus ergibt sich die zulässige Spannung — der Wert, mit dem jede Auslegung am Ende steht oder fällt.
Dieser Beitrag zeigt, woher die Grenzwerte kommen, wie man den Sicherheitsfaktor wählt, wie man die zulässige Spannung berechnet und wie man damit ein Bauteil prüft oder von Grund auf dimensioniert.
Vorwissen
- Festigkeitslehre: Spannung und Dehnung
- Zugversuch und Spannungs-Dehnungs-Diagramm
- Werkstoffeigenschaften: Festigkeit, Härte, Zähigkeit
Lernziele
Nach diesem Beitrag kannst du:
- erklären, warum man Bauteile mit einer Sicherheitsreserve auslegt
- den passenden Grenzwert (Streckgrenze oder Zugfestigkeit) für einen Werkstoff auswählen
- den Sicherheitsfaktor sinnvoll abschätzen und seine Einflussgrößen benennen
- die zulässige Spannung berechnen und einen Tragsicherheitsnachweis führen
- den erforderlichen Querschnitt eines Bauteils dimensionieren
1. Warum man nie bis ans Limit baut
Stell dir eine Zugstange vor, die eine bekannte Last trägt. Du könntest sie theoretisch so dünn rechnen, dass die Spannung im Werkstoff genau die Grenze erreicht, bei der er nachgibt. Praktisch wäre das fahrlässig — und zwar aus drei Gründen.
Erstens schwankt die Belastung. Die angenommene Last ist selten die, die im Betrieb wirklich auftritt: Stöße, Überlast, ein zusätzlich aufgehängtes Gewicht. Zweitens streut der Werkstoff. Zwei Stäbe aus demselben Stahl haben nie exakt dieselbe Festigkeit — es gibt eine Bandbreite. Drittens sind die Annahmen selbst ungenau: Querschnitte, Kräfte und Hebelarme kennt man nie auf die letzte Stelle genau.
Die vorhandene Spannung — also die Spannung, die sich aus Last und Querschnitt rechnerisch ergibt (σ = F/A, ausführlich im Beitrag zu Spannung und Dehnung) — darf deshalb nie bis an die Versagensgrenze des Werkstoffs heranreichen. Man plant bewusst eine Reserve ein. Genau diese Reserve ist der Kern der ganzen Festigkeitsrechnung.
Die Versagensgrenze ist dabei die rote Linie. Was diese Linie konkret markiert, hängt vom Werkstoff ab — und darum geht es im nächsten Kapitel.
Eine Zugstange wird so dimensioniert, dass die rechnerisch ermittelte Spannung exakt der Festigkeitsgrenze des Werkstoffs entspricht. Warum ist das in der Praxis unzulässig?
- a) Weil Lastschwankungen, Werkstoffstreuung und ungenaue Annahmen keine Reserve mehr lassen
- b) Weil die Spannung then doppelt so groß berechnet werden müsste
- c) Weil die Streckgrenze immer kleiner als die vorhandene Spannung sein muss
- d) Weil die zulässige Spannung dann negativ würde
Richtig: a)
Die Auslegung an der Grenze lässt keinen Puffer für reale Unsicherheiten. Schon eine geringe Überlast oder ein Werkstoff am unteren Rand der Streuung führt zum Versagen. Antwort a und d sind rechnerisch unsinnig; c verdreht die Verhältnisse — die Streckgrenze liegt naturgemäß über der zulässigen Spannung.
Welche der genannten Größen ist KEIN typischer Grund für eine Sicherheitsreserve bei der Bauteilauslegung?
- a) Streuung der Werkstofffestigkeit
- b) Unsicherheit über die tatsächlich auftretende Last
- c) Die exakt bekannte, konstante Dichte des Werkstoffs
- d) Ungenauigkeiten bei der Annahme von Querschnitten und Hebelarmen
Richtig: c)
Die Dichte ist eine gut bekannte, stabile Werkstoffkonstante und spielt für die Sicherheitsreserve keine Rolle. Werkstoffstreuung, Lastunsicherheit und ungenaue geometrische Annahmen sind dagegen genau die Unsicherheiten, die der Sicherheitsfaktor abdeckt.
