SI-Einheiten und Einheitenumrechnung

Jede physikalische Größe setzt sich aus zwei Teilen zusammen: einem Zahlenwert und einer Einheit. Geschrieben wird das als Produkt:

Größe = Zahlenwert · Einheit

Ein Beispiel: Die Länge l = 5 mm besteht aus dem Zahlenwert 5 und der Einheit Millimeter. Die Einheit ist kein schmückendes Beiwerk, sondern Teil der Größe. Lässt man sie weg, ist die Zahl wertlos — „5“ könnte 5 Millimeter, 5 Meter oder 5 Kilometer bedeuten.

Damit weltweit jeder dasselbe meint, wenn er „ein Meter“ oder „ein Ampere“ sagt, gibt es ein einheitliches Maßsystem: das Internationale Einheitensystem, kurz SI (von französisch Système international d’unités). Es legt sieben Basiseinheiten fest, aus denen sich alle anderen Einheiten ableiten lassen. Die genaue Definition der Basisgrößen und wie das SI-System historisch und physikalisch aufgebaut ist, wird in einem eigenen Beitrag zu den physikalischen Größen und dem SI-System behandelt. Hier reicht uns: Es gibt sieben Basiseinheiten — darunter Meter, Kilogramm, Sekunde und Ampere — und aus diesen entstehen durch Kombination alle übrigen Einheiten, etwa das Newton oder das Watt.

Für den praktischen Umgang mit Einheiten kommt es weniger auf die Herkunft der Basiseinheiten an als auf zwei Fähigkeiten: die Vorsätze beherrschen und sauber umrechnen. Genau darum geht es in den folgenden Kapiteln.

In der Technik schreibt man Werte selten in der reinen Basiseinheit. Niemand spricht von 0,000001 Farad, sondern von 1 Mikrofarad. Statt 15000 Ohm schreibt man 15 Kiloohm. Diese Abkürzungen entstehen durch Vorsätze (auch Präfixe genannt), die jeweils für eine bestimmte Zehnerpotenz stehen.

Eine Zehnerpotenz ist eine Schreibweise wie 10³ = 1000 oder 10⁻³ = 0,001. Statt viele Nullen zu schreiben, gibt man an, wie oft mit zehn multipliziert (positiver Exponent) oder durch zehn dividiert wird (negativer Exponent). Das nennt man auch wissenschaftliche Schreibweise: Eine Zahl wird als Produkt aus einer Zahl zwischen 1 und 10 und einer Zehnerpotenz geschrieben, also 15000 als 1,5 · 10⁴.

Die wichtigsten Vorsätze in der Mechatronik und Elektrotechnik:

Zwei Dinge sind beim Lesen wichtig. Erstens: Groß- und Kleinschreibung ist entscheidend. Ein großes M steht für Mega (Million), ein kleines m für Milli (Tausendstel) — zwischen MΩ und mΩ liegt der Faktor eine Milliarde. Zweitens: Das Kilogramm ist die einzige Basiseinheit, die bereits einen Vorsatz im Namen trägt. Vorsätze werden trotzdem an das Gramm gehängt, nicht an das Kilogramm — man schreibt Milligramm (mg), nicht Mikrokilogramm.

So wird aus 47 kΩ der Wert 47 · 10³ Ω = 47000 Ω, und aus 100 µF wird 100 · 10⁻⁶ F = 0,0001 F.

Umrechnen heißt: denselben physikalischen Wert in einer anderen Einheit ausdrücken, ohne ihn zu verändern. 1 Meter und 1000 Millimeter sind dieselbe Länge — nur anders angeschrieben.

Einfache Einheiten über die Zehnerpotenz

Bei einfachen Einheiten verschiebt sich beim Umrechnen nur das Komma. Geht man von einer kleineren zu einer größeren Einheit (mm nach m), wird der Zahlenwert kleiner. Umgekehrt (m nach mm) wird er größer.

Beispiel: 2500 mm in Meter. Da 1 m = 1000 mm, gilt 2500 mm = 2500 / 1000 m = 2,5 m.

Ein verlässlicher Trick ist das Erweitern mit Eins: Man multipliziert den Wert mit einem Bruch, der oben und unten denselben physikalischen Wert in verschiedenen Einheiten trägt. So ein Bruch hat den Wert 1 und verändert die Größe nicht, nur ihre Einheit:

2500 mm · (1 m / 1000 mm) = 2,5 m

Die Einheit mm kürzt sich weg, übrig bleibt m. Dieser Faktor-Trick ist besonders bei zusammengesetzten Einheiten hilfreich, weil man sich nie verrechnet, solange sich die richtigen Einheiten wegkürzen.

