Elektrische Leistung und Arbeit

Wenn auf einem Wasserkocher 2000 W steht und auf einer Glühlampe 60 W, sieht man auf den ersten Blick: der Wasserkocher arbeitet pro Sekunde viel mehr „durch“ als die Lampe. Die Watt-Zahl beschreibt, wie schnell ein Gerät elektrische Energie in eine andere Form umwandelt — in Wärme, Licht, Bewegung, was auch immer. Genau das ist die Leistung.

Leistung ist Energie pro Zeit

Aus der Mechanik kennt man Leistung als „Arbeit pro Zeit“. Ein Stapler, der eine Palette in 5 Sekunden auf 2 Meter hebt, leistet mehr als einer, der dafür 20 Sekunden braucht — auch wenn die Arbeit am Ende dieselbe ist. In der Elektrotechnik gilt genau das gleiche Prinzip, nur mit elektrischer statt mechanischer Energie:

Die Einheit ist nach James Watt benannt. 1 Watt entspricht einer Energieumsetzung von 1 Joule pro Sekunde.

Im Stromkreis: P = U · I

Im Stromkreis lässt sich die Leistung direkt aus den beiden Grundgrößen Spannung und Strom berechnen. Die Spannung U gibt an, wie viel Energie jede Ladung mitbringt. Der Strom I gibt an, wie viele Ladungen pro Sekunde durch den Verbraucher fließen. Multipliziert man beides, erhält man die Energie pro Sekunde — also die Leistung:

Daraus folgt auch die schöne Eigenschaft der Einheit: 1 W = 1 V · 1 A. Das macht Überschlagsrechnungen einfach. Eine 12-V-Halogenlampe, durch die 5 A fließen, hat eine Leistung von 12 · 5 = 60 W. Ein Akkuschrauber mit 18 V Akku, der unter Last 10 A zieht, leistet 180 W.

Vielfache, mit denen man rechnet

Je nach Anwendungsbereich werden verschiedene Vielfache verwendet:

P = U · I funktioniert immer, wenn Spannung und Strom bekannt sind. In der Praxis ist aber oft nur eine der beiden Größen direkt bekannt — dafür der Widerstand des Verbrauchers. Hier kommen zwei abgeleitete Formeln ins Spiel, die im Hintergrund einfach das Ohmsche Gesetz nutzen.

Herleitung aus dem Ohmschen Gesetz

Das Ohmsche Gesetz verbindet die drei Grundgrößen über U = I · R. Setzt man das in P = U · I ein, ergeben sich zwei weitere Wege zur Leistung. Wird die Spannung ersetzt:

Wird stattdessen der Strom über I = U / R ersetzt:

Alle drei Formeln beschreiben dieselbe physikalische Größe — sie unterscheiden sich nur in den verwendeten Eingangsgrößen.

Welche Formel wann?

Welche Formel sinnvoll ist, hängt davon ab, was man weiß:

Im Prinzip kann man immer zuerst die fehlende Größe mit dem Ohmschen Gesetz berechnen und dann P = U · I anwenden. Die zwei Spezialformeln sparen aber einen Schritt — und sie zeigen direkt, dass die Leistung quadratisch von Strom oder Spannung abhängt. Genau dieser Punkt wird später bei den Leitungsverlusten wichtig.

Wenn die drei Werte zueinander passen (also U = I · R), liefern alle drei Formeln dasselbe Ergebnis. Wenn man einen Wert verändert, ohne die anderen anzupassen, weichen die Ergebnisse voneinander ab — und man sieht direkt, dass das Ohmsche Gesetz dann nicht mehr erfüllt ist.

Leistung sagt, wie schnell Energie umgesetzt wird. Will man wissen, wie viel Energie insgesamt geflossen ist, muss man die Leistung mit der Zeit multiplizieren. Genau das macht die Stromrechnung — und das ist die elektrische Arbeit.

Die Formel

Die Einheit der Arbeit hängt von der Einheit der Zeit ab. Wird die Zeit in Sekunden eingesetzt, kommt die SI-Einheit Wattsekunde (Ws) heraus, was identisch mit dem Joule (J) ist. In der Energieabrechnung ist diese Einheit aber unhandlich klein. Übliche Einheiten:

In der Praxis wird fast alles in kWh abgerechnet, weil die Größenordnungen besser passen. Ein Wasserkocher mit 2 kW, der 15 Minuten läuft (0,25 h), verbraucht 2 · 0,25 = 0,5 kWh.

Stromkosten berechnen

Aus der verbrauchten Arbeit lassen sich die Energiekosten direkt ermitteln:

Der reine Arbeitspreis liegt in Österreich aktuell typisch im Bereich von etwa 15 bis 35 ct/kWh, je nach Anbieter und Tarif — dazu kommen noch Grundgebühr, Netzentgelt und Abgaben, die nicht vom Verbrauch abhängen. Für eine Überschlagsrechnung reicht der reine Arbeitspreis aber meist aus.

