Wechselspannung und ihre Kenngrößen (Spitzen-, Effektivwert, Frequenz)

Eine Gleichspannung — wie sie eine Batterie liefert — hat eine feste Polarität: Plus bleibt Plus, Minus bleibt Minus, und der Wert ändert sich nicht. Eine Wechselspannung dagegen kehrt regelmäßig ihre Polarität um und ändert dabei kontinuierlich ihren Wert. Aus dem, was eben noch +325 V war, wird einen Sekundenbruchteil später -325 V, dazwischen liegt jede Zwischengröße.

In Energienetzen ist die Wechselspannung praktisch immer sinusförmig. Das hat einen einfachen Grund: Sie wird durch rotierende Generatoren erzeugt, bei denen sich eine Leiterschleife in einem Magnetfeld dreht — und diese Drehbewegung liefert von Natur aus einen Sinusverlauf. Die Erzeugung im Detail behandelt der Beitrag Wechselstrom-Erzeugung / Generatorprinzip.

Neben der Sinusform gibt es noch andere Wechselsignale — Rechteck, Dreieck, Sägezahn — die etwa in der Elektronik (Funktionsgenerator) oder am Ausgang von Frequenzumrichtern vorkommen. Im Bereich Energieversorgung ist aber der reine Sinus die Regel, und auf ihn beziehen sich alle Kenngrößen dieses Beitrags.

Eine kleine Notation am Rande: Für Momentanwerte einer Wechselspannung wird ein kleines u verwendet, mitunter mit Zeitabhängigkeit als u(t) geschrieben. Konstante Werte — etwa der Effektivwert oder der Spitzenwert — bekommen ein großes U mit passendem Index.

Eine Wechselspannung wiederholt ihren Verlauf in regelmäßigen Abständen. Ein vollständiger Durchlauf — vom Nulldurchgang über das positive Maximum, zurück durch Null, hinunter zum negativen Maximum und wieder bis zum nächsten Nulldurchgang in dieselbe Richtung — heißt Periode. Die Zeit dafür ist die Periodendauer T, gemessen in Sekunden.

Statt der Dauer kann man auch die Anzahl der Perioden pro Sekunde angeben. Das ist die Frequenz f, mit der Einheit Hertz (Hz). Beide Größen sind über einen einfachen Kehrwert verknüpft:

Im österreichischen Stromnetz beträgt die Frequenz 50 Hz — das bedeutet 50 vollständige Perioden pro Sekunde und damit eine Periodendauer von 20 ms. In den USA sind es 60 Hz, im Bahnstromnetz Mitteleuropas (z.B. ÖBB) 16,7 Hz, in der Hochfrequenztechnik können es viele Megahertz sein.

Für Rechnungen mit der Sinusfunktion ist eine dritte Größe nützlich: die Kreisfrequenz ω (omega). Sie gibt an, wie schnell der Drehwinkel auf dem Einheitskreis voranschreitet, gemessen in Radiant pro Sekunde. Eine volle Umdrehung entspricht 2π rad, also:

Für 50 Hz ergibt das ω ≈ 314,16 rad/s — ein Wert, der in jeder Rechnung mit dem Stromnetz früher oder später auftaucht.

Die Sinuskurve erreicht in jeder Halbperiode genau einen Höchstwert. Dieser maximale Augenblickswert heißt Spitzenwert oder Scheitelwert und wird mit Û (großes U mit Dach) bezeichnet. Andere Schreibweisen sind û oder Umax. Beim positiven Maximum gilt +Û, beim negativen Maximum -Û.

Manchmal interessiert nicht der Wert bis zur Mittellinie (Null), sondern der gesamte Abstand zwischen positiver und negativer Spitze. Das ist der Spitze-Spitze-Wert U_SS (im Englischen U_pp für peak-to-peak). Bei einer symmetrischen Wechselspannung — und das ist die übliche Form — gilt:

Wozu braucht man den Spitzenwert? Immer dann, wenn ein Bauteil oder eine Isolation den momentan höchsten Wert aushalten muss. Eine Halbleiterdiode bekommt in Sperrrichtung die volle Sperrspannung zu spüren — und das ist der Spitzenwert. Die Isolation eines Kabels oder Wicklung muss ebenfalls für die Spitzenspannung dimensioniert sein. Wer hier nur mit dem Effektivwert rechnet (siehe Kapitel 5), liegt um den Faktor √2 daneben.

Am Oszilloskop wird übrigens je nach Einstellung der Spitze-Spitze-Wert direkt abgelesen, weil sich der Kurvenverlauf vom oberen bis zum unteren Maximum visuell am leichtesten erfassen lässt.

Bisher haben wir nur einzelne ausgezeichnete Punkte der Wechselspannung beschrieben — Maximum, Nulldurchgang, Periodendauer. Mit der Sinusgleichung lässt sich der Wert zu jedem beliebigen Zeitpunkt berechnen:

Das Argument der Sinusfunktion ω · t ist der momentane Drehwinkel im Bogenmaß. Bei t = 0 ist der Winkel 0, der Sinus liefert 0 — die Kurve beginnt am Nulldurchgang. Nach einer Viertelperiode (t = T/4) ist der Winkel π/2 rad (90°), der Sinus 1 und damit u = Û — die Kurve erreicht das positive Maximum. Nach der halben Periode steht der Winkel bei π (180°), der Sinus wieder bei 0 — ein neuer Nulldurchgang. Bei 3T/4 (270°) liegt das negative Maximum, bei T (360°) der nächste Nulldurchgang in derselben Richtung wie bei t = 0.

