Wirkungsgrad und Verluste beim Transformator

Im idealen Transformator wäre die abgegebene Leistung gleich der aufgenommenen. Was sekundär herauskommt, müsste primär exakt hineingehen. So ein Transformator existiert aber nicht. Die aufgenommene Leistung P1 ist immer etwas größer als die abgegebene Leistung P2, und die Differenz verschwindet nicht — sie wird im Inneren in Wärme umgewandelt.

Diese Verlustleistung lässt sich in zwei Gruppen einteilen, die völlig unterschiedlich entstehen und sich unterschiedlich verhalten:

Die Eisenverluste entstehen im Eisenkern durch das ständig wechselnde Magnetfeld. Sie hängen praktisch nur von der angelegten Spannung und der Frequenz ab — und sind damit fast unabhängig davon, wie stark der Transformator belastet wird.

Die Kupferverluste entstehen in den Wicklungen durch den ohmschen Widerstand des Drahtes. Sie steigen mit der Belastung, weil mehr Strom durch die Wicklung fließt — und zwar nicht linear, sondern im Quadrat.

Diese Unterscheidung zieht sich durch die gesamte Auslegung: Bleiben die Verluste im Kern konstant, während die Verluste im Wicklungsdraht mit der Last progressiv ansteigen, bestimmt dieses Verhältnis maßgeblich die Effizienz im Betrieb.

Die Eisenverluste entstehen im Kern, sobald an der Primärwicklung eine Wechselspannung anliegt — ganz unabhängig davon, ob sekundär etwas angeschlossen ist. Genau deshalb heißen sie auch Leerlaufverluste: Sie sind schon da, wenn der Transformator leerläuft und gar keine Last treibt.

Verantwortlich sind zwei Effekte. Der erste ist die Hysterese. Das wechselnde Magnetfeld magnetisiert das Eisen ständig um, in jeder Periode hin und zurück. Das Material „wehrt sich“ gegen diese Ummagnetisierung, und diese innere Reibung kostet Energie, die als Wärme verloren geht. Je größer die magnetische Aussteuerung und je höher die Frequenz, desto höher die Hysteresevorluste.

Der zweite Effekt sind die Wirbelströme. Das Wechselfeld induziert nicht nur in der Wicklung eine Spannung, sondern auch im leitfähigen Eisen selbst. Dort treibt sie kreisförmige Ströme — die Wirbelströme — die im Kernmaterial nichts Nützliches tun, sondern nur über den ohmschen Widerstand des Eisens Wärme erzeugen. Diese Wirbelstromverluste sind der zweite Anteil der Eisenverluste.

Beide Effekte hängen von der Spannung und der Frequenz ab, nicht aber vom Laststrom. Im normalen Netzbetrieb sind Spannung und Frequenz konstant, also gilt in der Praxis:

Gegen die Wirbelströme hilft der Aufbau des Kerns. Würde man den Kern aus einem massiven Eisenblock fertigen, könnten sich großflächige Wirbelströme ausbilden. Stattdessen wird der Kern aus vielen dünnen, voneinander isolierten Blechen geschichtet. Die Isolierschicht zwischen den Blechen zwingt die Wirbelströme in winzige Bahnen innerhalb jedes einzelnen Blechs — und kleine Stromschleifen bedeuten kleine Verluste. Zusätzlich wird das Eisen legiert (Silizium erhöht den spezifischen Widerstand) und als kornorientiertes Blech ausgeführt, dessen Kristallstruktur in Feldrichtung optimiert ist. Das senkt zugleich die Hystereseverluste.

Wie groß die Eisenverluste konkret sind, ermittelt man messtechnisch — und zwar im Leerlaufversuch. Der gehört aber nicht hierher; in diesem Beitrag geht es ausschließlich um die physikalische Definition und das Verhalten der Verluste, nicht um ihre messtechnische Bestimmung. Das Verfahren wird in einem eigenen Beitrag behandelt.

Die Kupferwicklungen eines Transformators haben einen ohmschen Widerstand. Sobald Strom fließt, entsteht an diesem Widerstand Wärme — die klassischen Kupferverluste oder Stromwärmeverluste. Sie heißen so, weil die Wicklungen üblicherweise aus Kupfer bestehen (bei großen Transformatoren manchmal aus Aluminium, das Prinzip bleibt gleich).

Für eine einzelne Wicklung gilt das bekannte Verlustgesetz:

Im realen Transformator addieren sich die Verluste von Primär- und Sekundärwicklung. Rechnet man beide Widerstände auf eine Seite um, lassen sie sich zu einem gesamten Kupferverlust zusammenfassen.

Entscheidend ist das Wörtchen quadratisch. Weil der Strom im Quadrat eingeht, vervierfachen sich die Kupferverluste, wenn sich der Strom verdoppelt. Und da der Strom direkt von der Belastung abhängt, sind die Kupferverluste stark lastabhängig — anders als die konstanten Eisenverluste.

