Beanspruchungsarten: Zug, Druck, Biegung, Schub, Torsion

Wenn an einem Bauteil eine äußere Kraft angreift, bleibt das nicht ohne Folgen für sein Inneres. Der Werkstoff „wehrt sich“ gegen die Last – im Inneren bauen sich Kräfte auf, die der äußeren Last das Gleichgewicht halten. Diese inneren Kräfte, bezogen auf die Fläche, über die sie wirken, nennt man Spannung.

Um sich diese inneren Kräfte vorstellbar zu machen, hilft das Schnittprinzip: Man legt gedanklich einen Schnitt durch das Bauteil und betrachtet, welche Kraft an der Schnittfläche übertragen werden muss, damit das abgeschnittene Stück im Gleichgewicht bleibt. Genau diese übertragene Kraft, verteilt auf die Schnittfläche, ist die Spannung an dieser Stelle.

Wie groß die Spannung wird und in welche Richtung sie wirkt, hängt davon ab, wie die Last am Bauteil angreift. Daraus ergeben sich die fünf Grundbeanspruchungen:

Spannungen, die senkrecht auf der Schnittfläche stehen (also längs zieht oder drückt), heißen Normalspannungen und bekommen das Formelzeichen σ (Sigma). Spannungen, die in der Schnittfläche liegen (also quer abscheren), heißen Schubspannungen und bekommen das Zeichen τ (Tau). Welche Spannung im konkreten Wert herrscht und wie sich der Werkstoff dabei verformt, ist Thema der Festigkeitslehre – hier geht es darum, die fünf Lastfälle sauber auseinanderzuhalten.

Zug ist die einfachste Beanspruchung. Eine Kraft zieht das Bauteil in Längsrichtung auseinander – wie an einem Seil, einer Zugstange oder einem Anker. Die Kraftrichtung verläuft entlang der Bauteilachse, weg vom Querschnitt.

Schneidet man die Zugstange gedanklich quer durch, muss die Schnittfläche genau die Zugkraft übertragen. Diese Kraft verteilt sich gleichmäßig über den ganzen Querschnitt. Daraus ergibt sich die Zugspannung:

Wichtig ist die Einheit: 1 N/mm² entspricht genau 1 MPa (Megapascal). In der Praxis rechnet man bei Bauteilspannungen fast immer in N/mm², weil Kräfte in Newton und Querschnitte in mm² vorliegen.

Die Zugspannung verteilt sich – solange der Querschnitt konstant ist und die Kraft mittig angreift – gleichmäßig über die Fläche. An Querschnittssprüngen, Bohrungen oder Kerben steigt sie örtlich stark an; diese Spannungsspitzen sind oft die Stelle, an der ein Bauteil zuerst reißt.

Druck ist das Gegenstück zum Zug: Die Kraft wirkt wieder längs der Bauteilachse, drückt das Bauteil aber zusammen statt es auseinanderzuziehen. Beispiele sind eine Säule, eine Stütze oder die Kolbenstange einer Presse im belasteten Zustand.

Rechnerisch ist die Druckspannung identisch zur Zugspannung:

Der einzige formale Unterschied ist das Vorzeichen: Zugspannungen werden positiv, Druckspannungen negativ gezählt. Für die reine Spannungsberechnung spielt das selten eine Rolle – wichtig wird es, sobald Zug und Druck im selben Bauteil gemeinsam auftreten, etwa bei der Biegung (Kapitel 5).

Ein praktischer Unterschied ist aber zentral: Bei Druck droht eine zweite Versagensart, die es bei Zug nicht gibt. Schlanke, lange Bauteile können unter Druck knicken – sie weichen seitlich aus, lange bevor die Druckspannung den Werkstoff überlastet. Eine dünne Stange knickt unter Last weg wie ein zu langes Lineal, auf das man drückt. Die Knickberechnung ist ein eigenes Thema; für diesen Beitrag genügt es zu wissen: Bei gedrückten schlanken Bauteilen reicht die Spannungsberechnung allein nicht aus.

Bei Schub greift die Kraft nicht längs, sondern quer zum Querschnitt an. Zwei Kräfte versuchen, das Bauteil entlang einer Schnittfläche gegeneinander zu verschieben – wie die beiden Klingen einer Schere, die ein Blech durchtrennen. Typische Bauteile, die auf Schub belastet werden: Bolzen in Gelenken, Niete, Passstifte, Schrauben in Querkraftverbindungen.

Die entstehende Spannung liegt jetzt in der Schnittfläche, nicht senkrecht dazu. Es ist also eine Schubspannung:

Auch wenn die Formel der Zug- und Druckformel ähnelt, ist die Bedeutung eine andere: A ist hier die Fläche, die abgeschert wird, und τ wirkt quer dazu.

Schnittigkeit – ein- und mehrschnittige Verbindungen

Entscheidend bei Bolzen- und Nietverbindungen ist die Schnittigkeit. Sie gibt an, über wie viele Querschnittsflächen die Kraft gleichzeitig übertragen wird.