2. Die Versagensgrenzen: Streckgrenze und Zugfestigkeit
Welcher Wert ist nun die „rote Linie“? Das hängt davon ab, wie der Werkstoff versagt.
Bei zähen Werkstoffen — etwa Baustahl — ist die Streckgrenze Re maßgebend. Sie ist die Spannung, ab der das Bauteil sich bleibend verformt. Schon das gilt als Versagen: Ein Bauteil, das sich dauerhaft verbiegt, hat seine Funktion verloren, auch wenn es nicht bricht. Bei Werkstoffen ohne ausgeprägte Streckgrenze nimmt man ersatzweise die 0,2-%-Dehngrenze Rp0,2.
Bei spröden Werkstoffen — etwa Grauguss — gibt es praktisch keine nennenswerte bleibende Verformung. Hier ist die Zugfestigkeit Rm die Grenze, also die Spannung, bei der der Bruch eintritt.
Die genauen Definitionen dieser Kennwerte und ihre Lage im Spannungs-Dehnungs-Diagramm sind im eigenen Beitrag zum Zugversuch beschrieben. Für die Sicherheitsrechnung zählt nur ihre Funktion: Sie sind die Grenzspannung, von der aus nach unten gerechnet wird.
Wirkt die Last nicht ruhend, sondern schwingend, sinkt die ertragbare Spannung deutlich — dann wird die Dauerfestigkeit zum Maßstab. Das ist ein eigenes Themenfeld; in diesem Beitrag bleiben wir bei ruhender Belastung.
Für ein Bauteil aus zähem Baustahl, das eine ruhende Zuglast trägt, soll der maßgebende Grenzwert gewählt werden. Welcher ist korrekt und warum?
- a) Die Streckgrenze Re, weil bereits die bleibende Verformung als Versagen gilt
- b) Die Zugfestigkeit Rm, weil sie den höchsten ertragbaren Wert darstellt
- c) Die Bruchdehnung A, weil sie die Verformbarkeit beschreibt
- d) Die Dichte, weil sie die Tragfähigkeit bestimmt
Richtig: a)
Bei zähen Werkstoffen ist die bleibende Verformung das Versagenskriterium, also die Streckgrenze Re. Rm läge zu hoch und würde dauerhafte Verformung zulassen. Bruchdehnung und Dichte sind keine Spannungsgrenzen.
Ein Bauteil aus sprödem Grauguss zeigt vor dem Versagen kaum bleibende Verformung. Welche Aussage trifft zu?
- a) Maßgebend ist Rp0,2, weil keine Streckgrenze ausgeprägt ist
- b) Es genügt die halbe Streckgrenze als Grenzwert
- c) Spröde Werkstoffe brauchen keinen Grenzwert
- d) Maßgebend ist die Zugfestigkeit Rm, weil das Versagen direkt als Bruch eintritt
Richtig: d)
Spröde Werkstoffe verformen sich vor dem Bruch kaum, daher ist die Bruchspannung Rm die natürliche Grenze. Rp0,2 ist ein Ersatzwert für zähe Werkstoffe ohne ausgeprägte Streckgrenze und passt hier nicht. b und c sind frei erfunden.
3. Der Sicherheitsfaktor
Jetzt zum eigentlichen Hebel. Der Sicherheitsfaktor ν (gesprochen „nü“) gibt an, wie weit die zulässige Spannung unter der Grenzspannung liegt. Er ist schlicht das Verhältnis aus beidem:
ν = σ_grenz / σ_zul
- ν …….. Sicherheitsfaktor (dimensionslos)
- σ_grenz .. Grenzspannung des Werkstoffs in N/mm²
- σ_zul …. zulässige Spannung in N/mm²
Ein Faktor von ν = 2 bedeutet: Die zulässige Spannung ist halb so groß wie die Grenzspannung — das Bauteil hat „doppelte Sicherheit“. Je größer ν, desto mehr Reserve, aber auch desto mehr Material und Gewicht.
Wie groß der Faktor sein muss, ist keine feste Zahl, sondern eine Abwägung. Grobe Richtwerte für ruhende Belastung liegen bei zähen Werkstoffen bezogen auf die Streckgrenze etwa im Bereich 1,5 bis 2. Bezieht man sich bei spröden Werkstoffen auf die Zugfestigkeit, wählt man deutlich höhere Werte, oft 2 bis 4 — weil der Bruch kommt ohne Vorwarnung und keine bleibende Verformung als Warnsignal auftritt. Schwingende Belastung erfordert nochmals höhere Werte.