Flächen und Volumina – der Faktor wird potenziert

Hier passiert der häufigste Denkfehler. Bei Flächen rechnet man mit dem Quadrat des Längenfaktors, bei Volumina mit der dritten Potenz.

1 m = 10 dm → 1 m² = (10 dm)² = 100 dm²
1 m = 10 dm → 1 m³ = (10 dm)³ = 1000 dm³

Anschaulich wird das so: Stell dir ein Quadrat von 1 m mal 1 m vor. Teilst du jede Kante in Streifen von 1 dm (also 10 cm), entsteht ein Raster aus 10 mal 10 = 100 kleinen Quadraten, jedes 1 dm². Deshalb passen in einen Quadratmeter 100 Quadratdezimeter, nicht nur zehn. Beim Volumen kommt die dritte Kante dazu: 10 mal 10 mal 10 = 1000 kleine Würfel von je 1 dm³.

Wer ein Volumen von Kubikdezimeter in Liter umrechnen will, hat es leicht: 1 dm³ = 1 Liter, das ist exakt gleich.

Geschwindigkeiten – km/h und m/s

Eine zusammengesetzte Einheit wie km/h enthält zwei Umrechnungen gleichzeitig: Kilometer in Meter und Stunden in Sekunden.

1 km/h = 1000 m / 3600 s = 1 / 3,6 m/s

Daraus folgt die in der Praxis ständig gebrauchte Faustregel: Von km/h auf m/s teilt man durch 3,6, von m/s auf km/h multipliziert man mit 3,6.

Temperaturen – der Sonderfall mit Offset

Temperaturen sind anders. Celsius und Kelvin haben zwar dieselbe Schrittweite — eine Änderung um 1 °C ist gleich groß wie eine Änderung um 1 K —, aber ihre Nullpunkte liegen verschoben. Der Nullpunkt der Kelvin-Skala (der absolute Nullpunkt) liegt bei −273,15 °C. Deshalb rechnet man nicht mit einem Faktor, sondern mit einem additiven Offset:

Umgekehrt:

Wer hier versucht, mit einem Faktor zu rechnen, bekommt unsinnige Ergebnisse. 20 °C sind nicht etwa „das 20-fache von irgendetwas“ in Kelvin, sondern 20 + 273,15 = 293,15 K.

Einheiten sind nicht nur Beiwerk, sie sind ein Werkzeug zur Fehlersuche. Beim Rechnen mit Größen rechnet man die Einheiten genauso mit wie die Zahlen. Das Ergebnis ist nur dann plausibel, wenn am Ende die erwartete Einheit herauskommt.

Ein Beispiel mit dem Ohmschen Gesetz:

Setzt man die Einheiten ein, muss Ω · A = V ergeben. Tut es das nicht, stimmt etwas mit der Formel oder den eingesetzten Werten nicht. Diese Einheitenkontrolle fängt einen großen Teil der Rechenfehler ab, bevor sie Schaden anrichten.

Die wichtigste Regel davor: Vor dem Einsetzen alle Werte auf zusammenpassende Einheiten bringen. Mischt man Millimeter und Meter in derselben Formel, kommt Unsinn heraus. Wer einen Querschnitt in mm² und eine Länge in m in dieselbe Formel steckt, ohne umzurechnen, landet schnell um Zehnerpotenzen daneben.

Achtung: Zahlenwertgleichungen

Es gibt eine wichtige Ausnahme von der Einheitenkontrolle: Zahlenwertgleichungen (auch empirische Formeln genannt). Bei ihnen kürzen sich die Einheiten nicht sauber weg. Stattdessen schreibt die Formel vor, in welcher Einheit jeder Wert einzusetzen ist — etwa „Länge immer in Millimeter“ oder „Leistung immer in Kilowatt“. In das Ergebnis steckt dann ein fester Zahlenfaktor, der diese Einheiten bereits berücksichtigt.

Solche Formeln tauchen in der Praxis häufig auf, etwa bei überschlägigen Auslegungen oder in Normtabellen. Erkennbar sind sie oft daran, dass in der Formelbeschreibung ausdrücklich steht, welche Einheit einzusetzen ist. Hier hilft die klassische Einheitenkontrolle nicht weiter — man muss die Werte genau in der vorgeschriebenen Einheit einsetzen und das Ergebnis in der angegebenen Einheit ablesen. Wer das nicht weiß, wundert sich, warum „die Einheiten nicht aufgehen“, und sucht den Fehler an der falschen Stelle.