Kraft, Masse, Beschleunigung

Stell dir zwei Einkaufswagen vor: einer leer, einer randvoll. Du givst beiden den gleichen Schubs. Der leere schießt davon, der volle rollt nur träge an. Gleiche Kraft, unterschiedliches Ergebnis — weil die beiden Wagen unterschiedlich viel Masse haben.

Daran erkennt man schon das ganze Zusammenspiel. Drei Größen sind im Spiel:

Die Kraft ist das, was du auf einen Körper ausübst, um ihn zu beschleunigen, abzubremsen oder zu verformen. Ihr Formelzeichen ist F, ihre Einheit das Newton (N). Eine Kraft hat immer eine Richtung — sie ist eine gerichtete Größe.

Die Masse ist die Materialmenge eines Körpers und gleichzeitig das Maß für seine Trägheit — also dafür, wie sehr er sich einer Bewegungsänderung widersetzt. Formelzeichen m, Einheit Kilogramm (kg). Die Masse bleibt überall gleich, egal ob auf der Erde, auf dem Mond oder im Weltall.

Die Beschleunigung is die Änderung der Geschwindigkeit pro Zeit. Formelzeichen a, Einheit Meter pro Sekunde zum Quadrat (m/s²). Wird ein Körper schneller, ist die Beschleunigung positiv; wird er langsamer, ist sie negativ.

Diese drei Größen sind keine voneinander unabhängigen Dinge. Sie sind über das Grundgesetz der Mechanik miteinander verknüpft:

In Worten: Die Kraft, die nötig ist, um einen Körper zu beschleunigen, ist umso größer, je mehr Masse er hat und je stärker er beschleunigt werden soll. Genau das, was du beim Einkaufswagen spürst.

Dieser Zusammenhang ist die Kernaussage des zweiten newtonschen Gesetzes. Die newtonschen Gesetze als Ganzes — das Trägheitsprinzip, das Aktionsprinzip und das Wechselwirkungsprinzip — bilden das Fundament der gesamten Mechanik und werden in einem eigenen Beitrag ausführlich behandelt. Hier konzentrieren wir uns auf die praktische Anwendung von F = m · a.

Im Alltag sagen wir „der Sack wiegt 25 Kilo“ und meinen damit, wie schwer er ist. Physikalisch und technisch ist das ungenau. Kilogramm ist die Einheit der Masse, nicht des Gewichts. Dieser Unterschied wird im fünften Kapitel vollständig aufgelöst — hier geht es zunächst nur um die Masse selbst.

Die Masse beschreibt zwei Dinge gleichzeitig. Erstens die Materialmenge: Wie viel Stoff steckt im Körper? Zweitens — und das ist für die Bewegung entscheidend — die Trägheit: Wie stark widersetzt sich der Körper einer Änderung seines Bewegungszustands?

Ein Beispiel macht die Trägheit greifbar. Eine Stahlkugel mit 10 kg lässt sich nur mühsam in Bewegung setzen, und wenn sie einmal rollt, lässt sie sich genauso mühsam wieder stoppen. Ein Tischtennisball dagegen reagiert auf den kleinsten Anstoß. Beide widersetzen sich der Bewegungsänderung im Verhältnis zu ihrer Masse. Diese Eigenschaft, im bestehenden Bewegungszustand verharren zu wollen, nennt man Trägheit.

Die Einheit der Masse ist das Kilogramm (kg). Es ist eine der sieben Basiseinheiten des SI-Systems. Größere und kleinere Massen drückt man mit den üblichen Vorsätzen aus: 1 t = 1000 kg, 1 g = 0,001 kg.

Ein wichtiger Punkt: Die Masse ist ortsunabhängig. Ein 70-kg-Körper hat auf der Erde, auf dem Mond und schwerelos im All immer dieselbe Masse von 70 kg. Was sich ändert, ist nur die Gewichtskraft — also wie schwer sich der Körper anfühlt. Diesen Zusammenhang greifen wir im fünften Kapitel auf.

Beschleunigung klingt nach „schneller werden“, und das ist sie auch — aber nicht nur. Physikalisch ist die Beschleunigung jede Änderung der Geschwindigkeit pro Zeitspanne. Schneller werden, langsamer werden, die Richtung ändern: All das ist Beschleunigung.