Was den Faktor im Einzelfall hebt oder senkt:
| Einflussgröße | Faktor eher höher | Faktor eher niedriger |
|---|---|---|
| Lastannahme | unsicher, stoßartig | gut bekannt, ruhend |
| Werkstoffverhalten | spröde, streut stark | zäh, gleichmäßig |
| Folgen eines Versagens | Personengefahr | unkritisch |
| Belastungsart | wechselnd/schwellend | ruhend |
Wo Normen oder Vorschriften gelten, geben sie den Faktor oft verbindlich vor — etwa im Kran- oder Hebezeugbau. Liegt kein verbindlicher Wert vor, wählt man ihn nach Erfahrung und nach den oben genannten Kriterien.
Ein Sicherheitsfaktor von ν = 2,5 wird für ein Bauteil festgelegt. Was bedeutet das konkret?
- a) Die zulässige Spannung ist 2,5-mal so groß wie die Grenzspannung
- b) Das Bauteil darf 2,5-fach überlastet werden, ohne sich zu verformen
- c) Die Grenzspannung ist 2,5-mal so groß wie die zulässige Spannung
- d) Die vorhandene Spannung beträgt 2,5 N/mm²
Richtig: c)
Aus ν = σ_grenz / σ_zul folgt σ_grenz = 2,5 · σ_zul — die Grenzspannung ist also das 2,5-Fache der zulässigen Spannung. Antwort a kehrt das Verhältnis um. c ist eine unzulässige Vereinfachung, d verwechselt den Faktor mit einem Spannungswert.
Zwei Bauteile tragen dieselbe ruhende Last. Bauteil A besteht aus zähem Stahl, Bauteil B aus sprödem Grauguss. Wie sollten die Sicherheitsfaktoren sinnvoll gewählt werden?
- a) Beide gleich, weil die Last identisch ist
- b) A höher als B, weil Stahl teurer ist
- c) Der Faktor hängt nur von der Last ab, nicht vom Werkstoff
- d) B höher als A, weil der Bruch ohne Vorwarnung eintritt
Richtig: d)
Sprödes Material versagt schlagartig ohne vorherige bleibende Verformung — es fehlt das Warnsignal. Deshalb wählt man für Bauteil B den höheren Faktor. Die Last ist zwar gleich, aber das Versagensverhalten unterscheidet sich; d ignoriert genau diesen Punkt.
Welche Situation rechtfertigt den NIEDRIGSTEN Sicherheitsfaktor?
- a) Stoßartige Last, spröder Werkstoff, Personengefahr bei Versagen
- b) Ruhende, gut bekannte Last, zäher Werkstoff, unkritische Folgen
- c) Wechselnde Last, streuender Werkstoff
- d) Unbekannte Last, mögliche Überlast
Richtig: b)
Der niedrigste Faktor ist vertretbar, wenn alle Unsicherheiten klein sind: bekannte ruhende Last, gutmütiger zäher Werkstoff, harmlose Versagensfolgen. Alle anderen Fälle erhöhen die Unsicherheit und verlangen mehr Reserve.
4. Die zulässige Spannung berechnen
Die zentrale Größe der Auslegung ist die zulässige Spannung σ_zul. Sie folgt direkt aus Grenzspannung und Sicherheitsfaktor:
σ_zul = σ_grenz / ν
- σ_zul …. zulässige Spannung in N/mm²
- σ_grenz .. Grenzspannung (Re oder Rm) in N/mm²
- ν …….. Sicherheitsfaktor (dimensionslos)
Sie ist die Obergrenze, die im Bauteil nicht überschritten werden darf. Ob das eingehalten ist, prüft der Tragsicherheitsnachweis: Die vorhandene Spannung muss kleiner oder gleich der zulässigen sein.