Bei einer einschnittigen Verbindung überlappen sich zwei Bleche, und der Bolzen wird an genau einer Stelle abgeschert. Die ganze Querkraft liegt auf dieser einen Fläche.

Bei einer zweischnittigen (allgemein mehrschnittigen) Verbindung greift ein Blech zwischen zwei andere – ein Gabelkopf etwa –, und der Bolzen würde an zwei Stellen gleichzeitig abgeschert. Die Kraft verteilt sich dadurch auf zwei Flächen, jede trägt nur die Hälfte.

Die Schnittigkeit n geht direkt in die Formel ein:

Bei einschnittiger Verbindung ist n = 1, bei zweischnittiger n = 2. Wer die Schnittigkeit übersieht, rechnet eine zweischnittige Bolzenverbindung um den Faktor 2 zu hoch beansprucht – ein häufiger Fehler.

Biegung entsteht, wenn eine Last ein Bauteil krümmt – etwa ein Träger, der in der Mitte belastet wird, oder eine Welle, die ihr Eigengewicht und die Lagerkräfte aufnimmt. Statt einer einfachen Längskraft wirkt hier ein Biegemoment: das Produkt aus Kraft und Hebelarm, das das Bauteil verbiegt.

Das Spannende an der Biegung ist, was im Querschnitt passiert. Wird ein Träger nach unten durchgebogen, so wird seine Oberseite gestaucht und seine Unterseite gedehnt. Es gibt also gleichzeitig eine Druckzone und eine Zugzone. Dazwischen liegt eine Ebene, in der die Spannung null ist – die neutrale Faser. Sie verläuft durch den Schwerpunkt des Querschnitts.

Je weiter ein Werkstoffteilchen von der neutralen Faser entfernt ist, desto höher ist seine Spannung. Die größte Biegespannung tritt deshalb immer an der Außenfaser auf – ganz oben und ganz unten. Genau dort versagt ein gebogenes Bauteil zuerst.

Wie stark sich ein Querschnitt der Biegung widersetzt, beschreibt das Widerstandsmoment W. Es hängt allein von der Form und Größe des Querschnitts ab. Ein hoher, schmaler Querschnitt (hochkant gestellter Balken) hat ein viel größeres Widerstandsmoment als derselbe Balken flach gelegt – deshalb verlegt man Träger hochkant.

Für die zwei häufigsten Querschnitte gilt:

Mit dem Widerstandsmoment ergibt sich die Biegespannung aus dem Biegemoment:

Auf die Einheiten achten: Das Biegemoment kommt oft in N·m, das Widerstandsmoment in mm³. Vor dem Einsetzen das Moment in N·mm umrechnen (1 N·m = 1000 N·mm).

Torsion tritt auf, wenn ein Torsionsmoment – ein Drehmoment um die Längsachse – ein Bauteil verdreht. Das klassische Beispiel ist die Antriebswelle: Der Motor bringt am einen Ende ein Drehmoment auf, am anderen Ende hängt die Last – die Welle wird tordiert. Auch ein Schraubenschlüssel oder ein Bohrer werden auf Torsion beansprucht.

Beim Verdrehen gleiten die Querschnitte gegeneinander. Es entsteht eine Schubspannung, ähnlich wie beim Abscheren – nur dass sie hier durch das Drehmoment verursacht wird und im Querschnitt von innen nach außen ansteigt. In der Mitte der Welle (auf der Achse) ist die Torsionsschubspannung null, am Außenrand ist sie maximal. Eine Vollwelle nutzt ihren Kern deshalb kaum aus – ein Grund, warum man bei Gewichtsersparnis oft Hohlwellen einsetzt.

Maßgebend ist das polare Widerstandsmoment Wp, das Gegenstück zum Widerstandsmoment bei der Biegung, nur für Verdrehung:

Damit ergibt sich die Torsionsspannung:

Auch hier gilt: Das Torsionsmoment in N·mm einsetzen. Liegt es in N·m vor, mit 1000 multiplizieren.

In der Praxis tritt eine Beanspruchung nur selten allein auf. Eine Antriebswelle überträgt ein Drehmoment (Torsion) und trägt gleichzeitig ihr Eigengewicht und die Kräfte aus Zahnrädern oder Riemen (Biegung). Ein belasteter Träger erfährt Biegung und an den Auflagern Schub. Mehrere Beanspruchungen überlagern sich also im selben Bauteil.

Damit man trotzdem mit einer einzigen Zahl beurteilen kann, ob ein Bauteil hält, fasst man die verschiedenen Spannungen zu einer Vergleichsspannung zusammen. Diese Vergleichsspannung wird dann mit der zulässigen Spannung des Werkstoffs verglichen. Wie man die Vergleichsspannung bildet und welcher Sicherheitsfaktor dabei sinnvoll ist, behandelt der eigene Beitrag zur zulässigen Spannung und zum Sicherheitsfaktor. Für diesen Überblick reicht der Grundgedanke: Wer ein reales Bauteil auslegt, prüft selten nur eine einzelne Beanspruchungsart, sondern ihr Zusammenspiel.