Für den geradlinigen Fall, der hier im Vordergrund steht, gilt:

Das Δ (Delta) steht für „Änderung von“ — also Endwert minus Anfangswert. Beschleunigt ein Fahrzeug von 0 auf 20 m/s in 4 Sekunden, ist die Geschwindigkeitsänderung 20 m/s und die Beschleunigung 20 / 4 = 5 m/s².

Die Einheit m/s² wirkt zunächst sperrig. Sie ergibt sich direkt aus der Formel: Geschwindigkeit (m/s) geteilt durch Zeit (s) macht m/s geteilt durch s, also m/s². Anschaulich bedeutet 5 m/s²: Pro Sekunde nimmt die Geschwindigkeit um 5 m/s zu.

Wird ein Körper langsamer, ist die Geschwindigkeitsänderung negativ und damit auch die Beschleunigung. Man spricht dann von Verzögerung oder negativer Beschleunigung — beim Bremsen der ganz normale Fall.

Bei gleichmäßiger (konstanter) Beschleunigung ändert sich die Geschwindigkeit in gleichen Zeitabschnitten um den gleichen Betrag. Dieser Fall ist der einfachste und der für die meisten praktischen Rechnungen ausreichende.

Jetzt führen wir die drei Größen zusammen. Das zweite newtonsche Gesetz sagt: Wirkt auf einen Körper der Masse m eine Kraft F, so erfährt er eine Beschleunigung a in Richtung der Kraft. Der Zusammenhang ist:

Aus dieser Gleichung ergibt sich auch die Definition der Einheit Newton. Setzt man 1 kg und 1 m/s² ein, erhält man:

Ein Newton ist also genau die Kraft, die einen Körper von 1 kg Masse mit 1 m/s² beschleunigt. Das ist eine recht kleine Kraft — sie entspricht ungefähr dem, was man spürt, wenn man eine Tafel Schokolade in der Hand hält.

Die Gleichung lässt sich nach jeder der drei Größen umstellen, je nachdem, was gesucht ist:

F = m · a (Kraft gesucht)
m = F / a (Masse gesucht)
a = F / m (Beschleunigung gesucht)

Wichtig ist die Richtung: Kraft und Beschleunigung zeigen immer in dieselbe Richtung. Drückst du einen Körper nach rechts, beschleunigt er nach rechts. Beide sind gerichtete Größen, die Masse als reiner Zahlenwert nicht.

Ein Sonderfall verdient besondere Aufmerksamkeit, weil er in der Praxis ständig vorkommt: Setzt man für die Beschleunigung die Fallbeschleunigung g ≈ 9,81 m/s² ein, beschreibt F = m · a die Gewichtskraft eines Körpers. Genau das schauen wir uns im nächsten Kapitel an. Der folgende Rechner deckt diesen Fall bereits mit ab — gib für die Beschleunigung einfach 9.81 ein, und du erhältst die Gewichtskraft.

Jetzt lösen wir den Unterschied zwischen Masse und Gewicht endgültig auf. Jeder Körper auf der Erde wird von der Erde angezogen. Diese Anziehung ist eine Kraft — die Gewichtskraft. Und weil sie eine Kraft ist, gehorcht sie demselben Grundgesetz wie jede andere Kraft auch. Man muss nur für die Beschleunigung den richtigen Wert einsetzen: die Fallbeschleunigung g.

Die Gewichtskraft ist also kein neues Gesetz, sondern schlicht der Spezialfall F = m · a mit a = g. Genau das hat der Rechner aus dem vorigen Kapitel schon gezeigt.

Daraus folgt die saubere Trennung der beiden Begriffe:

Ein Körper von 10 kg hat eine Gewichtskraft von rund 10 · 9,81 = 98,1 N. Auf dem Mond, wo die Fallbeschleunigung nur etwa 1,6 m/s² beträgt, ist seine Masse weiterhin 10 kg, seine Gewichtskraft aber nur noch rund 16 N. Er fühlt sich also leichter an, ist aber genauso träge wie auf der Erde — ihn anzuschieben kostet dieselbe Kraft.

Wie die Gewichtskraft im Rahmen der Gravitation grundsätzlich zustande kommt, wird im Beitrag zu den newtonschen Gesetzen weiter vertieft. Für die technische Praxis reicht der hier gezeigte Zusammenhang F_G = m · g vollkommen aus.