In der Praxis bezieht man das auf die Bemessungslast. Die Bemessungslast ist dabei die vom Hersteller festgelegte Lastgrenze für den dauerhaften Betrieb — der Wert, für den der Transformator ausgelegt ist und den er ohne unzulässige Erwärmung dauerhaft führen darf. Man kennt die Kupferverluste bei dieser Bemessungslast, P_Cu,Bem, und beschreibt die aktuelle Belastung über den Belastungsgrad x. Dabei ist x das Verhältnis von tatsächlicher Last zur Bemessungslast: x = 1 bedeutet volle Bemessungslast, x = 0,5 halbe Last. Weil die Verluste quadratisch vom Strom abhängen, gilt:

Bei halber Last betragen die Kupferverluste also nur ein Viertel der Verluste bei voller Bemessungslast (0,5² = 0,25). Das ist ein zentraler Hebel beim Wirkungsgrad, wie sich im letzten Kapitel zeigt.

Die genauen Kupferverluste bei Bemessungslast werden messtechnisch im Kurzschlussversuch bestimmt. Auch das ist hier nicht das Thema — wir bleiben bei der physikalischen Definition und dem Lastverhalten. Das Messverfahren ist einem eigenen Beitrag vorbehalten.

Der Wirkungsgrad beschreibt, welcher Anteil der aufgenommenen Leistung tatsächlich nutzbar abgegeben wird. Allgemein gilt das Verhältnis von abgegebener zu aufgenommener Leistung; dieser Grundbegriff wird in einem eigenen Beitrag behandelt. Für den Transformator lautet er:

In der Praxis kennt man P1 selten direkt, dafür aber die Verluste. Da die aufgenommene Leistung gleich der abgegebenen Leistung plus aller Verluste ist, lässt sich der Wirkungsgrad über die Verluste ausdrücken:

Diese Form ist die praktisch wichtigste: Eisen- und Kupferverluste sind bekannt oder berechenbar, und die abgegebene Wirkleistung ergibt sich aus dem Betriebszustand.

Ein Transformator liefert sekundär eine Scheinleistung S2. Nutzbar im Sinne der Wirkleistung ist davon aber nur der Anteil, der vom Leistungsfaktor cos φ bestimmt wird:

Bei einer rein ohmschen Last ist cos φ = 1, dann ist die Wirkleistung gleich der Scheinleistung. Je induktiver oder kapazitiver die Last, desto kleiner cos φ — und desto weniger Wirkleistung kommt bei gleicher Scheinleistung heraus. Der Unterschied zwischen Wirk-, Blind- und Scheinleistung wird vorausgesetzt.

Setzt man alles zusammen und berücksichtigt, dass die Kupferverluste vom Belastungsgrad abhängen, ergibt sich die vollständige Berechnung für einen beliebigen Betriebspunkt:

Typische Leistungstransformatoren erreichen Wirkungsgrade von etwa 95 bis über 99 Prozent — größere Maschinen sind dabei meist effizienter als kleine.

Jetzt fügen sich beide Verlustarten zu einem Gesamtbild zusammen. Die Eisenverluste bleiben über die gesamte Last konstant. Die Kupferverluste steigen mit dem Quadrat des Belastungsgrads. Bei sehr kleiner Last dominieren also die Eisenverluste, bei hoher Last die Kupferverluste.

Daraus folgt eine wichtige Frage: Bei welcher Last arbeitet der Transformator am wirtschaftlichsten? Der Wirkungsgrad ist nicht bei voller Bemessungslast am höchsten, wie man vielleicht vermuten würde, sondern an dem Punkt, an dem die beiden Verlustarten gleich groß sind. Mathematisch lässt sich zeigen, dass der Wirkungsgrad sein Maximum genau dort erreicht, wo gilt:

Setzt man die Lastabhängigkeit der Kupferverluste ein (P_Cu = x² · P_Cu,Bem), lässt sich der optimale Belastungsgrad direkt aus den beiden Verlustwerten berechnen:

Ein Beispiel macht das anschaulich: Sind die Eisenverluste deutlich kleiner als die Kupferverluste bei Bemessungslast, liegt x_opt unter 1 — der beste Wirkungsgrad wird also bei Teillast erreicht. Genau das nutzt man bei Verteiltransformatoren aus. Sie sind die meiste Zeit nicht voll ausgelastet, und man legt sie bewusst so aus, dass der Wirkungsgradgipfel im Bereich der typischen Betriebslast liegt, oft bei 40 bis 60 Prozent.

Die folgende Kurve zeigt den typischen Verlauf: ein steiler Anstieg bei kleiner Last (dort drücken die konstanten Eisenverluste prozentual stark), ein flaches Maximum im mittleren Bereich und ein langsames Absinken zur vollen Bemessungslast hin (dort übernehmen die quadratisch wachsenden Kupferverluste).