σ_vorh = F / A
- σ_vorh … vorhandene Spannung in N/mm²
- F …….. Kraft in N
- A …….. Querschnittsfläche in mm²
Die Bedingung lautet: σ_vorh ≤ σ_zul. Ist sie erfüllt, trägt das Bauteil. Praktisch ist es üblich, beides ins Verhältnis zu setzen — der Ausnutzungsgrad zeigt, wie weit das Bauteil bereits beansprucht ist (z. B. 0,8 = 80 % ausgenutzt):
α = σ_vorh / σ_zul
- α …….. Ausnutzungsgrad (dimensionslos)
- σ_vorh … vorhandene Spannung in N/mm²
- σ_zul …. zulässige Spannung in N/mm²
Die Rechnung lässt sich auch umdrehen. Kennt man die Last und die zulässige Spannung, ergibt sich der erforderliche Querschnitt — das ist der eigentliche Dimensionierungsfall:
A_erf = F / σ_zul
- A_erf …. erforderlicher Querschnitt in mm²
- F …….. Kraft in N
- σ_zul …. zulässige Spannung in N/mm²
Damit hat man zwei Richtungen: den Nachweis (Querschnitt steht fest, prüfe die Spannung) und die Dimensionierung (zulässige Spannung steht fest, finde den Querschnitt).
Gelöstes Beispiel
Eine Zugstange aus Baustahl mit Re = 235 N/mm² trägt eine ruhende Zugkraft von 18 000 N. Der Sicherheitsfaktor soll ν = 1,5 betragen, der Querschnitt ist kreisförmig mit 12 mm Durchmesser. Hält die Stange?
Gegeben: Re = 235 N/mm², F = 18 000 N, ν = 1,5, d = 12 mm
Gesucht: σ_zul in N/mm², σ_vorh in N/mm², Tragsicherheit ja/nein
Lösungsweg:
- Schritt 1 — zulässige Spannung:
σ_zul = Re / ν = 235 / 1,5 = 156,67 N/mm² - Schritt 2 — vorhandener Querschnitt:
A = (π / 4) · d² = (π / 4) · 12² = 113,10 mm² - Schritt 3 — vorhandene Spannung:
σ_vorh = F / A = 18 000 / 113,10 = 159,15 N/mm² - Schritt 4 — Vergleich:
σ_vorh = 159,15 N/mm² > σ_zul = 156,67 N/mm²
Ergebnis: Die vorhandene Spannung überschreitet die zulässige knapp. Die Stange holds den geforderten Sicherheitsfaktor nicht ein — der Querschnitt muss vergrößert werden.
Übungen
Ein Flachstahl hat einen Querschnitt von 200 mm² und trägt 24 000 N ruhend. Wie groß ist die vorhandene Spannung?
σ_vorh = 24 000 / 200 = 120 N/mm²
Re = 355 N/mm², Sicherheitsfaktor ν = 2. Wie groß ist die zulässige Spannung?
σ_zul = 355 / 2 = 177,5 N/mm²
Eine Zugstange soll 30 000 N tragen, die zulässige Spannung beträgt 150 N/mm². Welcher Querschnitt ist mindestens erforderlich?
A_erf = 30 000 / 150 = 200 mm²
Ein Bauteil aus Grauguss mit Rm = 200 N/mm² wird mit ν = 4 ausgelegt und trägt 8 000 N. Wie groß ist der erforderliche Querschnitt?
σ_zul = 200 / 4 = 50 N/mm²; A_erf = 8 000 / 50 = 160 mm²
Eine kreisrunde Stange aus Stahl mit Re = 235 N/mm² soll bei ν = 1,8 eine Last von 40 000 N tragen. Welcher Mindestdurchmesser ist nötig?
σ_zul = 235 / 1,8 = 130,56 N/mm²; A_erf = 40 000 / 130,56 = 306,38 mm²; d = √(4 · A_erf / π) = √(4 · 306,38 / π) = 19,75 mm → mindestens 20 mm
Ein Werkstoff hat Re = 300 N/mm², der Sicherheitsfaktor beträgt ν = 2. Wie groß ist die zulässige Spannung?
- a) 150 N/mm²
- b) 600 N/mm²
- c) 302 N/mm²
- d) 298 N/mm²
Richtig: a)
σ_zul = σ_grenz / ν = 300 / 2 = 150 N/mm². Antwort b multipliziert statt zu dividieren; c und d addieren bzw. subtrahieren sinnlos.
