Physikalische Größen und das SI-System

Eine physikalische Größe ist alles, was sich messen lässt: eine Länge, eine Masse, eine Spannung, eine Temperatur. Das Entscheidende dabei ist, dass jede solche Größe aus zwei Teilen besteht – einer Zahl und einer Einheit.

Ein Beispiel: Die Länge eines Kabels beträgt 2,5 m. Hier ist „2,5″ der Zahlenwert und „m“ die Einheit. Beide gehören untrennbar zusammen. Nimmt man die Einheit weg, bleibt eine nackte 2,5 übrig, mit der niemand etwas anfangen kann – 2,5 Meter, 2,5 Millimeter und 2,5 Kilometer sind drei völlig verschiedene Dinge.

Wichtig ist, Formelzeichen und Einheitenzeichen auseinanderzuhalten:

• Das Formelzeichen steht für die Größe selbst, also für das, was gemessen wird. Die Länge bekommt das Formelzeichen l, die Masse m, die Zeit t, die elektrische Spannung U.
• Das Einheitenzeichen steht für die Maßeinheit. Die Länge wird in Meter (m) gemessen, die Masse in Kilogramm (kg), die Zeit in Sekunde (s).

Daraus ergibt sich eine typische Schreibweise:

l = 2,5 m

Gelesen: „Die Länge l beträgt 2,5 Meter.“ Links das Formelzeichen, rechts Zahlenwert mal Einheit.

Eine Stolperfalle versteckt sich beim Buchstaben m: kursiv geschrieben (m) ist es das Formelzeichen für die Masse, aufrecht geschrieben (m) das Einheitenzeichen für den Meter. In gedruckten Fachbüchern wird das durch Kursivschrift sauber getrennt. Auf einem handschriftlichen Notizzettel oder am Bildschirm verschwimmt das schnell – dann hilft nur der Zusammenhang: m = 5 kg meint offensichtlich die Masse, 5 m den Meter.

Damit Messwerte weltweit vergleichbar sind, braucht es ein einheitliches System von Einheiten. Das ist das Internationale Einheitensystem, kurz SI (von französisch Système international d’unités). Es ist in fast allen Ländern verbindlich und bildet auch in Österreich die Grundlage für Technik, Handel und Wissenschaft.

Die Idee dahinter ist bestechend einfach: Man legt eine kleine Anzahl von Basisgrößen fest, deren Einheiten unabhängig voneinander definiert sind. Alle übrigen Größen werden aus diesen Basisgrößen abgeleitet. Im SI-System gibt es genau sieben davon.

Diese sieben sind die Bausteine. Aus ihnen lässt sich jede andere technische oder physikalische Einheit zusammensetzen – die Geschwindigkeit aus Länge und Zeit, die Kraft aus Masse, Länge und Zeit, der elektrische Widerstand aus Spannung und Stromstärke, und so weiter.

Eine Besonderheit fällt sofort auf: Die Basiseinheit der Masse ist das Kilogramm, nicht das Gramm – als einzige Basiseinheit trägt sie also schon einen Vorsatz im Namen. Das hat historische Gründe und ist eine der Eigenheiten, an die man sich gewöhnen muss.

Früher waren manche dieser Einheiten an konkrete Gegenstände gebunden, etwa an einen Metallzylinder als Urkilogramm. Heute sind alle sieben Basiseinheiten über Naturkonstanten definiert – etwa über die Lichtgeschwindigkeit oder die Schwingungsdauer eines bestimmten atomaren Übergangs. Der Vorteil: Such Definitionen sind überall auf der Welt identisch reproduzierbar und altern nicht.

In Österreich ist der Umgang mit Maßen und Einheiten nicht nur eine technische, sondern auch eine rechtliche Frage. Das Maß- und Eichgesetz (MEG) regelt, welche Einheiten im geschäftlichen und amtlichen Verkehr verwendet werden dürfen – und das sind die gesetzlichen Einheiten des SI-Systems. Zuständig dafür ist das Bundesamt für Eich- und Vermessungswesen (BEV). Es sorgt dafür, dass Messgeräte, die im geschäftlichen Verkehr eingesetzt werden – von der Zapfsäule bis zur Waage im Geschäft – geeicht und damit verlässlich sind. Für die berufliche Praxis bedeutet das: Wer mit Messwerten arbeitet, die rechtliche oder geschäftliche Folgen haben, bewegt sich in einem gesetzlich geregelten Rahmen.

Die meisten Größen, mit denen man in der Praxis arbeitet, sind keine Basisgrößen, sondern abgeleitete Größen. Sie entstehen, indem man Basisgrößen miteinander multipliziert oder dividiert. Ihre Einheiten folgen demselben Aufbau.

Ein paar einfache Beispiele zeigen das Prinzip:

Die Fläche entsteht durch Multiplikation zweier Längen, also wird auch die Einheit zu Meter mal Meter – das ergibt Quadratmeter (m²). Beim Volumen kommt eine dritte Länge hinzu, die Einheit wird zum Kubikmeter (m³).

Bei der Geschwindigkeit teilt man eine Länge durch eine Zeit:

Die Einheit ist also Meter pro Sekunde (m/s). Genauso entsteht die Dichte als Masse pro Volumen (kg/m³).