Der Zusammenhang zwischen Sinusfunktion und Einheitskreis ist hier wörtlich zu nehmen: Während ein Punkt mit Winkelgeschwindigkeit ω auf dem Einheitskreis umläuft, beschreibt seine Projektion auf die y-Achse exakt die Sinuskurve über der Zeit. Eine Wechselspannung kann man sich also als „abgewickelten Einheitskreis“ vorstellen, mit dem Spitzenwert als Radius.

Folgendes Diagramm zeigt zwei volle Perioden einer sinusförmigen Wechselspannung mit den eingezeichneten Kenngrößen Periodendauer T, Spitzenwert Û und Spitze-Spitze-Wert U_SS:

In der allgemeineren Form berücksichtigt die Sinusgleichung auch eine zeitliche Verschiebung gegenüber dem Nulldurchgang bei t = 0:

Der Nullphasenwinkel φ₀ verschiebt die Kurve seitlich entlang der Zeitachse. Bei zwei verschiedenen Spannungen oder zwischen Spannung und Strom wird daraus die Phasenverschiebung — ein zentrales Werkzeug der Wechselstromtechnik, das einen eigenen Beitrag hat: Phasenverschiebung und Zeigerdiagramme.

Eine Glühbirne, die an 230 V Wechselspannung hängt, leuchtet genauso hell wie an 230 V Gleichspannung — obwohl die Wechselspannung in jeder Periode bis auf etwa 325 V hochschwingt und wieder durch null geht. Dass beide Spannungen denselben „Effekt“ haben, ist genau die Bedeutung des Effektivwerts.

Mathematisch ist der Effektivwert jene Gleichspannung, die an einem ohmschen Widerstand im Mittel die gleiche Leistung (also Wärme) erzeugt wie die betrachtete Wechselspannung. Weil die Leistung proportional zum Quadrat der Spannung ist, wird zuerst quadriert, dann gemittelt, dann die Wurzel gezogen — daher der englische Name „root mean square“ oder kurz RMS.

Für reinen Sinus liefert diese Rechnung ein bemerkenswert einfaches Ergebnis:

Mit √2 ≈ 1,414 bedeutet das: U_eff ≈ 0,707 · Û, oder Û ≈ 1,414 · U_eff.

Damit ergibt sich für das österreichische Netz:

• U_eff = 230 V (offizielle Nennspannung, was am Multimeter abgelesen wird)
• Û = 230 V · √2 ≈ 325,3 V
• U_SS = 2 · Û ≈ 650,5 V

Ein Multimeter zeigt im AC-Bereich den Effektivwert. Allerdings nur korrekt, solange die Spannung wirklich sinusförmig ist — bei verzerrten Signalen kann der angezeigte Wert deutlich falsch sein. Geräte mit der Aufschrift „True RMS“ oder „TRMS“ messen tatsächlich quadratisch und zeigen auch bei nicht-sinusförmigen Signalen den richtigen Wert.

Wenn man den arithmetischen Mittelwert einer reinen sinusförmigen Wechselspannung über eine ganze Periode berechnet, kommt null heraus. Das ist kein Rechenfehler — die positive und die negative Halbwelle sind betragsmäßig gleich groß, sie heben sich exakt auf.

Der reine Mittelwert ist also wenig aussagekräftig — er sagt nichts über die Höhe der Schwingung. Praktisch relevant wird er erst nach einer Gleichrichtung: Wenn die negative Halbwelle durch einen Gleichrichter „umgeklappt“ wird, bleibt nur die positive Hülle übrig, und deren Mittelwert ist deutlich größer als null. Dieser Wert heißt Gleichrichtwert oder Betrag-Mittelwert und wird mit |U| notiert.

Für eine Vollweggleichrichtung (typische Brückenschaltung) ergibt sich aus der Integration über eine halbe Sinusperiode:

Das entspricht etwa 0,637 · Û. Bei reiner Einweggleichrichtung (nur eine Halbwelle wird genutzt) wäre der Wert nur halb so groß: Û / π ≈ 0,318 · Û.

Wozu ist der Gleichrichtwert in der Praxis relevant? Klassische analoge Drehspulmessgeräte sind „mittelwertbildend“ — sie reagieren auf den arithmetischen Mittelwert des durchfließenden Stroms. Ohne Gleichrichter würden sie bei Wechselstrom null anzeigen. Mit eingebautem Gleichrichter zeigen sie den Gleichrichtwert, ihre Skala ist aber meist auf den Effektivwert kalibriert. Diese Kalibrierung funktioniert über den Formfaktor F = U_eff / |U|. Für reinen Sinus ist F = (Û / √2) / (2 · Û / π) = π / (2 · √2) ≈ 1,11. Bei jeder anderen Kurvenform stimmt dieser Faktor nicht mehr — daher die Probleme einfacher Messgeräte mit verzerrten Signalen.