Beim Tragsicherheitsnachweis ergibt sich ein Ausnutzungsgrad von 1,1. Was folgt daraus?
- a) Das Bauteil ist zu 110 % ausgelastet, die zulässige Spannung ist überschritten
- b) Das Bauteil ist optimal ausgelegt
- c) Der Sicherheitsfaktor ist um 10 % zu groß
- d) Die Last kann verdoppelt werden
Richtig: a)
Ein Ausnutzungsgrad über 1 bedeutet, dass die vorhandene Spannung die zulässige überschreitet — das Bauteil ist überlastet und muss verstärkt werden. b gilt nur bei Werten knapp unter 1; c und d sind falsch.
Eine Last von 20 000 N soll bei einer zulässigen Spannung von 100 N/mm² getragen werden. Welcher Querschnitt ist erforderlich?
- a) 2 000 000 mm²
- b) 200 mm²
- c) 20 mm²
- d) 100 mm²
Richtig: b)
A_erf = F / σ_zul = 20 000 / 100 = 200 mm². Antwort a multipliziert, c und d sind reine Zahlendreher.
5. Anwenden: Bauteil prüfen und dimensionieren
In der Festigkeitsrechnung läuft fast jeder Nachweis nach demselben Schema ab. Erst bestimmt man die Last, die wirklich auf das Bauteil wirkt. Daraus und aus dem Querschnitt folgt die vorhandene Spannung σ = F/A. Diese vergleicht man mit der zulässigen Spannung, die aus Werkstoffkennwert und Sicherheitsfaktor stammt. Liegt die vorhandene unter der zulässigen, ist der Nachweis erbracht.
Soll ein Bauteil neu ausgelegt werden, dreht man den Ablauf um: zulässige Spannung festlegen, daraus mit A_erf = F / σ_zul den nötigen Querschnitt bestimmen und auf ein praktisch herstellbares Maß aufrunden. Nie abrunden — sonst unterschreitet man den Querschnitt und damit die Sicherheit.
Gelöstes Beispiel
Eine Hebelasche aus Stahl mit Re = 355 N/mm² soll eine ruhende Last von 50 000 N tragen. Wegen der Personengefahr wird ν = 3 gewählt. Die Lasche ist rechteckig, 8 mm dick. Welche Breite ist mindestens nötig?
Gegeben: Re = 355 N/mm², F = 50 000 N, ν = 3, Dicke t = 8 mm
Gesucht: Mindestbreite b in mm
Lösungsweg:
- Schritt 1 — zulässige Spannung:
σ_zul = Re / ν = 355 / 3 = 118,33 N/mm² - Schritt 2 — erforderlicher Querschnitt:
A_erf = F / σ_zul = 50 000 / 118,33 = 422,57 mm² - Schritt 3 — Breite aus Querschnitt und Dicke:
b = A_erf / t = 422,57 / 8 = 52,82 mm
Ergebnis: Die Lasche muss mindestens etwa 53 mm breit sein; in der Praxis wird auf das nächste glatte Maß (z. B. 55 mm) aufgerundet.
Übungen
Ein Zugstab trägt 15 000 N bei einem Querschnitt von 120 mm². Wie groß ist die vorhandene Spannung?
σ_vorh = 15 000 / 120 = 125 N/mm²
Re = 235 N/mm², ν = 1,5. Eine Stange trägt 16 000 N. Reicht ein Querschnitt von 100 mm²?
σ_zul = 235 / 1,5 = 156,67 N/mm²; σ_vorh = 16 000 / 100 = 160 N/mm²; 160 > 156,67 → reicht nicht.
Eine Rundstange soll 35 000 N tragen, σ_zul = 140 N/mm². Welcher Mindestdurchmesser ist nötig?
A_erf = 35 000 / 140 = 250 mm²; d = √(4 · 250 / π) = 17,84 mm → mindestens 18 mm
Ein Bauteil aus Grauguss mit Rm = 250 N/mm² wird mit ν = 4 ausgelegt und trägt 12 000 N. Wie groß ist der Ausnutzungsgrad bei einem Querschnitt von 250 mm²?