Jede stromdurchflossene Leitung hat einen Widerstand — auch ein kurzes Kupferkabel. An diesem Widerstand wird elektrische Energie in Wärme umgesetzt, ob gewollt oder nicht. Beim Heizstab ist diese Stromwärme das eigentliche Ziel. In einer Versorgungsleitung ist sie ein Verlust.

Die zentrale Formel

Die in einem Widerstand erzeugte Wärmeleistung — oft Verlustleistung genannt — folgt direkt aus den Leistungsformeln des vorigen Kapitels. Sinnvoll ist hier P = I² · R, weil in einer Leitung der Strom bekannt oder berechenbar ist, der Widerstand aus Länge und Querschnitt folgt, und die Spannung über der Leitung selbst meist klein und kaum direkt messbar ist:

Warum der quadratische Faktor entscheidend ist

Verdoppelt sich der Strom in einer Leitung, vervierfacht sich die Verlustleistung. Das ist der Schlüssel zu vielen Entscheidungen in der Elektrotechnik. Drei Beispiele dazu:

Hochspannungsleitungen. Ein Kraftwerk mit 100 MW könnte seine Energie theoretisch auch bei 400 V abgeben — dann müssten aber 250.000 A durch die Leitung. Bei einem Leitungswiderstand von nur 1 Ω wären das 62.500 MW Verlust — also über 600-mal mehr als die übertragene Leistung. Bei 400 kV ergibt dieselbe Leistung nur 250 A und damit gerade einmal 62,5 kW Verlust. Deshalb wird Energie über lange Strecken immer mit möglichst hoher Spannung übertragen.

Leitungsquerschnitt. Bei gleichem Material gilt: doppelter Querschnitt heißt halber Widerstand. Eine dicke Leitung erzeugt bei gleichem Strom nur halb so viel Verlustleistung wie eine dünne. Deshalb werden Leitungen für hohe Ströme dicker dimensioniert.

Warme Verlängerungskabel. Wer einen Heizlüfter mit 2000 W über ein dünnes Verlängerungskabel betreibt, kann oft selbst spüren, was Stromwärme bedeutet — das Kabel wird warm. Bei dauerhaftem Betrieb mit unterdimensionierten Leitungen droht die Isolierung zu schmelzen.

Auf jedem Elektrogerät klebt ein Typenschild oder ein Aufkleber mit den wichtigsten elektrischen Daten. Dort finden sich Spannung, Strom und Leistung wieder — und damit alle Größen, die in den vorigen Kapiteln behandelt wurden. Ein paar Begriffe sind in der Praxis wichtig.

Was auf dem Typenschild steht

Typische Angaben:

Bei einem einfachen Wirkverbraucher wie einer Heizung passt P = U · I unmittelbar. Steht auf einer Heizung 230 V und 2300 W, ergibt sich daraus I = P / U = 2300 / 230 = 10 A — genau das, was auch auf dem Schild stehen würde, wenn man es ergänzt.

Aufgenommene und abgegebene Leistung

Bei vielen Geräten — vor allem bei Motoren — ist die elektrisch aufgenommene Leistung größer als die mechanisch abgegebene. Die Differenz ist Verlust. Das Verhältnis aus abgegebener zu aufgenommener Leistung heißt Wirkungsgrad und wird im eigenen Beitrag Wirkungsgrad behandelt.

Auf dem Typenschild eines Motors steht in der Regel die abgegebene mechanische Leistung — also das, was an der Welle herauskommt. Die elektrisch aufgenommene Leistung muss daraus über den Wirkungsgrad berechnet werden.

Wechselstrom: P = U · I gilt nur für reine Wirkverbraucher

Bei einer Wechselspannung kann der Strom je nach Verbraucher gegenüber der Spannung verschoben sein. Bei einer reinen Heizung passiert das nicht — Strom und Spannung sind im Gleichtakt, und P = U · I funktioniert wie im Gleichstromkreis. Sobald aber Spulen (Motoren, Trafos) oder Kondensatoren ins Spiel kommen, hinkt der Strom nach oder eilt vor. Dann muss die Leistung in Wirk-, Blind- und Scheinleistung aufgeteilt werden. Wie das funktioniert und welche Rolle der Leistungsfaktor cos φ dabei spielt, behandeln die Beiträge Wirk-, Blind- und Scheinleistung und Leistungsfaktor cos φ.

Für reine Gleichstromverbraucher und für ohmsche Lasten am Wechselstromnetz reicht aber die einfache Beziehung aus diesem Beitrag völlig aus.