Manche abgeleiteten Einheiten kommen so häufig vor, dass sie einen eigenen Namen bekommen haben. Diese benannten Einheiten sind nur eine kürzere Schreibweise für eine Kombination von Basiseinheiten. Bei den ersten vier in der folgenden Tabelle (Newton, Pascal, Joule, Watt) genügen dafür die mechanischen Basisgrößen Masse, Länge und Zeit. Bei den elektrischen Einheiten Volt und Ohm kommt die Basisgröße Stromstärke (Ampere) hinzu: Sie entstehen, indem man mechanische Leistung oder Energie mit der elektrischen Stromstärke verknüpft – etwa über den Zusammenhang Leistung = Spannung · Stromstärke, aus dem sich die Einheit Volt herleiten lässt (siehe Abschlusstest, Aufgabe 6). Deshalb taucht in diesen beiden Zeilen das Ampere auf:

Diese Tabelle muss man nicht auswendig lernen. Wichtig ist die Einsicht dahinter: Jede dieser Einheiten lässt sich vollständig auf die sieben Basiseinheiten zurückführen. Das Newton ist nichts anderes als kg·m/s² – das folgt direkt daraus, dass Kraft gleich Masse mal Beschleunigung ist, und Beschleunigung wiederum die Einheit m/s² hat.

Die physikalischen Zusammenhänge hinter Kraft, Masse und Beschleunigung sowie hinter Arbeit, Energie und Leistung sind jeweils eigene, größere Themen und werden in gesonderten Beiträgen behandelt. Hier reicht es zu verstehen, wie die zugehörigen Einheiten aus den Basiseinheiten aufgebaut sind.

In der Technik treten Werte über viele Größenordnungen hinweg auf. Ein Kondensator hat eine Kapazität von 0,000001 Farad, ein Kraftwerk liefert 500000000 Watt. Solche Zahlen mit langen Nullenketten sind unübersichtlich und fehleranfällig. Deshalb arbeitet man mit Vorsätzen und mit der Zehnerpotenzschreibweise.

Ein Vorsatz wird direkt vor das Einheitenzeichen gesetzt und steht für eine Zehnerpotenz. Aus 1000 Ohm wird so 1 Kilohm (1 kΩ), aus 0,001 Ampere wird 1 Milliampere (1 mA). Die gebräuchlichsten Vorsätze:

Achtung bei der Groß- und Kleinschreibung: Ein großes M bedeutet Mega (Million), ein kleines m bedeutet Milli (Tausendstel). Der Unterschied zwischen MW und mW ist gewaltig – ein Faktor von einer Milliarde. Genauso steht ein kleines k für Kilo; ein großes K wäre falsch (großes K ist das Kelvin).

Parallel zu den Vorsätzen nutzt man die wissenschaftliche Notation, bei der eine Zahl als Produkt aus einer Zahl zwischen 1 und 10 und einer Zehnerpotenz geschrieben wird:

500 000 000 W = 5 · 10⁸ W = 500 MW
0,000001 F = 1 · 10⁻⁶ F = 1 µF

Beide Schreibweisen meinen dasselbe. In Datenblättern und Schaltplänen überwiegt die Vorsatz-Schreibweise (4,7 kΩ, 100 nF), in Berechnungen oft die Zehnerpotenz, weil sich damit leichter rechnen lässt.

Das systematische Umrechnen zwischen Einheiten und Vorsätzen – gerade bei zusammengesetzten Einheiten wie km/h oder mm² – ist ein Thema für sich und wird im eigenen Beitrag „SI-Einheiten und Einheitenumrechnung“ ausführlich behandelt. Dort findest du auch die Methode, mit der man Schritt für Schritt sicher umrechnet.

Einheiten sind nicht nur ein Anhängsel an die Zahl – man kann mit ihnen rechnen wie mit Variablen. Sie lassen sich multiplizieren, dividieren und kürzen. Genau das macht sie zu einem der zuverlässigsten Werkzeuge, um Rechenfehler aufzuspüren.

Das Grundprinzip: In einer Berechnung führt man die Einheiten konsequent mit und behandelt sie wie Faktoren. Am Ende muss die Einheit des Ergebnisses zu der gesuchten Größe passen. Tut sie das nicht, steckt irgendwo ein Fehler.

Ein Beispiel aus der Geschwindigkeitsberechnung:

Die Einheit des Ergebnisses ist Meter pro Sekunde – genau die Einheit einer Geschwindigkeit. Das Ergebnis ist also zumindest von der Einheit her plausibel. Käme dagegen versehentlich m·s heraus, wüsste man sofort: Hier wurde multipliziert statt dividiert.

Hier hilft die Unterscheidung zwischen zwei Sichtweisen auf eine Formel:

• Eine Größengleichung rechnet mit den vollständigen Größen, also Zahlenwert und Einheit gemeinsam. Sie gilt unabhängig davon, in welchen Einheiten man die Werte einsetzt, solange man die Einheiten mitführt und am Ende auflöst.
• Eine Zahlenwertgleichung rechnet nur mit den Zahlenwerten und setzt bestimmte Einheiten stillschweigend voraus. Sie ist bequemer, aber gefährlich: Setzt man eine Zeit in Minuten statt in Sekunden ein, kommt schlicht Unsinn heraus, ohne dass die Formel warnt.

Die saubere Methode ist die Größengleichung mit mitgeführten Einheiten. Ein typischer Praxisfehler entsteht, wenn Werte mit unterschiedlichen Vorsätzen vermischt werden – etwa eine Länge in Millimeter mit einer Fläche in Quadratzentimeter. Wer die Einheiten konsequent mitführt und vor dem Rechnen auf eine gemeinsame Basiseinheit bringt, vermeidet diese Falle.