σ_zul = 250 / 4 = 62,5 N/mm²; σ_vorh = 12 000 / 250 = 48 N/mm²; Ausnutzung = 48 / 62,5 = 0,77 (77 %)
Eine quadratische Stange (Seitenlänge a) aus Stahl mit Re = 355 N/mm² soll bei ν = 2 eine Last von 60 000 N tragen. Welche Mindest-Seitenlänge ist nötig?
σ_zul = 355 / 2 = 177,5 N/mm²; A_erf = 60 000 / 177,5 = 338,03 mm²; a = √338,03 = 18,39 mm → mindestens 19 mm
Beim Dimensionieren ergibt sich ein erforderlicher Querschnitt von 247 mm². Auf welchen Wert sollte gerundet werden?
- a) 240 mm², weil das ein glattes Maß ist
- b) 245 mm², weil näher am Rechenwert
- c) 250 mm² oder größer, weil nicht unterschritten werden darf
- d) genau 247 mm², ohne Rundung
Richtig: c)
Der erforderliche Querschnitt ist ein Mindestwert. Aufrunden auf das nächste herstellbare Maß ist zulässig, Abrunden würde die Sicherheit verringern. a und b unterschreiten den nötigen Wert.
Ein Konstrukteur rechnet „σ_vorh mal Sicherheitsfaktor“ und vergleicht das Ergebnis mit die Streckgrenze. Was ist daran problematisch?
- a) Nichts, das ist die korrekte Vorgehensweise
- b) Der Faktor gehört zwischen Grenz- und zulässige Spannung, nicht auf die vorhandene
- c) Die Streckgrenze darf nicht als Vergleichswert dienen
- d) Der Sicherheitsfaktor muss vorher quadriert werden
Richtig: b)
Der Sicherheitsfaktor definiert den Abstand der zulässigen Spannung zur Werkstoffgrenze. Ihn auf die vorhandene Spannung anzuwenden, ist eine andere Rechnung und führt zu Fehlern. Korrekt ist der Vergleich σ_vorh ≤ σ_grenz / ν. c und d sind falsch.
Welche Reihenfolge beschreibt den Tragsicherheitsnachweis korrekt?
- a) Sicherheitsfaktor wählen → Last berechnen → Werkstoff bestimmen
- b) Last bestimmen → vorhandene Spannung berechnen → mit zulässiger Spannung vergleichen
- c) Querschnitt aufrunden → Last raten → Spannung schätzen
- d) Zulässige Spannung berechnen → Last weglassen → fertig
Richtig: b)
Der Nachweis geht von der realen Last über die vorhandene Spannung zum Vergleich mit der zulässigen Spannung. Die anderen Reihenfolgen lassen wesentliche Schritte aus oder kehren sie unsinnig um.
Abschlusstest
Aufgabe 1: Ein Zugstab aus Baustahl mit Re = 235 N/mm² trägt ruhend 22 000 N bei einem Querschnitt von 150 mm². Der geforderte Sicherheitsfaktor ist ν = 1,5.
Gegeben: Re = 235 N/mm², F = 22 000 N, A = 150 mm², ν = 1,5
Gesucht: σ_zul, σ_vorh, Tragsicherheit
Lösungsweg:
- σ_zul = 235 / 1,5 = 156,67 N/mm²
- σ_vorh = 22 000 / 150 = 146,67 N/mm²
- 146,67 < 156,67
Ergebnis: Die vorhandene Spannung liegt unter der zulässigen — die Stange hält.
Aufgabe 2: Dieselbe Stange soll nun 26 000 N tragen. Welcher Querschnitt ist mindestens nötig, damit der Sicherheitsfaktor ν = 1,5 eingehalten bleibt?
Gegeben: Re = 235 N/mm², F = 26 000 N, ν = 1,5
Gesucht: A_erf
Lösungsweg:
- σ_zul = 235 / 1,5 = 156,67 N/mm²
- A_erf = 26 000 / 156,67 = 165,96 mm²
Ergebnis: Mindestens rund 166 mm², praktisch auf z. B. 170 mm² aufrunden.
Aufgabe 3: Ein Bauteil aus Grauguss mit Rm = 250 N/mm² wird mit ν = 4 ausgelegt. Es trägt 9 000 N bei einem Querschnitt von 180 mm². Bestimme den Ausnutzungsgrad.
Gegeben: Rm = 250 N/mm², ν = 4, F = 9 000 N, A = 180 mm²
Gesucht: Ausnutzungsgrad
Lösungsweg:
- σ_zul = 250 / 4 = 62,5 N/mm²
- σ_vorh = 9 000 / 180 = 50 N/mm²
- Ausnutzung = 50 / 62,5 = 0,80
Ergebnis: Das Bauteil ist zu 80 % ausgenutzt — Nachweis erfüllt.
Aufgabe 4: Eine kreisrunde Zugstange aus Stahl mit Re = 355 N/mm² soll bei ν = 2 eine Last von 45 000 N tragen. Welcher Mindestdurchmesser ist nötig?
Gegeben: Re = 355 N/mm², ν = 2, F = 45 000 N
Gesucht: Mindestdurchmesser d
Lösungsweg:
- σ_zul = 355 / 2 = 177,5 N/mm²
- A_erf = 45 000 / 177,5 = 253,52 mm²
- d = √(4 · 253,52 / π) = 17,97 mm
Ergebnis: Mindestens rund 18 mm Durchmesser.
Warum legt man Bauteile grundsätzlich mit einem Sicherheitsfaktor aus?
- a) Um Material zu sparen
- b) Weil Last, Werkstoff und Annahmen Unsicherheiten enthalten
- c) Weil Normen das Rechnen verbieten
- d) Damit die Spannung negativ wird
Richtig: b)
Der Faktor deckt die realen Unsicherheiten ab: schwankende Lasten, streuende Werkstoffe, ungenaue Annahmen. a ist das Gegenteil; c und d sind unsinnig.
Für einen zähen Stahl bei ruhender Last ist der maßgebende Grenzwert …
- a) die Streckgrenze Re
- b) die Zugfestigkeit Rm
- c) die Bruchdehnung A
- d) die Dichte
Richtig: a)
Bei zähen Werkstoffen gilt die bleibende Verformung als Versagen, also Re. Rm wäre erst der Bruch und läge zu hoch.
σ_zul = σ_grenz / ν. Wenn ν größer wird, dann …
- a) steigt die zulässige Spannung
- b) sinkt die zulässige Spannung
- c) bleibt die zulässige Spannung gleich
- d) wird die Grenzspannung kleiner
Richtig: b)
Größeres ν im Nenner verkleinert den Quotienten — die zulässige Spannung sinkt, die Reserve steigt. Die Grenzspannung ist ein Werkstoffwert und ändert sich dadurch nicht.
Ein spröder Werkstoff erhält im Vergleich zu einem zähen bei gleicher Last meist …
- a) einen kleineren Sicherheitsfaktor
- b) gar keinen Sicherheitsfaktor
- c) einen größeren Sicherheitsfaktor
- d) denselben Sicherheitsfaktor
Richtig: c)
Spröde Werkstoffe brechen ohne Vorwarnung, daher wählt man höhere Faktoren. Last allein bestimmt den Faktor nicht.
Der Tragsicherheitsnachweis ist erfüllt, wenn …
- a) σ_vorh ≤ σ_zul
- b) σ_vorh = σ_grenz
- c) σ_vorh > σ_zul
- d) ν < 1
Richtig: a)
Das Bauteil trägt sicher, solange die vorhandene Spannung die zulässige nicht überschreitet. c bedeutet Überlast, b heißt Versagen, ν < 1 wäre keine Sicherheit, sondern eine Unterschreitung der Grenze.
Ein Ausnutzungsgrad von 0,95 bedeutet …
- a) das Bauteil ist überlastet
- b) der Sicherheitsfaktor ist 0,95
- c) das Bauteil nutzt 95 % der zulässigen Spannung aus
- d) der Querschnitt ist zu groß gewählt
Richtig: c)
Der Ausnutzungsgrad ist σ_vorh / σ_zul. 0,95 heißt 95 % Auslastung — knapp unter der Grenze, aber noch sicher. Über 1 wäre Überlast.
Beim Dimensionieren ergibt A_erf = 312 mm². Welcher gewählte Querschnitt ist zulässig?
- a) 300 mm²
- b) 310 mm²
- c) 320 mm²
- d) 305 mm²
Richtig: c)
A_erf ist ein Mindestwert, der nicht unterschritten werden darf. Nur ein größerer oder gleich großer Querschnitt ist zulässig — hier 320 mm².
Welche Aussage zur zulässigen Spannung ist korrekt?
- a) Sie ist immer größer als die Grenzspannung
- b) Sie ist der Werkstoffkennwert selbst
- c) Sie ist die Obergrenze, die im Bauteil nicht überschritten werden darf
- d) Sie hängt nicht vom Sicherheitsfaktor ab
Richtig: c)
σ_zul ist die rechnerische Obergrenze für die Spannung im Bauteil und liegt stets unter der Grenzspannung. Sie ergibt sich gerade aus Grenzspannung geteilt durch den Sicherheitsfaktor.
Eine Stange trägt 18 000 N, A = 100 mm², Re = 235 N/mm². Wie groß ist der Sicherheitsfaktor gegenüber der Streckgrenze tatsächlich?
- a) ν ≈ 0,76
- b) ν ≈ 180
- c) ν ≈ 1,31
- d) ν ≈ 2,35
Richtig: c)
σ_vorh = 18 000 / 100 = 180 N/mm²; ν = σ_grenz / σ_vorh = 235 / 180 = 1,31. Antwort a kehrt das Verhältnis um, b und d sind Zahlendreher.
Warum wird bei Hebezeugen und Anschlagmitteln ein bewusst hoher Sicherheitsfaktor gewählt?
- a) Weil die Last unbekannt ist
- b) Weil Stahl dort billiger ist
- c) Weil dort keine Spannung auftritt
- d) Weil ein Versagen Personen gefährdet und Lasten ruckartig ansteigen können
Richtig: d)
Personengefahr und stoßartige Lasten beim Anheben verlangen besonders große Reserven. Die Last ist meist bekannt; b und c sind unsinnig.
Ein Bauteil aus Stahl (Re = 355 N/mm²) soll mit ν = 2 ausgelegt werden und 60 000 N tragen. Welcher Mindestquerschnitt ist nötig?
- a) ≈ 338 mm²
- b) ≈ 169 mm²
- c) ≈ 676 mm²
- d) ≈ 120 mm²
Richtig: a)
σ_zul = 355 / 2 = 177,5 N/mm²; A_erf = 60 000 / 177,5 = 338 mm². Antwort b halbiert fälschlich, c verdoppelt.
Was passiert mit der erforderlichen Querschnittsfläche, wenn bei gleicher Last der Sicherheitsfaktor erhöht wird?
- a) Sie bleibt gleich
- b) Sie wird kleiner
- c) Sie wird null
- d) Sie wird größer
Richtig: d)
Höheres ν senkt σ_zul; bei gleicher Last steigt damit A_erf = F / σ_zul. Mehr Sicherheit bedeutet mehr Material.
Glossar
- Zulässige Spannung (σ_zul)
- die rechnerische Obergrenze für die Spannung in einem Bauteil; ergibt sich aus Grenzspannung geteilt durch den Sicherheitsfaktor.
- Sicherheitsfaktor (ν)
- dimensionsloses Verhältnis von Grenzspannung zu zulässiger Spannung; legt fest, wie groß die Sicherheitsreserve gegenüber dem Versagen ist.
- Grenzspannung
- der Werkstoffkennwert, der das Versagen markiert: Streckgrenze Re bei zähen, Zugfestigkeit Rm bei spröden Werkstoffen.
- Vorhandene Spannung (σ_vorh)
- die tatsächlich im Bauteil auftretende Spannung aus Last und Querschnitt (F/A).
- Tragsicherheitsnachweis
- der Vergleich, ob die vorhandene Spannung die zulässige nicht überschreitet (σ_vorh ≤ σ_zul).
- Ausnutzungsgrad
- Verhältnis von vorhandener zu zulässiger Spannung; zeigt als Wert zwischen 0 und 1, wie weit das Bauteil ausgelastet ist.
- Erforderlicher Querschnitt (A_erf)
- der Mindestquerschnitt, der nötig ist, damit die vorhandene Spannung die zulässige nicht überschreitet (F/σ_zul).